Transcript Justifications des sections aux Eurocodes

Guide de justification des sections
Janvier 2014
Logiciels Ouvrages d’Art
SOMMAIRE
Versions des EC utilisées..................................................................................................... 3
Justification en flexion des sections aux ELS ....................................................................... 4
Contraintes normales limites ............................................................................................. 4
Analyse élastique à l'ELS caractéristique :..................................................................... 4
Si la section est mixte : .................................................................................................. 4
Si la section est fissurée : .............................................................................................. 4
Respiration des âmes (ELS fréquent) ............................................................................... 5
Calcul et présentation du critère .................................................................................... 5
Détermination des coefficients de voilement .................................................................. 5
Contraintes de cisaillement limites à l'ELS ........................................................................ 8
Vérification à la fatigue oligo-cyclique (à l'ELS fréquent)................................................... 8
Justification des sections à l'ELU fondamental ..................................................................... 9
Classification des éléments métalliques de sections ......................................................... 9
Introduction .................................................................................................................... 9
Méthode de calcul........................................................................................................ 11
Classification des tôles d'un profilé .............................................................................. 11
Classification d'une poutre en I .................................................................................... 22
Classification d'un caisson ........................................................................................... 24
Caractéristiques efficaces des semelles d'un caisson..................................................... 29
Cas où la semelle ne comporte aucun raidisseur longitudinal: ..................................... 29
Cas où la semelle comporte plusieurs raidisseurs : ..................................................... 31
Calcul des contraintes pour une section de classe 4....................................................... 34
Justification en plasticité ................................................................................................. 35
Justification en élasticité ................................................................................................. 37
Justification en élasticité des section de classe 3 ........................................................ 37
Justification en élasticité des section de classe 4 ........................................................ 37
Vérification de la résistance plastique des âmes à l'effort tranchant ............................... 38
Vérification de la résistance des âmes au voilement par cisaillement ............................. 39
Vérification du cisaillement avec voilement .................................................................. 39
Interaction des âmes Moment/Effort tranchant ............................................................ 41
Vérification du déversement............................................................................................ 43
Calcul de la raideur des pièces de pont ....................................................................... 43
Calcul de la raideur des entretoises ............................................................................. 45
Méthode simplifiée de vérification ................................................................................ 47
Connexion .......................................................................................................................... 49
Dimensionnement à ELS................................................................................................. 50
Dimensionnement à l'ELU ............................................................................................... 51
Vérification à la fatigue ....................................................................................................... 54
Vérification à la fatigue de la charpente métallique : .................................................... 59
Vérification à la fatigue des connecteurs...................................................................... 61
Maîtrise de la fissuration..................................................................................................... 63
Ferraillage minimum de non-fragilité ............................................................................... 63
Vérification de l'ouverture de fissure due aux actions non calculées ............................ 64
Vérification de l'ouverture de fissure due aux charges extérieures............................... 64
Versions des EC utilisées
Lorsqu'on calcule un pont mixte, le texte normatif directeur est la partie 2 de l'Eurocode 4.
