Transcript TRACTION – COMPRESSION EXERCICES

TRACTION – COMPRESSION
EXERCICES
P. VASSART / Bac Construc / IEPSCF – NAMUR
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Problème de contrôle - Effort maximum pouvant être supporté par un élément
Concerne : élément de section constante (barre, tige), matériau élastique, effort normal centré (sans
considération du flambage si élément sollicité en compression)
2 critères doivent être pris en considération : le critère résistance (toujours) et le critère déformation:
critère résistance (la pièce ne doit pas se rompre)
•
N
⩽σ limite → N ⩽σ limite S avec :
S
σ : contrainte normale
σlimite : contrainte normale limite (en traction ou en compression)
N : effort normal
S : section de la pièce
de : σ=
et on obtient l'effort maximum pouvant être supporté par l'élément en divisant cette
charge par 1,5 → N 1
critère déformation (la pièce ne doit pas subir de déformation excessive)
•
NL
ES Δ L
→ N⩽
avec :
ES
L
ΔL : allongement ou rétrécissement max pouvant être subi par la pièce
N : effort normal
L : longueur de l'élément
S : section de la pièce
E : module d'élasticité du matériau constitutif
de : Δ L=
et on obtient ainsi l'effort maximum pouvant être supporté par l'élément (pas de majoration
de la charge pour le critère déformation) → N 2
•
•
Et l'effort maximum pouvant être supporté par l’élément est : N = Min { N 1 ; N 2 }
Si : N ≥Min { N 1 ; N 2 }, la section doit être augmentée (voir établissement d'une
section).
Section circulaire – Rappel formules
πd2
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S
Diamètre d'une surface de section S : d =2 π
Surface section circulaire de diamètre d :
S=
√
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Problème de contrôle
Une barre de section circulaire (diamètre = 1,5 cm – L = 2 m ) en acier doux ( σlimite = 24 kN/cm2 et
E = 21 000 kN/cm2) est sollicitée par un effort de traction de 20 kN.
On demande de contrôler la section de la barre et de calculer son allongement.
Contrôle de la section
Seul le critère résistance doit être pris en considération.
N ⩽σ limite S avec :
σlimite = 24 kN/cm2
π d 2 π 1,52
S=
=
=1,77cm 2
4
4
→ N ≤42,41 kN et en divisant par le 1,5, il faut :
N≤
42,41
=28,27 kN
1,5
→ section OK puisque : 20 kN ≤28,27 kN
Allongement de la barre
Δ L=
N xL
avec :
ExS
N = 20 kN
L = 2 m = 200 cm
E = 21 000 kN/cm2
π xd2
π x 1,52
S=
=
= 1,77 cm2
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→ Δ L=0,11 cm
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Problème de contrôle
Une barre de section circulaire (diamètre =2cm – L = 10 m ) en acier doux ( σlimite = 24 kN/cm2 et
E = 21 000 kN/cm2) est sollicitée par un effort de traction de 50 kN.
On demande de contrôler la section de la barre, son allongement devant rester ≤ à 0,8 cm.
Les 2 critères (critère résistance et critère déformation) doivent être pris en considération.
Critère résistance
N ⩽σ limite S avec :
σlimite = 24 kN/cm2
π d 2 π 22
S=
=
=3,14 cm2
4
4
→ N ≤75,36 kN →
N 1=
75,36
=50,24 kN
1,5
Critère déformation
N⩽
ES Δ L
avec :
L
E = 21 000 kN/cm2
S = 3,14 cm2
ΔL = 0,8 cm
L = 1000 cm
→ N ≤52,75 kN → N 2=52,72 kN
Et il faut : N = 50 kN ≤ Min{50,24 ; 52,72}, ce qui est bien le cas → section OK
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Problème d'établissement – Détermination de la section d'un élément
Concerne : élément de section constante (barre, tige), matériau élastique, effort normal centré (sans
considération du flambage si élément sollicité en compression)
La section d'un élément sollicité par un effort normal centré doit répondre à 2 critères : le critère
résistance (toujours) et le critère déformation.
•
critère résistance (la pièce ne doit pas se rompre)
N
N
⩽σ limite → S⩾ σ
avec :
limite
S
σ : contrainte normale
σlimite : contrainte normale limite (en traction ou en compression)
N : effort normal majoré (x 1,5)
S : section de la pièce
de : σ=
et on obtient ainsi la section minimum requise pour satisfaire au critère résistance → soit
S 1 cette section.
•
critère déformation (la pièce ne doit pas subir de déformation excessive)
NL
NL
→ S⩾
avec :
ES
EΔL
ΔL : allongement ou rétrécissement max pouvant être subi par la pièce
N : effort normal (non majoré)
L : longueur de l'élément
S : section de la pièce
E : module d'élasticité du matériau constitutif
de : Δ L=
et on obtient ainsi la section minimum requise pour satisfaire au critère déformation →
soit S 2 cette section.
