Transcript Espaces vectoriels de dimension finie.

Chap 19
Espaces vectoriels de dimension finie.
Exercices
"Passer pour un idiot aux yeux d’un
imbécile est une volupté de fin
gourmet."
G. Courteline.
Vrai - Faux
Exercice 1 (ref 24).
Soient E et F des k-espace vectoriels de dimension finie. Notons β et β 0 des bases respectives de E, F et
u une application linéaire de E vers F et A la matrice associée à u dans les bases β et β 0 . Considérons
de plus M et N dans Mn (R). Déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
1. La somme de deux automorphismes de E est encore un automorphisme.
2. L’intersection de deux sev de R5 de dimension 3 est non réduit à 0.
3. u est injective si et seulement si Ker(u) = ∅.
4. u est surjective si et seulement si Im(u) = u(E).
5. Toute famille de n + 1 polynômes de Rn [X] de degré deux à deux distincts est une base de Rn [X].
6. Une famille libre présente moins ou autant de vecteurs qu’une famille génératrice.
7. rg(f ) = dim(E) − dim(Ker(f ))
8. Si E et F sont de DF alors f est injective si et seulement si f est surjective.
9. Toute famille libre de E peut être complétée en une base de E par l’adjonction de vecteurs
convenables de E.
10. Soit P1 et P2 deux sev de dimension 2 de E tels que P1 ∩ P2 = {0}, alors si la dimension de E
est fini alors dim(E) ≥ 4.
11. Soit E et F de ev de dimension finie alors dim(E × F ) = dim(E) + dim(F )
12. rang(A) = rang(u).
13. A ∈ Mpq (R) avec p = dim(E) et q = dim(F ).
14. I est la matrice de Id dans un couple quelconque de base.


x1


15. Pour trouver Ker(u), on résout A.  ...  = 0
xn
16. Deux matrices semblables ont même déterminant, même trace et même rang.
1
Niveau 1
Exercice 2 (ref 16).
Soit E un k espace vectoriel et F un sev de E. Considérons de plus u injective dans L(E) vérifiant
u(F ) ⊂ F
1. Montrer que si F est de dimension finie alors F = u(F )
2. Donner un contre-exemple si on ne suppose plus F de dimension finie.
Exercice 3 (ref 21).
Soit E un k espace vectoriel. Déterminer un endomorphisme injective non surjective et un surjective
non injectif. Est-ce possible de choisir E de dimension finie ?
Exercice 4 (ref 8).
Donner (un ) en fonction de n où (un ) est la suite définie par un+2 + un+1 + un = n et u0 = u1 = 1
Exercice 5 (ref 7).
Montrer que les endomorphismes de rang 1 sont de la forme
φl,a
E
x
→
7
→
E
l(x)a
où l ∈ E ∗ et
a∈E
Exercice 6 (ref 1).
Soit n dans N et a dans R.
1. Montrer que la famille 1, (X − a), (X − a)2 , . . . , (X − a)n est libre puis que c’est une base de
Rn [X]
2. Donner les coordonnées de X p dans cette base pour tout p de {1, . . . , n}
3. Exprimer les coordonnées d’un polynôme P en fonction de ses dérivées successives en a : P (k) (a).
Exercice 7 (ref 38).


0 1 1
Soit A = 1 0 1. On note f l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à A.
1 1 0
1. Montrer que f appartient à Gl(R3 ).
2. Calculer (x0 , y 0 , z 0 ) = f (x, y, z) pour chaque triplet (x, y, z).
3. Exprimer (x, y, z) en fonction de (x0 , y 0 , z 0 ). En déduire A−1 .
2
Exercice 8 (ref 9).
Donner (Fn ) en fonction de n où (Fn ) est la suite de Fibonacci : Fn+2 = Fn+1 + Fn et F0 = F1 = 1
Exercice 9 (ref 26).
 


a+c a+b+c c


 b−a
c − 2b
a  / (a, b, c) ∈ R3 est un sev de M3 (R). Quelle est sa dimenMontrer que


c
a + 2c
b
sion ?
Exercice 10 (ref 6).
On suppose que f o g = 0 et f + g ∈ Gl(E), alors rg(f ) + rg(g) = n
Exercice 11 (ref 43).
Soit f une application de R[X] dans R[X] vérifiant f (P ) = 2(X + 1)P − (X 2 − 2X + 1)P 0 .
1. Vérifier que f est un endomorphisme d’espace vectoriel de R[X] et que R2 [X] est stable par f .
On note encore f la restriction de f à R2 [X].
2. Préciser les matrices de f dans les bases β = (1, X, X 2 ) et β 0 = (1, X − 1, (X + 1)2 ).
3. Vérifier la formule de changement de base.
Exercice 12 (ref 44).