La figure 1 montre les principaux textes utilisés avec l'EN1994-2 ainsi que les priorités
d'appel des textes entre eux :
EN 1993 – 1-5 :
Raidissage ; voilement
des plaques
EN 1990 :
Bases de calcul
Annexe A2 :
application aux
ponts
EN 1993 – 1-9 :
fatigue
EN 1993 – 1-1 :
Règles générales acier
EN 1993 – 2 : ponts métalliques
EN 1993 – 1-10 :
Rupture fragile
EN 1994 – 2 : ponts mixtes
EN 1991 :
1-1 Charges
permanentes
1-5 Température
1-6 Charges d'exécution
2 Trafic
EN 1992 – 2 : ponts en béton
EN 1992 – 1-1 : règles générales béton
Figure 1 : Principaux textes Eurocodes utilisés dans OM3
Justification en flexion des sections aux ELS
Contraintes normales limites
Analyse élastique à l'ELS caractéristique :
Il faut vérifier le critère suivant :
• Pour la fibre supérieure de la semelle supérieure
σfibre_sup_semelle_sup ≤
fys
γMser
Équation 1 : Limitation des contraintes fibre sup semelle sup ELS Caractéristique
•
Pour la fibre inférieure de la semelle inférieure
σfibre_inf_semelle_inf ≤
fyi
γMser
Équation 2 : Limitation des contraintes fibre inf semelle inf ELS Caractéristique
Si la section est mixte :
Il faut vérifier le critère : EN 1994-2,7.2.2 (2) qui renvoie à EN 1992-1.1,7.2
σ sup_ hourdis ≤ 0.6 fck
Équation 3 : Limitation des contraintes sup hourdis ELS Caractéristique
σ inf_ hourdis ≤ 0.6 fck
Équation 4 : Limitation des contraintes inf hourdis ELS Caractéristique
Si la section est fissurée :
Il faut vérifier le critère : EN 1994-2,7.2.2 (4) qui renvoie à EN 1992-1.1,7.2 (5)
σ sup_ acier _ passif ≤ 0.8 fsk
Équation 5 : Limitation des contraintes en nappe sup des aciers passifs ELS caractéristique
σ inf_ acier _ passif ≤ 0.8 fsk
Équation 6 : Limitation des contraintes en nappe inf des aciers passifs ELS caractéristique
Attention !!! Lorsque Mc,Ed est négatif, le projeteur doit ajouter aux
σ_inf_ aciers_passifs
calculées dans le béton participant, le terme ∆ σs lié à la rigidité du
contraintes
σ_sup_
aciers_passifs et
béton tendu entre les fissures.
Respiration des âmes (ELS fréquent)
Calcul et présentation du critère
(EN 1994-2,7.2.3 (1) qui renvoie à EN 1993-2 & 7.4)
A chaque passage de véhicules sur le pont, l’âme se déforme légèrement hors de son plan, suivant
l’allure de la déformée du premier mode critique, avant de revenir à sa position initiale. Cette
déformation répétée, appelée respiration de l’âme, est susceptible de générer des fissures de fatigue à
la jonction âme/semelle. Pour les âmes dépourvues de raidisseurs longitudinaux (ou pour un souspanneau d'âme raidie), les risques de respiration de l'âme sont négligeables si :
hw
≤ min(30 + 4 L,300)
tw
Équation 7: Critère d'élancement ELS fréquent
où L est la longueur de la travée en m ( L >= 20 m ).
De façon générale, ce critère est largement satisfait pour les ponts routiers. A défaut, l'EN1993-2
définit tout de même un critère plus précis à partir des contraintes critiques de voilement de l'âme non
raidie (ou d'un sous-panneau), σcr = kσ
τx,Ed,ser sous combinaison ELS fréquente :
σE et τcr = kτσE, et des contraintes sollicitantes σx,Ed,ser et
  σx, Ed, ser  2  τx, Ed, ser  2 

+ 1,1
  ≤ 1,1
  σcr  
τ
cr
 

Équation 8 : Critère de non-respiration du panneau d'âme
Soit ea l'épaisseur de l'âme
Pour un caisson eat=2*ea pour poutres en I eat=ea
Pour un caisson Isl est l'inertie des raidisseurs d'une seule âme.
Si ha/ ea < min(30+4L,300) et L(=portée) > 20 mètres on néglige le critère précédent :
(EN 1993-2 & 7.4)
σEd est la contrainte de compression maximum en fibre extrême du sous-panneau
Contrainte critique d'Euler :
π 2 .Ea.ea 2
σe =
12(1 −ν 2 )ha 2
Équation 9 : Calcul de la contrainte d'Euler
Détermination des coefficients de voilement
Il est nécessaire de différencier les panneaux raidis des panneaux non raidis. Dans le cas de
panneaux raidis (types âmes entière) les formules données par l’Eurocode 1993-1-5 sont enrichies
d’un terme kst détaillé ci-dessous. Il est naturellement possible de vérifier ces coefficient à l’aide
d’outils numériques plus fins
Calcul des coefficients de voilement des raidisseurs d’âmes
Selon (EN 1993-1-5, A.3)
Isl = Inertie des raidisseurs d'âmes
a = Espacement des cadres
  ha  2  Isl  3 4 2,1 Isl 

kτst = max 9.  
