Transcript Correction - Cours de seconde

Devoir maison 4 - CORRECTION
1 La forêt
Des agents de l'ONF se sont rendus sur une parcelle en cours de reboisement et ils ont fait un
relevé du nombre d'arbres, en fonction de leurs tailles. Leurs résultats apparaissent sur l'histogramme
ci-dessous.
100 arbres
0
2
4
6
8
10
Hauteur en mètres
12
14
1. Complétez le tableau ci-dessous en vous basant sur les informations données par le graphique.
Taille en m
[0; 3[
[3; 7[
[7; 9[
[9; 10[
[10; 12[
[12; 16[
Total
Eectif
1500
1700
1200
700
1100
800
7000
Fréquence (%)
21, 4
24, 3
17, 1
10
15, 7
11, 4
100
FCC (%)
21, 4
45, 7
62, 8
72, 8
88, 5
99, 9
2. Représentez cette série statistique sous forme d'un diagramme circulaire.
3. Comme les données sont réparties en classes, on est obligé de faire des hypothèses pour pouvoir
faire le calcul des indicateurs statistiques. On va considérer deux hypothèses diérentes et donc
deux modes de calculs diérents :
(a) On suppose que tous les individus dans une classe ont une valeur au centre de la classe (par
exemple, les 1500 arbres de la classe [0; 3[ ont une valeur de 1, 5) Dans ce cas, déterminez :
Q1 , M e, Q3
La moyenne x
(b) On suppose que les individus ont des tailles uniformément réparties dans les classes.
Tracez le polygone des FCC.
(0; 0) puis les points
correspondant à la ligne des FCC, par exemple le point de coordonnées (3; 21, 4) puisque
21, 4% des arbres font moins de 3 m. Puis il faut relier ses points par une ligne brisée.
Par lecture graphique des valeurs à 25%, 50% et 75%, déduisez les valeurs de Q1 , M e
et Q3 .
Méthode : Il faut placer dans un repère le point de coordonnées
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Correction :
1. Il sut de compter le nombre de carré. Par exemple, on compte 17 carrés sur l'intervalle [3; 7[,
on a donc un eectif de 1 700. L'eectif total est de 7 000 arbres, on a donc la fréquence de
1700
[3; 7[ en faisant 7000
≈ 24, 3%.
Remarque : Le total des fréquences semble ne pas faire pas
100%.
Cela est dû aux approxi-
mations de calculs et est sans importance. Puisqu'on fait une approximation au
fait une erreur maximale de
une erreur de
0, 3%
0, 05%
0, 1%
près, on
dans chaque colonne, case et on ne doit donc pas dépasser
au total
2. Pour tracer le diagramme circulaire, il sut d'aecter à chaque classe un secteur d'un angle
proportionné à l'eectif. 360◦ représente 100%, donc par exemple pour la classe [3; 7[ de fréquence 24, 3% = 0, 243, il faudra un angle de :
24, 3% × 360◦ = 0, 243 × 360◦ ≈ 87◦
Inutile d'être plus précis dans le calcul : Il n'est pas si facile, lors du tracé, d'être précis au
degré près !
Q1
[3; 7[
[0; 3[
Me
[7; 9[
[12; 16[
[9; 10[ [10; 12[
Q3
3. (a) Q1 est la valeur dont la FCC dépasse 25%. Q1 est donc une valeur de la classe [3; 7[.
Suivant l'hypothèse faite, on a donc Q1 = 5.
M e est la valeur dont la FCC dépasse 50%. M e est donc une valeur de la classe [7; 9[.
Suivant l'hypothèse faite, on a donc M e = 8.
Q3 est la valeur dont la FCC dépasse 75%. Q3 est donc une valeur de la classe [10; 12[.
Suivant l'hypothèse faite, on a donc Q3 = 11.
Remarque : Sur le diagramme circulaire précédent, j'ai commencé à placer les secteurs
à partir de la droite et j'ai tourné ensuite dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique). Ainsi, on atteint
25%
en haut,
50%
à gauche et
75%
en bas. Cela permet
d'obtenir directement les quartiles et la médiane.
En utilisant la formule on a :
x=
1500 × 1, 5 + 1700 × 5 + 1200 × 8 + 700 × 9, 5 + 1100 × 11 + 800 × 14
n1 x1 + n2 x2 + · · ·
=
≈ 7,
N
7000
(b) Un mot d'explication avant de commencer : On comprend que la méthode précédente est
un grossière. Pour le voir, prenons Q1 : La FCC de la classe [0; 3[ est 21, 4%. Cela veut
dire que 21, 4% des arbres font moins de 3m. C'est déjà tout près de 25% et bien qu'on
ne puisse pas en être certain, il est probable que plus de 25% des arbres fassent moins de
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4m. Mais avec notre hypothèse, comme Q1 est dans [3; 7[, on prend directement Q1 = 5m.
