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Formulaire Topographie - D43
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FORMULAIRE TOPOGRAPHIE – D43
Rappels mathématiques
Le grade qui est l’unité légale en topographie appelé gon (grade orthonormé). L’usage consiste à ne pas
utiliser les puissances de 10, mais la virgule décimale ; on utilise souvent les sous-multiples du grade :
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décigrade (dgon),
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centigrade (cgon), qui est aussi une minute centésimale (1/100ième de grade),
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milligrade (mgon),
•
décimilligrade (dmgon), qui correspond à une seconde centésimale (1/10 000 de grade).
1 tour de cercle = 2 π rad = 360° = 400 gon
Pour le triangle quelconque, on utilise les formules d’AL-KASHI :
•
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos BAC
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b2 = a2 + c2 – 2 a c cos ABC
•
c2 = b2 + a2 – 2 b a cos ACB
Généralités
Méridien : intersection de la terre avec un plan contenant l’axe des pôles (ellipse).
Parallèle : intersection de la terre avec un plan perpendiculaire à l’axe des pôles (cercle).
Longitude : angle formé par le méridien du lieu et le méridien d’origine (Greenwich) ; elle s’exprime
en degré et elle est comprise entre 0° et 180° Est ou Ouest.
Latitude : angle que fait la verticale du lieu avec le plan de l’équateur ; elle s’exprime en degré et est
comprise entre 0° et 180° Nord ou Sud.
Un système géodésique est défini par :
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un ellipsoïde : Clark pour la France (pour GPS : ellipsoïde international GRS80) ;
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un système de projection (représentation plane de l’ellipsoïde) : Lambert en France (le
système utilisé par le GPS est le WGS 84 [World Geodetic System 1984]) ;
•
réseau géodésique (points en planimétrie) : NTF en France (Nouvelle Triangulation Française).
Le réseau altimétrique français actuel est le nivellement de précision de la France IGN 69 (et NPF).
Le Nord géographique est la direction du méridien du point vers le pôle Nord.
Le Nord magnétique est la direction de l’aiguille aimantée (champ magnétique terrestre du moment et du lieu).
Le Nord Lambert correspond aux ordonnées du quadrillage de ce système de projection.
L’azimut (Az ou Hz) est l’angle horizontal compté positivement en sens horaire depuis le Nord géographique.
Le gisement (GAB) : angle horizontal compté positivement en sens horaire entre le Nord du système de
projection (Nord Lambert, par exemple) et la direction AB. Relation entre GAB et GBA : GBA = GAB + 200.
L’angle zénithal (V ou z) : angle vertical.
Un canevas est un ensemble de points connus en planimétrie et/ou altimétrie avec une précision homogène.
L’altitude d’un point A (HA ou ZA) est la distance suivant la verticale qui le sépare de la surface du niveau 0.
Mesures angulaires
Le double retournement est une manipulation consistant en un demi-tour simultané de l’alidade et de la
lunette. La lunette se retrouve dans sa direction de pointé, mais le cercle vertical et les dispositifs de lecture ont
tournés de 200 gon.
L’angle horizontal Hz moyen mesuré vaut :
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si HzCD > 200 gon : (HzCG + (HzCD – 200)) / 2 ;
•
si HzCD < 200 gon : (HzCG + (HzCD + 200)) / 2.
L’angle vertical moyen déduit des deux lectures est : z = (zCG + (400 – zCD)) / 2.
Calcul d’un gisement à partir des coordonnées cartésiennes de deux points A(Ea,Na) et B(Eb,Nb) :
tan GAB = (Eb – Ea) / (Nb – Na) ; ATTENTION : vérifier le résultat suivant la direction.
Calcul de coordonnées d’un point P à partir des coordonnées d’un point S (Es,Ns) et du gisement :
Ep = Es + DSP sin GSP
DSP : distance horizontale entre S et P
Np = Ns + DSP cos GSP
GSP : gisement de la direction SP
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Mesures de distance
Mesure de la distance horizontale (Dh) en terrain régulier en fonction de la distance suivant la pente (Dp) et de
la dénivelée (∆H) ou de l’angle de la pente (i en gon) ou de la pente (p = ∆H / Dh (-)) :
Dp
Dh = Dp 2 − ∆H 2 = Dp cos(i ) =
1+ p2
(
)
(
)
Mesures stadimétriques : longueur interceptée sur une mire par les fils stadimétriques (m1 et m2, valeurs lues
sur la mire) d’un théodolite ou d’un niveau (mesure peu précise : erreur de 1 à 10 cm pour 30 m).
