Transcript τ et τ ,

Limites d’un modèle global à un seul volume de contrôle dans les joints labyrinthes de
turbomachines.
M. HMAMOU(1), M. SRITI(1) & M. KAMOUNI(2)
(1)
Laboratoire de Modélisation en Mécanique Energétique, FSTE, B.P.509, Boutalamine, Errachidia, Maroc.
(2)
E.S.T. Fès, Département Génie Mécanique et Productique, Maroc
1. Introduction:
Les joints labyrinthes sont des dispositifs
mécaniques utilisés dans les turbomachines pour limiter
le débit de fuite entre la roue et le carter. Naturellement,
la fuite doit être minimisée afin d'améliorer la
performance des turbomachines. Ces dispositifs
mécaniques peuvent modifier les caractéristiques
statiques et dynamiques de la ligne d’arbre dont laquelle
ils sont intégrés.
L’objectif de ce travail est de discuter les limites de
validité du modèle global, notamment, l’hypothèse d’un
seul volume de contrôle par cavité qui consiste à
supposer la vitesse circonférentielle et la pression comme
uniformes. Pour se faire, nous avons procédé un calcul
local à l’aide d’un code 3D axisymétrique dans un
modèle de joint labyrinthe à dents rectangulaires portées
par le rotor. Le calcul effectué consiste essentiellement
sur l’influence de la vitesse de prérotation sur la vitesse
moyenne circonférentielle dans une cavité.
Ui +
Stator
m i + 1
m i
Ui
θ
Rd
Rotor
Stator
dθ
Fig.2: Volume de contrôle en espace
Stator
Cr
m i
m i + 1
Pi
Ui
Rotor
2. Modèle Global:
Iwatsubo [1] était le premier qui a développé un
modèle global décrivant l’écoulement à travers un joint
labyrinthe constitué par une succession de cavités
rectangulaires portées par le rotor (Fig.1). Ce modèle est
basé sur les équations de continuité, de quantité de
mouvement dans la direction circonférentielle et
l'équation donnant le débit de fuite axiale au niveau des
rétrécissements. Ce modèle suppose que le volume de
contrôle coïncide avec la cavité. En 1986, Childs [2] a
repris le modèle d’Iwatsubo en introduisant la variation
de la surface du volume de contrôle dans la direction
circonférentielle. Ensuite, Childs et Scharrer (1988, [3])
ont procédés des études expérimentales pour confronter
les mesures avec les prédictions théoriques portées sur
les
coefficients
dynamiques
de
raideur
et
d’amortissement. D’autres études théoriques et
expérimentales sont succédées, nous citons à titre
d’exemples les travaux de Williams (1998, [4]), Sriti
(1999, [5]), Forte (1999, [6]) et Kim (2003, [7]).
dU i
dθ
dθ
B
L
Ai
Fig.3: Volume de contrôle en plan
L’écoulement dans un joint labyrinthe peut être
décrit par l'équation de conservation de la masse et
l'équation de conservation de la quantité de mouvement
dans la direction circonférentielle. Ces équations sont
appliquées à un volume de contrôle qui coïncide avec
une cavité (figures 2 et 3).
∂
1 ∂
( ρ i Ai ) +
( ρ i AiU i ) + m i +1 − m i = 0
∂t
R ∂θ
∂
1 ∂
( ρ i AiU i ) +
( ρ i AiU i2 ) + ( m i +1 − m i )U i =
R ∂θ
∂t
A ∂P
− i i + (τ r i ar i − τ s i a s i ) Li
R ∂θ
Où Pi, Ui, et
ρi
(2)
sont respectivement la pression, la
vitesse circonférentielle et la masse volumique dans la
i et m i +1 sont respectivement les débits de
ième cavité. m
fuite axiale par unité de longueur en entrée et en sortie de
la cavité (i). Ai est la section transversale du volume de
contrôle. ar et as sont des grandeurs sans dimensions qui
représentent le rapport du contour mouillé sur la
longueur équivalente de la cavité, respectivement, pour
le rotor et le stator:
Rotor
Les
Fig.1: Joint labyrinthe à cavités rectangulaires
(1)
contraintes
de
frottement
τ r et
τs ,
respectivement pour le rotor et le stator, sont modélisées
par Childs (1986 [2]) pour un écoulement turbulent lisse
dans une cavité de joint labyrinthe.
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τ ri =
τ si =
ρi
D 