L'hypothèse suivante va donner des résultats plus crédibles.
Traçons maintenant le polygone des FCC.
F CC(%)
•
•
80
••
25
•
60
25
•
•
40
25
•
20
6
8
10
Q3 = 10.3
4
M e = 7, 5
2
Q1 = 3, 6
0•
0
•
12
14
16
Taille (m)
Par lecture graphique, on obtient Q1 = 3, 6 ; M e = 7, 5 et Q3 = 10, 3. Il va de soit que
ces valeurs sont approximatives puisqu'elles sont obtenues par une méthode graphique.
Mais inutile de chercher plus de précision car de toute façon on travaille à partir d'une
hypothèse dont on ignore la validité.
On remarque que la valeur obtenue pour Q1 est maintenant beaucoup plus proche de 3 ce
qui rejoint le commentaire fait précédemment.
2 Truère
Un truculteur (agriculteur cultivant les trues, tuber melanosporum ) décide de tester l'inuence
de l'arrosage de ses truères sur la masse des trues récoltées. Il décide donc de répartir ses récoltes
en deux lots de 100 trues :
le premier, appelé lot A, provient de truères ne recevant aucun arrosage ;
le second, appelé lot B, provient de truères arrosées.
Au moment de la récolte il pèse ses trues et obtient, pour le lot B, les résultats suivants :
masse en g
Fréquence (%)
FCC (%)
15
16
16
15,5
4
20
16
20
40
16,5
14
54
17
22
76
17,5
4
80
18
8
88
18,5
3
91
19
2
93
Et pour la série A on présente les données selon le graphique :
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19,5
1
94
20
2
96
20,5
0
96
21
1
97
21,5
0
97
22
3
100
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A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B
Question :
L'arrosage permet-t-il d'améliorer la production ?
On commence par calculer les paramètres statistiques de la série B . On
trouve immédiatement M in = 15 et M ax = 22. Pour trouver les quartiles et la médiane, on calcule
les FCC (voir tableau) La FCC dépasse 25% pour la valeur Q1 = 16 ; elle dépasse 50% pour la valeur
M ed = 16, 5 et elle dépasse 75% pour la valeur Q3 = 17. Ces valeurs nous permettent de tracer un
deuxième diagramme en boîte (voir ci-dessus). Les résultats sautent aux yeux : La truère B donne
des trues bien plus grosses. On peut en conclure que l'arrosage améliore la production.
Correction :
Une façon de le dire de façon convaincante est de faire remarquer que 75% des trues du lot B
font plus de 16g contre moins de 50% avec le lot A, ou encore que toutes les trues du lot B font
plus de 15g , contre près de 50% du lot A qui fait moins de 15g .
Bien sûr, on pouvait remarquer que les trues du lot B étaient plus grosses, pas forcément
meilleures. On pouvait aussi dire que les trues du lot B avait des masses plus régulières, ce qui peut
être un avantage. Mais vous devez éviter de lancer des arguments en vrac qui donnent l'impression
que vous ne savez pas ce que vous devez montrer.
Enn, terminons avec deux erreurs courantes : La première est un simple abus de langage.
Certains veulent exprimer que les trues du lot B sont dans l'ensemble plus grosses, et pour cela ils
disent en moyenne . Mais ils ne calculent pas de moyenne, ils utilisent le mot comme un terme
un peu vague. Or, dans un problème de statistiques, il est fâcheux d'utiliser le mot moyenne dans
un sens vague.
La deuxième erreur consiste à comparer un à un les indicateurs statistiques des deux séries. On
voit que Q1B > Q1A , M eB > M eA , etc. Et on conclut que forcément, les trues de B sont plus
grosses. C'est un peu trop rapide. Prenons un contre exemple avec deux lots C et D :
Lot
C
masse en g
Eectif
Lot
10
1
15
24
20
26
25
24
30
25
D
masse en g
Eectif
11
24
16
25
21
26
26
24
31
1
Si on calcule les indicateurs statistiques on trouve :
pour C : M in = 10g ; Q1 = 15g ; M e = 20g ; Q3 = 25g et M ax = 30g .
pour D : M in = 11g ; Q1 = 16g ; M e = 21g ; Q3 = 26g et M ax = 31g .
Tous les indicateurs de la seconde sont plus élevés que ceux de la première. On serait tenté de
conclure que les trues de la série D sont plus grosses. Mais d'abord l'écart n'est pas très grand,
surtout, si on calcule la moyenne on obtient :
xC =
xD =
1 × 10 + 24 × 15 + · · ·
= 22, 4
100
24 × 11 + 25 × 16 + · · ·
= 18, 65
100
En moyenne, les trues de C sont beaucoup plus grosses. Dans ce cas, si on avait tracé le diagramme
en boîte de C et D, on aurait vu que, certes, les trues de D semblaient un peu plus grosses, mais
que l'écart était trop faible pour conclure quoique ce soit en l'absence de plus d'informations.
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