1 2 3
Soit A =  4 5 6 , Déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme canoniquement associé.
5 7 9

Niveau 2
Exercice 13 (ref 14).
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et f un endomorphisme de E. Montrer que rg(f 3 ) = rg(f 4 ).
Généraliser.
Exercice 14 (ref 13).
Soient u et v des endomorphismes d’un k espace vectoriel de dimension finie vérifiant uov = u2 +2u−Id.
Montrer que u et v commutent.
3
Exercice 15 (ref 20).
Soit E un k espace vectoriel de dimension finie.
1. Montrer que le noyau d’une forme linéaire non nulle de E est un hyperplan
2. Montrer que tout hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
3. Montrer que si deux formes linéaires non nulles de E ont le même hyperplan pour noyau alors
elles sont proportionnelles.
Exercice 16 (ref 23).
Soient E un k espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E tel que :
∀x ∈ E, ∃nx ∈ N, f nx (x) = 0
Montrer que f est nilpotente, c’est-à-dire qu’il existe n tel que f n = 0.
Exercice 17 (ref 32).
Donner des familles bases de Sn (R) et An (R). En déduire la dimension de ces espaces vectoriels.
j
k
R
Exercice 18 (ref 33).
Soit β = (e1 , e2 ) une base de R2 et f une application linéaire de R2 dans R2 définie par
f (e1 ) = e1
f (e2 ) = −e1 + 2e2
Notons β 0 = (e01 = e1 + e2 , e02 = e1 − e2 ) une autre base de R2 . Déterminer la matrice de f dans la base
β, la matrice de changement de base de la base β vers la base β 0 , puis la matrice de f dans la base β 0 .
Exercice 19 (ref 39).
Déterminer la matrice dans la base canonique de R3 de :
1. la symétrie et la projection par rapport au plan z = 0 et de direction R.(0, 0, 1).
2. la symétrie et la projection par rapport au plan x = y et de direction R.(1, −1, 0).
3. la symétrie et la projection par rapport au plan x + y + z = 0 et de direction la droite d’équation
x = y/2 = z/3.
Exercice 20 (ref 40).
a −b
Soit C l’ensemble des matrices de M2 (R) de la forme
avec a et b dans R.
b a
1. Montrer que C est une R-algèbre (resp. un corps), isomorphe à C, la R-algèbre (resp. le corps)
des nombres complexes.
2. Quelle norme k k faut-il mettre sur C pour que l’isomorphisme précédent soit une isométrie de
(C, k k) dans (C, | |) ?
4
Exercice 21 (ref 22).
Soient E et F des espaces vectoriels. Montrer que E ∗ × F ∗ et (F × G)∗ sont isomorphes.
Exercice 22 (ref 41).
a −b
Soit H l’ensemble des matrices de M2 (C) de la forme
avec a et b dans C.
b a
1. Montrer que H est un corps, pour les opérations induites de M2 (C).
2. Montrer que H n’est pas commutatif.
3. Est-ce que H est une sous-algèbre de M2 (C) ?
4. Montrer que R et C s’identifient à des sous-corps de H.
5. En s’inspirant de l’identification de C précédente, déterminer une loi externe de C sur H, qui
fasse de H une C-algèbre.
6. Déterminer la base canonique de H en tant que C-algèbre, puis en tant que R-algèbre. Déterminer
leur "table de multiplication".
7. Vérifier que le polynôme X 2 + 1 a une infinité de racines.
8. Montrer que le centre de H est l’ensemble des réels.
Exercice 23 (ref 50).
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3, (e1 , e2 , e3 ) une base de E et f l’endomorphisme vérifiant :

 f (e1 ) = 65 e1 − 13 e2 − 12 e3
f (e2 ) = − 61 e1 + 23 e2 − 12 e3

f (e3 ) = − 61 e1 − 13 e2 + 12 e3
Montrer que f est un projecteur. Déterminer le noyau et l’image de f .
Niveau 3
Exercice 24 (ref 5).
Soit E un K-ev de dimension n et f , g ∈ L(E). Alors :
rg(f ) + rg(g) − n ≤ rg(f o g) ≤ M in(rg(f ), rg(g))
|rg(f ) − rg(g)| ≤ rg(f + g) ≤ rg(f ) + rg(g)
Exercice 25 (ref 28).
Montrer de deux façons différentes que le centre de Mn (k) est formé des homothéties.
5
Exercice 26 (ref 47).
Soit E un k-espace vectoriel de dimension 3 et f un endomorphisme de E. On suppose que X 3 + X est
un polynôme annulateur de f et qu’il n’existe pas de polynôme non nul de degré strictement inférieur
à 3 qui soit annulateur de f (On dit que X 3 + X est le polynôme minimal de f ).
1. Montrer que E = Ker(f ) ⊕ Im(f )
2. Montrer que E = Ker(f ) ⊕ Ker(f 2 + I)
3. Montrer que f laisse stable Ker(f 2 + I).
4. Montrer qu’il existe x dans E tel que (x, f (x)) soit une base de Ker(f 2 + I)


0 0 0
5. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est : 0 0 −1
0 1 0
6