Rω − U i ( Rω − U i ) no  Rω − U i h i 
2
νi 

ρi
D 

U i2 n o  U i h i 
2
νi 

mo
mo
(3)
sont obtenues par intégration des fluctuations de pression
le long du joint et le long de la circonférence.
(4)
F x = −εR
Où Dhi est le diamètre hydraulique défini par:
2( H i + B i ) L i
(5)
Dhi =
( H i + Bi + Li )
Pour un écoulement pleinement turbulent dans une
conduite à paroi lisse, les coefficients empiriques de
Blasius s’écrivent: mo=-0.25 et no=0.079
L’équation des gaz parfaits est utilisée pour exprimer
la masse volumique en fonction de la pression. La
température T est supposée constante dans le joint
labyrinthe.
(6)
Pi = ρ i R c T
Le débit de fuite qui fourni la vitesse moyenne axiale
Wi à travers la zone de rétrécissement au droit d’une dent
est exprimé de façon empirique par Neumann [8].
Avec
Pi −21 − Pi 2
= ρ i H iWi
Rc T
µ i est
(7)
le coefficient du débit de fuite qui
dépend du rapport des pressions de part et d’autre d’une
dent.
π
µi =
π + 2 − 5β i + 2 β i2
Où
γ
; β i =  Pi −1 
 P 
 i 
( γ −1 ) / γ
est le coefficient spécifique de la chaleur.
(8)
µo
est
un facteur semi-empirique d’énergie cinétique qui
dépend essentiellement de la géométrie du labyrinthe.
8.52 H
1
(9)
µo =
; α=
(L − t d ) + 7.23 H
1−α
Où H est le jeu radial local, L est la longueur équivalente
des cavités et td est l’épaisseur des dents. Pour la dernière
dent, µ o est égale à l’unité, car on suppose que l’énergie
cinétique disparaît complètement dans une cavité infinie.
i =1
N −1
∑
Li
i =1
∫
Li
2π
P1 i cos θ d θ
0
∫
2π
0
(11)
P1 i sin θ d θ
Les coefficients dynamiques de raideur (K, k) et
d’amortissement (C, c) peuvent être déterminés à l’aide
de l’équation dynamique qui exprime les composantes de
la résultante des forces de pression en fonction du
déplacement (x, y) et de la vitesse de déplacement
( x , y ) du centre du rotor.
 Fx   K
− = 
 Fy   − k
Avec
Rc est la constante des gaz parfaits.
m i = µ o µ i H i
F y = εR
N −1
∑
k
K 
x  C
 +
 y  − c
c
C 
 x 
 
 y 
(12)
 x = a cos( ω t )