 , .3
  a   ha.ea 3  ea ha 


Équation 10 : Calcul de ktst
Calcul de kτ
kτ se déduit des conditions de raidissage du sous-panneau :
•
Si le panneau n’est pas raidi OU a/ha >3 :
o Si a/ha < 1 :
2
 ha 
kτ = 4 + 5,34.  + kτst
a
Équation 11 : Calcul de kt, cas 1
o Si a/ha > 1 :
2
 ha 
kτ = 5,34 + 4.  + kτst
a
Équation 12 : Calcul de kt, cas 2
•
Sinon :
kτ = 4,1 +
6,3 + 0,18.
a
 
 ha 
Isl
ha.ea 3 + 2,2..3
2
Isl
haea 3
Équation 13 : Calcul de kt, cas 3
Calcul de kσ :
kσ se déduit de la répartition des contraintes dans le sous-panneau. C’est pourquoi dans la note de
calcul ELS fréquent dans OM3, il existe autant de kσ que de cas possibles (six en l’occurrence : max et
min pour trois concomitants). Voici le détail du calcul du coefficient en fonction de la répartition des
contraintes, avec σ1 la contrainte normale au bord supérieur du panneau et σ2 en bord inférieur:
σ
σ
• Si ( 1< 0 et
2> 0)
L'âme est tendue en haut et comprimée en bas.
ψ=
σ1
,ψk = ψ
σ2
Si (ψ <-2.0) ψk=-2.0
Si (ψ > 1.0) ψk=1.0
Si (ψ > 0.0) kσ=8.2/(ψk+1.05)
Si (ψ < 0.0 ET ψ > -1.0) kσ = 7.81-6.29*ψk+9.78*ψk*ψk
Sinon (ψ < -1) kσ=5.98*(1.0-ψk)*(1.0-ψk)
• Si (σ1> 0 et σ2< 0)
L'âme est comprimée en haut et tendue en bas
ψ= σ2/σ1 ; ψk=ψ
SI (ψ <-2.0) ψk=-2.0
SI (ψ > 1.0) ψk=1.0
SI (ψ > 0.0) kσ=8.2/(ψk+1.05)
SI (ψ < 0.0 ET ψ > -1.0) kσ=7.81-6.29*ψk+9.78*ψk*ψk
SI ( psi < -1)
kσ=5.98*(1.0-ψk)*(1.0-ψk)
• SI (σ1 > 0.0 ET σ2 > 0.0)
L'âme est entièrement comprimée
ψ= σ2/σ1 ; ψk=ψ
kσ=8.2/(ψk+1.05)
Contraintes de cisaillement limites à l'ELS
Il faut vérifier :
τEd <= fys/sqrt(3)* γMser
τEd <= fyi/sqrt(3)* γMser
Il faut vérifier le critère de Von Mises à l'ELS caractéristique :
sqrt(σ semelle sup**2+3τEd **2) <= fys/γMser
sqrt(σ semelle inf**2+3
τEd **2) <= fyi/γMser
Dans OM3 les contraintes de cisaillement sont calculées au centre de gravité de la
poutre métallique.
Vérification à la fatigue oligo-cyclique (à
l'ELS fréquent)
Il faut vérifier :
∆σ fréquent charpente < 1.5*fy/γMser
Justification des sections à l'ELU fondamental
Classification des éléments métalliques de sections
Introduction
Les différentes sections constituant une structure mixte sont vérifiées sous les
combinaisons d’actions ELS et ELU. Les vérifications à l'ELU font appel à la notion
de classe de sections. Selon la classe d’une section, les vérifications sont de natures
différentes. La classe d’une section dépend de ses caractéristiques géométriques
(incluant la prise en compte de l’ensemble dalle / connecteurs comme élément
stabilisant de la semelle supérieure), mais aussi du signe et de l’intensité des efforts
appliqués. La classification repose essentiellement sur l’Eurocode 3 1-1, la section
métallique étant isolée de la section complète. La mixité de la section intervient
cependant dans la classification, par exemple pour la semelle supérieure dont sa
connexion avec la dalle améliore son classement.
On distingue 4 classes de sections :
Classe 1 :
Section transversale massive pouvant atteindre sa résistance
plastique sans risque de voilement et possédant une réserve
plastique suffisante pour introduire dans la structure une rotule
plastique susceptible d'être prise en compte dans une analyse
globale plastique.
Classe 2 :
Section transversale massive pouvant atteindre sa résistance
plastique sans risque de voilement, mais ne possédant pas de
réserve plastique suffisante pour introduire une éventuelle rotule
plastique dans l'analyse globale.
