Transcript Classe - Lycée Romain Rolland

Lycée Romain Rolland
Classes de Première Scientifique
Numéro de l'élève :
Mardi 11 février 2014
De 9h à 12h
Classe :
CONTROLE COMMUN DE MATHEMATIQUES
Aucun élève ne sera autorisé à quitter la salle avant la fin de l'épreuve.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements ainsi que la présentation de la copie entreront
pour une part importante dans l'évaluation. Le devoir sera rédigé sur des feuilles doubles numérotées.
La page 4 de l'énoncé est à rendre avec les copies.
Les cinq exercices doivent être traités. Ils peuvent l'être dans n'importe quel ordre.
Le barème est donné à titre indicatif et pourra être modifié. Le total est sur 20 points.
L'usage d'une calculatrice personnelle et d'une seule est autorisé.
Exercice n°1.
(5pts)
ABCD est un rectangle tel que AB = 3 cm et BC = 5 cm. On place sur les côtés les points M, N, P et Q
comme sur la figure avec AM = BN = CP = DQ . On note x la distance AM en cm et S ( x) l’aire du
quadrilatère MNPQ en cm².
1) Quel est l’ensemble de définition de la fonction S ?
2) Montrer que S ( x) = 2 x2 - 8x + 15 .
3) Peut-on placer le point M sur le côté [ AB] de telle sorte que l'aire de MNPQ soit égale à 9 cm² ?
4) Dresser le tableau de variation de la fonction S. Pour quelle valeur de x la fonction S atteint-elle son
maximum ? Justifier.
5) Pour quelle valeur de x, l’aire de MNPQ est-elle minimale et quelle est cette valeur minimale ?
6) Montrer que l'aire T du trapèze MBCP est constante.
( petite base + grande base ) ´ hauteur .
Rappel : aire d 'un trapèze =
2
7) Pour quelles valeurs de x l’aire du quadrilatère MNPQ est-elle inférieure à celle du trapèze ?
Exercice n°2. (6pts)
Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie 1 : Restitution organisée de connaissance
1) Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, telle que, pour tout réel x de I, u( x) ¹ 0 .
1
Démontrer que la fonction f = est dérivable sur I et déterminer sa fonction dérivée f ’.
u
1
2) Application : Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ¥ [ par f ( x) = 2 .
x
Démontrer que la fonction f est dérivable sur ] 0 ; + ¥ [ et déterminer sa fonction dérivée f ’ sous une forme
simplifiée.
1
Numéro de l'élève :
Classe :
Partie 2
(
)
Soit la fonction f définie sur [0;+¥[ par f ( x ) = 2 x 3 - x .
1) En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que f est dérivable en 0. Déterminer f ’(0).
2) En utilisant les propriétés du cours, démontrer que la fonction f est dérivable sur ]0;+¥[ et que, pour
tout réel x de ]0;+¥[ , f ' ( x ) = 6 - 3 x .
3) Que peut-on dire de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 4 ?
Partie 3
Soit f la fonction définie et dérivable sur
( O, I , J ) , est la courbe Cf tracée ci-dessous.
·
·
·
dont la représentation graphique, dans un repère orthogonal
Les points M, N, P, Q et R appartiennent à Cf.
La courbe Cf admet en chacun des points N et Q une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
La droite (D) est la tangente à la courbe Cf au point P de coordonnées (2 ; 5) ; elle passe par le point S
de coordonnées (3 ; 2).
1) a) Lire graphiquement, sans justification, f (1) , f '(1) , f (2) , f '(2) , f (3) et f '(3) .