Dh = K (m2 – m1), avec K la constante stadimétrique de l’appareil de visée (généralement 100).
Nivellement
Lorsque qu’une seule station ne suffit pas à déterminer la dénivelée entre 2 points, il faut effectuer des stations
intermédiaires. C’est le nivellement par cheminement. Les cheminements sont soit encadrés, soit fermés avec
répartition de l’erreur de fermeture sur les dénivelées du parcours (compensation de cheminement).
Rayonnement : plusieurs points de détail sont nivelés (en lecture avant) à partir d’une même station d’un
cheminement (cheminement mixte).
Nivellement direct : mesure la dénivelée ∆HAB à l’aide d’un niveau et d’une mire.
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Le niveau définit un plan de visée horizontal. La portée (distance du niveau à la mire) doit
être au maximum de 60 m en nivellement ordinaire et de 35 m en nivellement de précision.
•
En cheminement, la dénivelée totale de A vers B, ∆HAB, est égale à la somme des dénivelées
partielles ou la somme des lectures arrières diminuée de la somme des lectures avant.
Nivellement indirect : utilise les stations totales (théodolite équipé d’un IMEL) selon 2 méthodes :
•
Trigonométrique : mesure de la distance inclinée suivant la ligne de visée Di (distance
inclinée) et de l’angle zénithal V ; on a : ∆HTP = ht + Di cosV – hv.
•
Géodésique : à partir de la connaissance des coordonnées planimétriques de T et P et de la
mesure de l’angle vertical V. On a : ∆HTP = ht + DhT cotanV – hv.
∆HTP dénivelé de T vers P ; ht hauteur station ; hv hauteur visée ; DhT la distance horizontale de T à P.
Comparaison du nivellement indirect avec le nivellement direct :
•
Avantages de l’indirect : moins de stations, visées pouvant être très longues.
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Inconvénients de l’indirect : moins précis, pour simple dénivelée le niveau est plus rapide, il y
a des erreurs liées aux longues portées (sphéricité terrestre, réfraction atmosphérique, …).
•
Précision direct : 5-7 mm/km (ordinaire – niveau chantier) à 0,3 mm/km (direct de précision).
•
Précision indirect : 16 mm/km (trigonométrique - station globale) à 30 mm/km (géodésique).
Technologies modernes
Le GPS (Global Positionning System) est un système militaire de navigation. L’utilisation civile est tolérée. Le
but du GPS est de fournir à un utilisateur terrestre sa position et sa vitesse. Les récepteurs se composent d’une
antenne couplée à un calculateur, une horloge et un décodeur. Il existe trois types de récepteurs : navigation en
mode absolu (précision ≈ 100 m), navigation différentielle avec 2 récepteurs (précision de l’ordre du cm en
planimétrie et de quelques cm en altimétrie), géodésiques (précision de quelques mm).
Station totale : théodolite électronique couplé à un IMEL avec un système d’enregistrement des informations.
Un IMEL (Instrument de Mesure Electronique des Longueurs) émet une onde électromagnétique. Il permet la
mesure du déphasage de l’écho de l’onde renvoyée par un réflecteur. L’onde porteuse est généralement IR ou
laser. Il émet plusieurs fréquences sous multiples de la fréquence de base. Sa précision est de (5 mm+5 ppm) à
(1 mm+1 ppm) et sa portée moyenne est d’environ 3 500 m (7 000 m en conditions excellentes).
Les appareils lasers : pour matérialiser un point, un alignement ou un plan (guidage d’engins, contrôle, pose de
matériaux, mesure des distances). Les plus utilisés sont ceux de nivellement, d’alignement, de canalisation et de
positionnement. Le laser permet la création d’un faisceau de lumière très peu dispersif (1 cm de ∅ à 1 km).
La photogrammétrie est une technique permettant d’obtenir, à partir de photographies (avion ou satellite), une
représentation du terrain à une échelle donnée et en trois dimensions.