Classe 3 :
Section transversale pouvant atteindre sa résistance élastique,
mais pas sa résistance plastique à cause des risques de
voilement.
Classe 4 :
Section transversale à parois élancées ne pouvant atteindre sa
résistance élastique à cause des risques de voilement.
La classe d'une section mixte est la classe la plus élevée des parois comprimées en
acier qui la composent. On peut faire trois remarques préliminaires :
1)Le voilement local ne peut être provoqué que par des contraintes de compression.
Toute paroi soumise uniquement à de la traction est obligatoirement de classe 1 quel
que soit son élancement.
2)Si une paroi est de classe n sous compression uniforme, alors elle est forcément
de classe m ≤ n pour tout autre cas de sollicitation qui ne peut que diminuer les
efforts de compression.
3)Si les connecteurs respectent les espacements définis dans l'EN1994-2, 6.6.5.5,
alors une semelle comprimée en acier connectée à une dalle en béton est de classe
1. Pour classer une paroi interne (c'est à dire une paroi bordée par 2 autres parois
perpendiculaires qui la stabilisent sur ses bords) comme une âme de poutre en I ou
un sous-panneau de fond de caisson, on utilise le tableau 5.2, feuille 1/3, de
l'EN1993-1-1. Pour classer une paroi en console (c'est à dire une paroi bordée d'un
seul côté) comme une moitié de semelle de poutre en I, on utilise le tableau 5.2,
feuille 2/3, de l'EN1993-1-1. Ces tableaux fournissent les élancements limites entre
les classes. Pour déterminer la classe d'une paroi d'une section donnée, on
suppose que cette paroi est de classe 1 ou 2. Elle est calculée en plasticité dans
OM3. La position de l'axe neutre plastique (ANP) de la section permet de déterminer
l'élancement limite de cette paroi (entre classe 2 et classe 3), et de valider cette
hypothèse. Si ce n'est pas le cas, le diagramme élastique des contraintes de l'ELU
(issu de l’analyse globale fissurée et tenant compte du phasage de construction de
la structure) permet de déterminer l'élancement limite de la classe 3. Si celui-ci est
dépassé à son tour, la paroi étudiée est de classe 4.
Une section en I de classe 3 l'est souvent à
cause de son âme, paroi la plus élancée.
L'EN1994-2 permet de reclasser cette âme
en classe 2 et donc de justifier la section en
plasticité. Le moment résistant plastique est
alors déterminé en limitant les hauteurs
d'âme comprimée à 20e tw , c'est à dire en
supprimant la zone d'âme susceptible de
voiler.
Dans la pratique des ponts mixtes, toutes les sections rencontrées soumises à des
moments négatifs seront généralement de classe 3 ou 4 (élancement des âmes).
Les sections en travée soumises à un moment fléchissant positif sont généralement
de classe 1 ou 2.
(EN1994-2, 5.5.1(1), EN1994-2, 5.5.1(2), EN1994-2, 5.5.2(1), EN1993-1-1, tableau
5.2 EN1994-2, 5.5.2(3))
Méthode de calcul
On utilise les résultats du calcul des contraintes généralisées en analyse fissurée.
Conformément à la norme EN 1994-2, 5.5.1 le béton tendu sur la fibre sup. ou
inf. de la dalle ne doit pas être pris en compte. Si c'est le cas, les contraintes à
prendre en compte sont celles en analyse fissurée obtenues à partir de
caractéristiques mécaniques ne tenant pas compte de la dalle en béton.
Une combinaison d'action est le résultat d'un cumul de chargements
élémentaires, chacun étant affecté d'un coefficient d'équivalence particulier. Si
chaque charge élémentaire de la combinaison est appliqué sur la poutre métallique
seule, la section sera dite de type 'métal seul' sinon elle sera de type "mixte". Cette
distinction est essentielle pour la détermination de la classe de la section.
Classifier une section c'est donc classer tous les éléments la constituant, c'est
à dire analyser les champs de contrainte longitudinale se développant dans les 2
semelles et l’âme.
En fonction des classes obtenues, les largeurs de semelles et hauteurs d’âme
efficaces sont calculées pour les semelles lorsqu’elles sont de classe 4, pour l’âme
lorsqu’elle est de classe 4 et éventuellement lorsqu’elle est de classe 3 et que les 2
semelles sont de classe 1 ou 2 (reclassement de l’âme en classe 2 moyennant une
perte de section efficace).