b) Déterminer une équation de la droite (D) . Justifier.
2) La fonction f est en fait définie sur
par f ( x) = x3 - 6 x 2 + 9 x + 3 .
a) Déterminer f ’(x) pour tout réel x.
b) Déterminer les points de la courbe Cf en lesquels la tangente à Cf a un coefficient directeur égal à 9.
2x + 1
.
3) Soit g la fonction définie sur ] 1 ; + ¥ [ par g ( x) =
x -1
Soit Cg la courbe représentative de g dans le repère (O, I, J).
Montrer que la droite (D) est aussi la tangente à la courbe Cg au point P.
2
Numéro de l'élève :
Classe :
Exercice n°3. (3pts)
( O, I , J ) est un repère orthonormé du plan. On donne les points A ( 3 ;3) ; B ( 6 ;3)
; C ( 9 ;9 ) et D ( 3 ;6 ) .
1) Faire une figure.
2) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD . Les droites ( AB ) et ( CD ) sont-elles parallèles ?
Justifier.
3) Calculer les coordonnées des vecteurs AC et DB . Les droites ( AC ) et ( BD ) sont-elles perpendiculaires ?
Justifier.
4) a) Déterminer une équation de chacune des droites ( AC ) et ( BD ) dans ( O, I , J ) .
b) Déterminer alors les coordonnées de leur point d’intersection, noté K.
c) Vérifier que le point K est le milieu de [ DB ] .
5) Calculer AK . AC .
Exercice n°4. (2pts)
Voici un algorithme :
Variable : a est un nombre réel.
Début de l'algorithme
Entrer la valeur de a.
Si a < 0
| Tant que a £ -p
|
| a prend la valeur a + 2p
| Fin Tant que
| Afficher a
| Sinon
| Tant que a > p
|
| a prend la valeur a - 2p
| Fin Tant que
| Afficher a
Fin Si
Fin de l'algorithme
1) On exécute l'algorithme en entrant successivement a =
53p
47p
11p
; a=
et a = . Qu'affiche
3
4
6
l'algorithme pour chacune de ces valeurs de a ?
2) Si l'on considère que le nombre réel a est une mesure en radians d'un angle orienté de vecteurs qu'affiche
cet algorithme ?
3
Numéro de l'élève :
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Exercice n°5. (4pts)
On se propose de résoudre dans l'intervalle ]-p ;p ] l'équation trigonométrique
æ 3 1ö
3
(E) : cos 2 x - ç
.
ç 2 - 2 ÷÷ cos x - 4 = 0
è
ø
1) a) Développer l'expression ( a - x )( b - x ) où a et b sont deux nombres réels.
b) Déterminer l'expression du discriminant D puis celle de sa racine carrée
D en fonction de a et b.
æ 3 1ö
3
2) Dans l'équation (E) on pose X = cos x . On obtient l'équation (E') : X 2 - çç
- ÷÷ X =0.
4
è 2 2ø
a) Déduire de la question 1) les solutions dans de l'équation (E') d'inconnue X.
3
1
b) Résoudre dans l'intervalle ]-p ;p ] les équations cos x =
et cos x = - d'inconnue x.
2
2
c) En déduire les solutions de l'équation (E) dans l'intervalle ]-p ;p ] .
d) Placer sur le cercle trigonométrique ci-dessous les points associés à ces solutions.
Cercle trigonométrique :
4
1
correction du devoir commun 2014
Exercice 1 1) on voit que x varie entre 0 et 3 (le cot´e AB) ou entre 0 et
5 (le cot´e AD) donc S(x) est d´efinie sur [0; 3] ∩ [0; 5] = [0; 3].
2) On calcule S(x) = AM N P Q = AABCD −AAQM −AP CN −AM N B −AQDP
S(x) = 15 − 22 (3 − x)x − 22 (5 − x)x
= 2x2 − 8x + 15
3) Cela revient `
a r´esoudre :
S(x)=9
⇔ 2x2 − 8x + 6 = 0
⇔ x = 1 ou x = 3
Si M, P, Q et N sont `
a 1 cm ou 3 cm de A, B, C et D l’Aire de MNPQ est de 9cm2