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Lever de détails et report
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Le lever de détails consiste à déterminer la position des différents objets existant sur le terrain.
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Le principe fondamental consiste à aller de l’ensemble vers les détails.
•
La précision du lever et le choix des détails sont en fonction de la finalité du plan à réaliser.
•
Les méthodes traditionnelles pour le lever de plans sont : alignements (limites de parcelle),
rayonnement (points isolés ou semés), abscisses et ordonnées (points à peu près alignés).
•
Les méthodes actuelles sont : station totale, GPS et nivellement direct ou indirect.
Le report (ou levé) permet d’établir des plans graphiques (numériques) à partir des données du lever
de détails. Plans : échelles variant du 1/100 au 1/5 000 ; cartes : échelles supérieures à 1/10 000.
Techniques d’implantation
L’implantation consiste à reporter sur le terrain la position d’axes ou de points isolés. Les principes suivants
doivent être respectés : aller de l’ensemble vers le détail et prévoir des mesures surabondantes (pour contrôle).
Implantation d’alignements (alignement : droite passant par deux points matérialisés au sol) :
•
Tracer une perpendiculaire à un alignement existant avec :
−
ruban, on utilise les propriétés du triangle rectangle (Pythagore) ;
−
équerre optique (et 3 jalons) : 2 méthodes ; soit mener une perpendiculaire depuis
l’alignement ; soit abaisser une perpendiculaire depuis un point extérieur.
•
Tracer une parallèle à un alignement existant : soit tracer 2 perpendiculaires (ruban et
équerre optique) ; soit la méthode du parallélogramme (principe des diagonales).
•
Jalonnement sans obstacles (positionner un ou plusieurs jalons sur un alignement existant) :
visuellement avec un ruban ou avec une équerre optique.
Implantation de points en planimétrie :
•
Pour tout chantier, il est indispensable de disposer de points de références en planimétrie. Ils
doivent être matérialisés par des repères durables. Deux points au minimum sont nécessaires.
•
Par abscisses et ordonnées (point P(xp,yp)) : report de xp sur l’alignement puis perpendiculaire
à l’alignement avec report de yp (avec ruban et équerre optique).
•
Implantation par rayonnement : avec un théodolite et un ruban (ou IMEL) en connaissant la
distance horizontale et le gisement par rapport au point de référence.
Implantation de repères altimétriques :
•
Sur un chantier, ils sont indispensables. Ils sont implantés par des nivellements rattachés NPF.
On place sur le chantier plusieurs repères qui restent en place durant la durée des travaux.
•
Les traits de niveau sont des repères d’altitude en cotes entières (110,00 m, p.e.) marqués sur
des murs existants, des piquets. On nivelle le sommet du piquet avec visée arrière sur un point
de référence du chantier et l’on reporte au mètre de poche le trait de niveau sur le piquet.
Courbes de niveau, profils et cubatures
Les courbes de niveaux sont destinées à donner sur une carte un aperçu du relief réel. Elles sont l’intersection
du relief réel avec un plan horizontal d’altitude donné. Leur espacement dépend de la déclivité. Les méthodes
de levé des courbes sont : lever des lignes caractéristiques, quadrillage du terrain, filage des courbes.
L’altitude d’un point M situé entre 2 courbes de niveau est déterminé en considérant le terrain en pente
régulière entre les points les plus proches des courbes de niveau (A et B) : HM = HA +(HB – HA) x dAM/dAB.
Report de courbes de niveau : entre 2 points d’un semi de points (A et B) pour calculer la distance de la courbe
de niveau (M) située entre ces deux points, on applique la formule suivante : dAM = (HM – HA) x dAB / ∆HAB.
Un profil en long est une coupe verticale suivant l’axe d’un projet linéaire. Il est complété par des profils en
travers qui sont des coupes verticales perpendiculaires à l’axe du projet. Leur établissement permet le calcul
des mouvements de terres (cubatures : déblais et remblais), l’emprise du projet sur le terrain naturel.
La méthode utilisée pour évaluer les cubatures dépend de la forme générale du projet :
le calcul des volumes « debouts » pour les projets étendus en surface (aéroport) ;
le calcul des volumes « couchés » pour les projets linéaires ;
découpage suivant les courbes de niveaux pour évaluer la capacité d’un réservoir.