La classe de la section sera donc définie comme le vecteur suivant :
Classe de la section = { classe semelle sup. ; classe de l'âme; classe semelle inf.}
Classification des tôles d'un profilé
A partir des données suivantes :
c = largeur de l'élément
e =épaisseur de l'élément
fy = limite d’élasticité de l'élément (tenant compte de son épaisseur)
ε = (235/fy)½}
Ceff1
Ceff2
c
Si élément de semelle en console :
(Voir norme EN 1993-1-1 tableau 5-2 (2) (3) et EN 1993-1-5 Tableau 4-2)
σacier1= contrainte dans la semelle au niveau de l'encorbellement
σacier2= contrainte au bord de la semelle
(Contraintes dans le plan moyen de la semelle)
ceff1=c ; ceff2=0
Si l'élément est une semelle sup. d'une section mixte
classe=1
Si σacier1 < 0 et σacier2 < 0 :
L'élément est entièrement tendu d'où classe=1
Si σacier1 < 0 (tension) et σacier2 > 0 (compression):
Ceff1
σacier2
c
σacier1
Ψ= σacier1/ σacier2 ; Ψk= Ψ
Si Ψ <-3 alors Ψk=-3 Si Ψ > 1 alors Ψk=1
kσ = 0.57-0.21 Ψk + 0.07 Ψk2
k1=9/α, k2=10/α, k3=21(kσ)½
Calcul de la classe de l'élément (voir figure 1)
Si classe=4 :
λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)
Si
λp <= 0.748 ρ=1
2
Sinon ρ=(λp-0.188)/λp
<= 1 (EN 1993-1-5 & 4.4 (2))
kα =1/(1- Ψ) ; ceff1=(1+ kα(ρ-1))c
ceff2=0
Sinon Si σacier1 > 0 (compression) et σacier2 < 0 (tension) :
Ceff1
σacier1
Ceff2
c
Ψ= σacier2/ σacier1 ; Ψk= Ψ
Si Ψ <-1 alors Ψk=-1 Si Ψ > 1 alors Ψk=1
Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 0.578/(Ψk + 0.34)
Si Ψ < 0 kσ = 1.7-5 Ψk + 17.1 Ψk
½
½
2
½
k1=9/(α.α ),k2=10/(α.α ), k3=21(kσ)
Si classe=4 :
λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)
Si
λp <= 0.748 ρ=1
Sinon ρ=(λp-0.188)/λp2
kα =1/(1- Ψ) ;
<= 1.0
ceff1=kα.ρ.c
ceff2=(1-kα)c
σacier2
Sinon σacier1 > 0 et σacier2 > 0
(l'élément est entièrement comprimé, compression uniforme)
σacier1
ceff1
σacier2
c
kσ = 0.43
k1=9, k2=10, k3=14
Si classe=4 :
λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)
Si
λp <= 0.748 ρ=1
sinon
2
ρ=(λp-0.188)/λp
ceff1=ρ.c
ceff2=0
<= 1.0
Si élément de semelle interne :
(Voir norme EN 1993-1-1 tableau 5-2 (1) (3) et EN 1993 1-5 Tableau 5-1)
(cas du caisson fermé pour les semelles sup. et inf. ou cas du caisson ouvert pour la
semelle inf.) :
σacier1= contrainte en début d'élément
σacier2= contrainte en fin d'élément
ceff1=c/2 ceff2=c/2
Si l'élément est une semelle sup. d'une section mixte
classe=1
Si σacier1 < 0 et σacier2 < 0 :
L'élément est entièrement tendu d'où classe=1
Si σacier1 < 0 (traction) et σacier2 > 0 (compression) :
Ceff2
σacier2
Ceff1
c
σacier1
Ψ= σacier1/ σacier2 ; Ψk= Ψ
Si Ψ <-3 alors Ψk=-3 Si Ψ > 1 alors Ψk=1 (EN 1993-1-5 tableau 4.1)
Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)
Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2
Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2
SI α > 0.5
k1=396/(13 α-1), k2= 456/(13 α-1)
SI α <= 0.5 k1=36/α, k2=41.5/α
Si Ψ > -1 k3=42/(0.67+0.33 Ψ)
½
Si Ψ <= -1 k3=62(1-Ψ)(-Ψ)
Si classe=4 :
½
λp=(c/e)/(28.4ε(kσ) )
Si
λp <= 0.673 ρ=1
Sinon
ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2
kα =1/(1- Ψ) ;
<= 1.0
ceff1= (1-kα+ 0.6ρ.kα)c
ceff2=0.4 kα.ρ.c
Sinon Si σacier1 > 0 (compression) et σacier2 < 0 (traction) :
Ceff2
σacier1
Ceff1
c
σacier2
Ψ= σacier2/ σacier1 ; Ψk= Ψ
Si Ψ <-3 alors Ψ=-3 Si Ψ > 1 alors Ψk=1 (EN 1993-1-5 tableau 4.1)
Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)
Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2
Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2
SI α > 0.5
k1=396/(13 α-1), k2= 456/(13 α-1)
SI α <= 0.5 k1=36/α, k2=41.5/α
Si Ψ > -1 k3=42/(0.67+0.33 Ψ)
Si Ψ <= -1 k3=62(1-Ψ)(-Ψ) ½
Si classe=4 :
λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)
Si
λp <= 0.673 ρ=1
Sinon
ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2
kα =1/(1-Ψ) ;
<= 1.0
ceff1=0.4 kα.ρ.c ; ceff2=(1-kα+ 0.6ρ.kα)c
Sinon σacier1 > 0 et σacier2 > 0 (élément comprimé uniformément) :
Ceff2
σacier2
σacier1
Ceff1
c
Ψ=1
kσ = 4.0
k1=33, k2=38, k3=42
Si classe=4 :
λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)
Si
λp <= 0.673 ρ=1
sinon
ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2
ceff1=0.5.ρ.c
ceff2=0.5.ρ.c
<= 1.0
Si élément interne perpendiculaire à l'axe de flexion :
(Voir norme EN 1993-1-1 tableau 5-2 (1) (3) et EN 1993 1-5 Tableau 4-1)
(cas d'une âme de poutre ou d'une âme d'un caisson)
ceff1=c/2 ceff2=c/2
σacier1= contrainte en haut de l'âme
σacier2= contrainte en bas de l'âme
Si σacier1 < 0 et σacier2 < 0 :
L'élément est entièrement tendu d'où classe=1
Si σacier1 < 0 (tension) et σacier2 > 0 (compression) :
σacier1
Ceff1
c
Ceff2
σacier2
Ψ= σacier1/ σacier2 ; Ψk= Ψ
Si Ψ <-3 alors Ψk=-3 Si Ψ > 1 alors Ψk=1
(EN 1993-1-5 tableau 4.1)
Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)
Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2
Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2
SI α > 0.5
k1=396/(13 α-1), k2= 456/(13 α-1)
SI α <= 0.5 k1=36/α, k2=41.5/α
Si Ψ > -1 k3=42/(0.67+0.33 Ψ)
Si Ψ <= -1 k3=62(1-Ψ)(-Ψ) ½
Si classe=4 :
λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)
Si
λp <= 0.673 ρ=1
sinon
ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2
kα =1/(1- Ψ) ;
<= 1.0
ceff1= (1-kα+ 0.6ρ.kα)c
ceff2=0.4kα.ρ.c
Sinon Si σacier1 > 0 (compression) et σacier2 < 0 (tension):
σacier1
Ceff1
c
Ceff2
σacier2
Ψ= σacier2/ σacier1 ; Ψk= Ψ
Si Ψ <-3 alors Ψk=-3 Si Ψ > 1 alors Ψk=1 (EN 1993-1-5 tableau 4.1)
Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)
Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2
Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2
SI α > 0.5
k1=396/(13 α-1), k2= 456/(13 α-1)
SI α <= 0.5 k1=36/α, k2=41.5/α
Si Ψ > -1 k3=42/(0.67+0.33 Ψ)
Si Ψ <= -1 k3=62(1-Ψ)(-Ψ) ½
Si classe=4 :
λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)
Si
λp <= 0.673 ρ=1
sinon
ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2
kα =1/(1- Ψ) ;
ceff1=0.4 kα.ρ.c
<= 1.0
ceff2= (1-kα+ 0.6ρ.kα)c
Sinon σacier1 > 0 et σacier2 > 0 (élément entièrement comprimé)
σacier1
Ceff1
c
Ceff2
σacier2
Ψ= min(σacier1, σacier2)/ max(σacier1, σacier2) ; Ψk= Ψ
Si Ψ <-3 alors Ψk=-3 Si Ψ > 1 alors Ψk=1
(EN 1993-1-5 tableau 4.1)
Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)
Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2
Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2
k1=33, k2=38, k3=42
Si σacier1 > σacier2 α1=2/(5- Ψ), α2=1- α1
Si σacier2 > σacier1 α2=2/(5- Ψ), α1=1- α2
Si classe=4 :
λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)
Si
λp <= 0.673 ρ=1
Sinon ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2
ceff1=α1.ρ.c
ceff2=α2.ρ.c
<= 1.0
Figure 1 : Classe de l'élément
c / e ≤ k1 x ε ?