4) On calcule S’(x), S ′ (x) = 4x − 8
x
0
2
S ′ (x)
−
3
+
0
15
9
S(x)
7
Pour x=0, MNPQ=ABCD; Il est clair sur le dessin que la surface maximale
est celle de ABCD.
5) On voit sur le tableau de variation que l’Aire est minimale en x=2 et
S(2)=7.
= 15
6) AM BCP = ((3−x)+x)×5
2
2
l’Aire ne depend pas de x, elle est donc constante et ´egale `
a
x ∈ [0; 3].
7) Cela revient a
` r´esoudre l’inquation 2x2 − 8x + 15 ≤
le tableau de signe de S(x).
x
+
S(x)
Donc 2x2 − 8x + 15 ≤
15
2
0
pour x ∈ [ 32 ; 52 ]
−
0
soit
on dresse donc
5
2
3
2
0
15
2 ,
15
2 quelque
3
+
2
Exercice 2
Partie I
1)f (x) =
1
u(x)
(x)
on applique la d´efinition : f ′ (x) = limh→0 f (x+h)−f
h
1
1
− u(x)
1
( u(x)
)′ = limh→0 u(x+h)h
u(x+h)−u(x)
= limh→0 u(x)−u(x+h)
u(x)u(x+h)h = limh→0 − u(x)u(x+h)h
′
1
= limh→0 u(x+h)−u(x)
× (− u(x)u(x+h)
) = − uu2(x)
h
(x)
1
2
2) f ′ (x) = limh→0 (x+h)h
−2x
= limh→0 x−2x−h
2 (x+h)2 = x4
− x12
= limh→0 x
2
√
Partie II 1) f ′ (0) = limh→0 2(0+h)(3−h
f est d´erivable en 0 et f’(0)=6.
2)f ′ (x) = 2(3 −
√
−x2 −2xh−h2
hx2 (x+h)2
0+h)−0
√
1
x) − 2x( 2√
)=6−2 x−
x
√x
x
2
−2xh−h
= limh→0 hx
2 (x+h)2
√
= limh→0 2 × 3 − 2 h = 6
√
=6−3 x
3) f’(4) = 0 donc latangente `
a la courbe est horizontale
et est d’´equation y = f(4) = 8
Partie III
1)a) f(1) =6, f’(1) =0, f(2)=5, f’(2)=-3, f(3)=3, f’(3)=0
b)On connait la formule d’une tangente en un point a, y=f’(a)(x-a)+f(a).
pour a=2,y = −3x + 11.
2) a) f ′ (x) = 3x2 − 12x + 9
b)f ′ (x) = 9 ⇔ 3x2 − 12x = 0
⇔ 3x(x − 4) = 0
⇔ x = 0 ou x = 4
les tangentes `
a la courbe aux points d’abscisse 0 et 4 ont pour coefficient directeur 9.
c) on calcule la tangente `
a Cg au point d’abscisse 2 :
y = g ′ (2)(x − 2) + g(2) = −3x + 11.
Exercice 3 1) figure trivial
−−→
−6
3−9
3 −−→
6−3
=
, CD =
=
2) AB =
−3
6−9
0
3−3
−
→ × y−
−
→ − y−
−
→ × x−
−
→ = −9 6= 0
On calcule x−
AB
CD
AB
CD
−−→
−−→
donc AB n’est pas colin´eaire avec CD.
3
−→
9−3
6 −−→
6−3
3
3) AC =
=
, DB =
=
9−3
6
3−6
−3
−→ −−→
→ × x−
−
→ + y−→ × y−
−
→ =0
On calcule AC.DB = x−
AC
AC
DB
−−→
−−→ DB
donc AB est orthogonal `
a CD et donc (AC) perpendiculaire `
a (BD).
−→
−−→
4) a) Soit M de coordon´es (x,y). Si M appartient `
a (AC) alors AC et AM
sont colin´eaires et donc :
→ × y−−→ − y−→ × x−−→ = 0
x−
AC
AM
AC
AM
⇔ 6(3 − y) − 6(3 − x) = 0
⇔ 18 − 6y − 18 + 6x = 0
⇔ −y + x = 0
⇔y=x
De la mˆeme mani`ere on obtient l’´equation de (BD) : y = −x + 9.
b)on calcule −x + 9 = x ⇔ x = 92 on r´einjectex =
´equations, par exemple y = x et on a y = 92 .
donc on a K( 92 ; 92 ).
9
2
dans une des deux
c)on v´erifie facilement que K est le milieu de [DB] par la formule des coordonn´es du milieu d’un segment.
−−→ −→
−
→ × x−→ + y−
−
→ × y−→ = 18.
5)AK.AC = x−
AK
AC
AK
AC
Exercice 4
radian.
l’agotithme nous donne la mesure principale de l’angle en
Exercice 5 1) a ) (a − x)(b − x) = ab − ax − bx + x2 = ab − (a + b)x + x2 .
b)∆ = (a + b)2 − 4 × 1 × ab = a2 + 2ab + b2 − 4ab = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
√
∆ = |a − b|
√
2) a) on identifie a = 23 et b = − 12 .


π
2π


x
=

x = 3
6
√
3
1
b) cosx = 2 ⇔ ou
et cosx = − 2 ⇔ ou




π
x = −6
x = − 2π
3
π π
c) les solutions de (E) sont donc − 2π
3 , − 6 , 6 et
d) figure page suivante
2π
3 .
4