•
Et la section S de l'élément doit être telle que : S ≥ Max { S 1 ; S 2 }
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Problème d'établissement
On demande de calculer le diamètre requis pour une barre en acier doux ( σlimite = 24 kN/cm2 et
E = 21 000 kN/cm 2) sollicitée par un effort de traction de 10 kN. On demande également de
calculer l'allongement de cette barre si sa longueur initiale est de 1,5 m.
Etablissement de la section
Seul le critère résistance doit être pris en considération.
S⩾σ
N
limite
avec :
σlimite : 24 kN/cm2
N : effort normal majoré (x 1,5) = 10 x 1,5 = 15kN
→ S ≥ 0,625 cm2 → d ≥
√
S
2 π = 0,89 cm → d= 1 cm
Allongement de la barre
Δ L=
N xL
avec :
E xS
N = 10 kN (pas de majoration de la charge!)
L = 1,5 m = 150 cm
E = 21 000 kN/cm2
π xd2
π x 12
S=
=
= 0,78 cm2
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→ Δ L=0,09cm
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Problème d'établissement
On demande de calculer le diamètre requis pour une barre en acier doux ( σlimite = 24 kN/cm2 et
E = 21 000 kN/cm2) de 4 m de long sollicitée par un effort de traction de 180 kN, son allongement
devant rester ≤ à 0,5 cm.
Les 2 critères (critère résistance et critère déformation) doivent être pris en considération.
Critère résistance
S⩾σ
N
limite
avec :
σlimite : 24 kN/cm2
N : effort normal majoré (x 1,5) = 180 x 1,5 = 270 kN
→ S ≥ 11,25 cm2 → S1 = 11,25 cm2
Critère déformation
S⩾
NL
avec :
EΔL
E = 21 000 kN/cm2
N = 180 kN (pas de majoration de charge)
ΔL = 0,5 cm
L = 400 cm
→ S ≥ 6,86 cm2 → S2 = 6,86 cm2
Et la section S de l'élément doit être telle que : S ≥ Max { 11,25; 6,86}
S
→ S ≥ 11,25 cm2 → d ≥ 2 π = 3,78 cm → d = 4 cm
√
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Le plancher d'une salle d'école est formé d'une série de poutres parallèles identiques, équidistantes
de 4 m, appuyées sur un mur (A) et suspendues (B) au moyen de barres rondes en acier doux. Il est
soumis à son poids propre de 4 kN/m2 et à la charge de service prévue par la norme.
On demande de déterminer le diamètre des barres ainsi que le déplacement de leurs extrémités.
Pour la détermination du diamètre des barres (critère résistance), on multipliera la charge due au
poids propre par 1,35 et celle due à la charge de service par 1,5.
Effort dans les barres
On va étudier l'équilibre de la poutre ABD, la réaction d'appui en B (changée de sens) étant en fait
la traction s'exercant dans la barre BC.
Charges agissant sur la poutre
•
charge uniformèment répartie ⃗
q avec :
q = (1,35 x 4 + 1,5 x 3) x 4 =39,6 kN/m
↑
↑
↑
(1)
(2)
(3)
(1) : charge en kN/m2 due au poids propre majorée (x 1,35)
(2) : charge en kN/m2 due à la charge de service prise égale à 3 kN/m2 (charge de service
de la catégorie C1 conforme à la NBN EN 1991-1-1 et son ANB) majorée (x 1,5)
(3) : x4, puisque chaque m de poutre reprend 4 m2 (les poutres étant distantes de 4 m).
⃗ (Q = 39,6 x 8 = 316,8 kN- appliquée au
on va remplacer cette charge par sa résultante Q
milieu de la poutre).
•
les réactions R⃗A et R⃗B .
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Equation d'équilibre (une seule suffit pour déterminer R B )
⃗ , R⃗B )=0 →
M A ( R⃗A , Q
R B=
4 x 316,8
=211,2 kN
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Diamètre des barres
Il faut : S=
N
πd2
N
≥σ
→ d ≥2 π σ
limite
limite
4
avec :
• N = 211,2 kN
• σlimite = 24 kN/cm2
√
Par suite : d ≥3,34 cm → d = 35 mm
Allongement des barres (déplacement de leurs extrémités)
Pour le calcul de l'allongement, les charges ne doivent pas être majorées → q = (4 + 3) x 4 = 28
28
=149,3 kN
kN/m2 → R B =211,2 x
39,6
Et : Δ L=
NL
ES
avec :
• N = 149,3 kN
• L = 5 m = 500 cm
• E = 21 000 kN/cm2
πd2
• S=
avec d = 3,5 cm → S = 9,62 cm2
4
Par suite : ΔL = 0,37 cm
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