Oui
classe = 1
Non
classe = 2
c / e ≤ k2 x ε ?
Non
Oui
c / e ≤ k3 x ε ?
classe = 3
(2)
Non
classe = 4
(2) Si l'élément est une âme de classe 3 et si les semelles sont de classe 1 ou 2, il
peut être reclassé en classe 2
Classification d'une poutre en I
bs
bseff
haseff
ha
haieff
bieff
bi
Classer la semelle sup :
c=((bs-ea)/2)-Largeur_d_une_soudure
σ1=σ_semelle_sup ; σ2=σ1
fy=fys
Calculer la classe d'un élément en console
Si la poutre est mixte Classe_de_la_semelle_sup=1
Si Classe_de_la_semelle_sup=4 calculer la largeur efficace :
bseff=(Largeur_efficace_de_l'élément+Largeur_d_une_soudure).2+ea
Classer la semelle inf :
c=((bi-ea)/2)-Largeur_d_une_soudure
e=ei
σ1=σ_semelle_inf
σ2=σ1
fy=fyi
Calculer la classe d'un élément en console
Si la classe de la semelle sup est égale à 4 calculer la largeur efficace :
bieff=( Largeur_efficace_de_l'élément +Largeur_d_une_soudure).2+ea
Classer l'âme :
La valeur de la contrainte est celle calculée à une distance de la hauteur d'une soudure par
rapport au sommet ou à la base de l'âme.
c=ha-2*Hauteur_d_une_soudure
e=ea ; fy=fya
Si le moment conventionnel est positif :
si l'axe neutre plastique est au dessus de l'âme : l'âme est tendue donc de classe égale à 1
si l'axe_neutre_plastique est placé à l'intérieur de l'âme :
α =(ha+ei-Dz_axe_neutre_plastique-Hauteur_d_une_soudure)/c
si l'axe neutre plastique est placé au dessous de l'âme :
α =1
Si le moment conventionnel est négatif ou nul :
si l'axe neutre plastique est au dessus de l'âme :
α =1
si l'axe neutre plastique est placé à l'intérieur de l'âme :
α =1-(ha+ei-Dz_axe_neutre_plastique-Hauteur_d_une_soudure)/c
si l'axe neutre plastique est placé au dessous de l'âme : l'âme est tendue donc de classe
égale à 1
Remarque : Dz_axe_neutre_plastique est la distance de l'axe neutre plastique par rapport à
la fibre inf de la semelle inf.
Calculer la classe d'un élément interne :
Si l'élément est une âme de classe 3 et si les semelles sont de classe 1 ou 2 il peut être
traité en classe 2 avec les hauteurs efficaces suivantes :
ε = (235/fya)½}
Ψ = σ1/σ2
Si σ1> 0 et σ2 < 0 :
ceff1=20.ea. ε ; ceff2=20.ea.ε + (1- α). c
Sinon ceff2=20.ea.ε ; ceff1=20.ea.ε + (1- α). c
haseff=ceff1+Hauteur_d_une_soudure ; haieff=ceff2+Hauteur_d_une_soudure
Si la classe de l'ame=4 :
haseff=ceff1+Hauteur_d_une_soudure ; haieff=ceff2+Hauteur_d_une_soudure
Classification d'un caisson
bseff/2
bsc1
bsc2
bs/2
es
haseff
Entraxe des âmes du
ha
ea
Largeur du fond de
caisson
haieff
bic1
Inclinaison de
bic2
bieff/2
bi
bs = largeur totale de la semelle sup
ea=épaisseur de l'âme dans un plan perpendiculaire à l'axe de l'âme
beta=Inclinaison_des_ames*pi/180
L'entraxe des âmes est mesuré :
- Entre les intersections des axes des âmes-avec la fibre SUP de la semelle sup (si les
épaisseurs des semelles sup et inf varient vers l'intérieur (cas INTR) ou si les épaisseurs
des semelles sup varient vers l'intérieur et les semelles inf varient vers l'extérieur (cas
SOUS)).