 y = b sin( ω t )
(13)
où a et b représentent les amplitudes de l’orbite
elliptique.
3. Calcul 3D axisymétrique:
Le code de calcul utilisé permet la résolution des
équations de Navier-Stokes pour des écoulements en
rotation, instationnaires, turbulents. Le code utilise une
méthode mixte d'Euler-Lagrange dans un système de
coordonnées cylindriques pour des configurations
axisymétriques. La discrétisation spatiale est du type
éléments finis alors que celle temporelle et du type
différences finies au premier ordre à pas fractionnaires.
Le modèle de turbulence utilisé est celui de k − ε
standard. Le code a été validé et testé pour de
nombreuses configurations pratiques de joints de
turbomachines [9].
Le calcul est effectué dans un modèle de joint
labyrinthe expérimental de Boyman et Stoff [10,11]
montré dans la figure 4. Le modèle est constitué de
quatre cavités rectangulaires séparées par des lèches
(dents) portées par le rotor qui réside dans un carter
(stator). L’écoulement de fuite entre rotor-stator est
assuré par une différence de pression entre l’entrée et la
sortie du joint.
stator
Pour des petits mouvements du centre du rotor par
rapport à sa position d’équilibre initiale, les équations
sont linéarisées en pratiquant une méthode de
perturbation en fonction de l’excentricité relative
( ε = e / Cr << 1 ).
Pi = Poi +ε P1i
H i = Cri + ε H1
5 mm
d
47,5 mm
r, v
rotor
U i = U oi + ε U 1i
Ai = Ao + ε Li H1
R=425 mm
(10)
La solution d’ordre zéro fournie la distribution
moyenne de pression et de vitesse circonférentielle dans
chaque cavité. La solution du premier ordre, pour une
orbite elliptique du centre du rotor, fournie les
fluctuations de pression et de vitesse circonférentielle le
long du joint. Les forces de pression exercées sur le rotor
o
w
ω
45 mm
5 mm
z, u
Fig.4: Modèle de Joint Labyrinthe
Les conditions de calcul sont caractérisées par les
nombres de Reynolds et de Taylor associés à la vitesse
d’arbre, la distance d’espacement entre le rotor et le
stator (d=52.5) et le rayon de l’arbre (R=425mm). Le
maillage est suffisamment fin à proximité des parois
pour évaluer le comportement d’écoulement pariétal. La
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vitesse tangentielle initiale est supposée égale à la moitié
de la vitesse de rotation d’arbre. Le fluide étudié est de
l’eau.
W R
2 Cr U ox
≈ 5 105
Rex =
≈ 103 ; Rerayon = a
ν
ν
Ta =
Wa d
d
R
ν
≈ 2 104
4. Résultats et discussion:
Le calcul 3D axisymétrique effectué dans cette
configuration de joint labyrinthe permet de connaître la
structure fine d’écoulement et comprendre les
phénomènes physiques produits dans le joint (Fig.5). Le
profil de vitesse en plan radial et axial au milieu d’une
cavité est satisfaisant en comparaison avec les mesures
de Boyman et Stoff (Fig.6 et 7). Ensuite, une série de
calculs paramétriques a été effectuée, en étudiant
l’influence de la vitesse tangentielle initiale (vitesse de
prérotation) sur la vitesse moyenne circonférentielle dans
les cavités. Les résultats obtenus ont montrés que le
modèle global est partiellement justifié suivant les
valeurs initiales considérées de la vitesse de prérotation.
Fig.5: Champ de vitesse en plan axial
1,2
Stoff-LDA mesurment
Boymann-Hot Film mesurment
Axisymmetrical computation
1,0
w/Wa
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
radial direction r(m)
Fig.6: Vitesse circonférentielle en plan
radial au milieu d’une cavité
1,0
Stoff-LDA mesurment
Boyman-Hot Film mesurment
Axisymmetrical computation
0,9
w/Wa
0,8
0,7
0,6
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
Conclusion:
L'étude paramétrique de la vitesse de prérotation a
permis de dégager les conclusions suivantes:
- Le modèle global de Childs basé sur un seul
volume de contrôle par cavité est justifié uniquement
lorsque la vitesse de prérotation est proche de 0.5 fois la
vitesse de l’arbre.
- Les contraintes de frottement relatives au rotor et
au stator peuvent être améliorées en tenant compte de la
composante axiale de la vitesse dans leurs expressions.
En général dans le cas pratique, la vitesse de
prérotation est supposée opposer au sens de rotation de
l'arbre pour réduire le comportement d'instabilité des
machines. Par conséquent, il serait souhaitable de
remplacer le modèle de Childs à un seul volume de
contrôle par cavité par un modèle à deux volumes de
contrôle; un au niveau de la zone de rétrécissement,
l'autre juste à l'intérieur de la cavité.
Références:
[1] Iwatsubo T., Motoka N. and Kawai R., 1982, Flow
induced Force and Flow Pattern of Labyrinth Seals,
NASA CP N°2250, Texas A&M University, pp.139-167.
[2] Childs D W., and Scharrer J., 1986, An Iwatsubo
Based Solution For Labyrinth Seals: Comparison to
Experimental Results, Journal For Gas Turbines and
Power, pp.325-331.
[3] Childs D., and Scharrer J., 1988, Theory Versus
Experiment For the Rotordynamic Coefficients of
Labyrinth Gas Seals, Journal of Vibration Acoustics,
Stress, Reliability, and Design, Vol. 110, pp.281-287.
[4] Williams B.P. and Flack R.D, 1998, Calculation of
Rotor Dynamic Coefficients for Labyrinth Seals, Journal
of Rotating Machinery, Vol.4, N°4, pp. 257-269.
[5] Sriti M., Agouzoul M., Ouazar D., and Micheau P.,
1999, Experimental and Theoretical Static and Dynamic
Behaviour in Labyrinth seals, AM.S.E Journal, Section
B, Vol.62, N°2, pp.15-36.
[6] Forte P. and Latini F., 1999, Theoretical
Rotordynamic Coefficients of Labyrinth Gas Seals,
Journal of Rotating Machinery, Vol.5, No. 1, pp. 67-76.
[7] Kim N., and Rhode D. L., 2003, Refined Turbulence
Modelling for Swirl Velocity in Turbomachinery Seals,
Journal of Rotating Machinery, Vol.9, pp.451-459.
[8] Neumann K., 1964, Zur Frage der Verwendung yon
Durchblickdichtungen
im
Dampfturbinenbau,
Maschinentechnik, Vol.13, N°4.
[9] Sriti M., Boukrim L., and KAMOUNI M., Numerical
Simulation in Labyrinth Seal with Lagrangian-Eulerian
Method, AMSE Journal, Modelling B, Vol.75 N°5, pp.
53-62, 2006.
[10] Boymann T., 1978, Transport Phenomena in
Labyrinth Seals of Turbomachines, AGAR-CCP-237,
Seal Technology in Gas turbine Engines, London, 1978.
[11] Stoff H., 1980, Incompressible Flow in a Labyrinth
Seal, Journal of Fluid Mechanics, Vol.100, pp.817-829.
Length of cavity (m) for r=0.4475m
Fig.7: Profil de vitesse circonférentielle en
plan axial pour r=441mm
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