- Entre les intersections des axes des âmes-avec la fibre INF de la semelle sup (si les
épaisseurs des semelles sup et inf varient vers l'extérieur (cas EXTR))
htpano=ha/cos(beta)
Largeur_du_fond_de_caisson=Entraxe_des_ames-(ea/cosinus(beta))-(2*ha*tangente(beta))
Si le caisson est ouvert :
bsc1=((bs/2)-(ea/cosinus(beta)))/2 ; bsc2=bsc1
haieff=ha/2 ; haseff=ha/2
bic1=((bi-Largeur_du_fond_de_caisson)/2)-(ea/cosinus(beta))
bic2=Largeur_du_fond_de_caisson/2
Si le caisson est fermé :
bsc1=(bs-Entraxe_des_ames-(ea/cosinus(beta))/2
bsc2=(Entraxe_des_ames/2)-(ea/cosinus(beta))/2
haieff=ha/2 ; haseff=ha/2
bic1=((bi-Largeur_du_fond_de_caisson)/2)-(ea/cosinus(beta))
bic2=Largeur_du_fond_de_caisson/2
Classer la semelle sup en console :
Si le caisson est ouvert :
c=((bs/2)-2.Largeur_d_une_soudure-(ea/cosinus(beta)))/2
Si le caisson est fermé :
c=(bs-Entraxe_des_ames-2.Largeur_d_une_soudure-(ea/cosinus(beta)))/2
e=es
σ1=σ_semelle_sup
σ2=σ1
fy=fys
Calculer la classe d'un élément en console
Si la poutre est mixte la classe de la semelle sup en console est égale à 1
Si la classe de la semelle sup est égale à 4 calculer la largeur efficace :
bsc1=(ceff1+Largeur_d_une_soudure)
bsc2=bsc1 ; bseff=(bsc1+bsc2+(ea/cosinus(beta))).2
Classe_de_la_semelle_sup_interne=Classe_de_la_semelle_sup_en_console
Si le caisson est fermé :
Classer la semelle sup interne :
c=Entraxe_des_ames-2.Largeur_d_une_soudure-(ea/cosinus(beta))
e=es
σ1=σ_semelle_sup
σ2=σ1
fy=fys
Calculer la classe d'un élément interne :
Si la poutre est mixte la classe de la semelle sup interne est égale à 1
Si la classe de la semelle sup interne est égale à 4 calculer la largeur efficace :
bsc2=(ceff1+Largeur_d_une_soudure)
bseff=(bsc1+bsc2+(ea/cosinus(beta)))*2
Classe_de_la_semelle_sup=max(Classe_de_la_semelle_sup_en_console,
Classe_de_la_semelle_sup_interne)
Classer la semelle inf en console
c=(bi-2.Largeur_d_une_soudure-Largeur_du_fond_de_caisson-(2.(ea/cosinus(beta)))/2
e=ei
σ1=σ_semelle_inf
σ2=σ1
fy=fyi
Calculer la classe de la semelle inf en console
bic1=ceff1+Largeur_d_une_soudure
Classe_de_la_semelle_inf_interne=Classe_de_la_semelle_inf_en_console
Si le caisson est fermé :
Classer la semelle inf interne :
c=Largeur_du_fond_de_caisson-2xLargeur_d_une_soudure
e=ei
σ1=σ_semelle_inf
σ2=σ1
fy=fyi
Si la classe de la semelle inf interne est égale à 4 :
bic2=(ceff1+Largeur_d_une_soudure)
bieff=(bic1+bic2+(ea/cosinus(beta))).2
Classe_de_la_semelle_inf=max(Classe_de_la_semelle_inf_en_console,
Classe_de_la_semelle_inf_interne)
Classer l'âme
La valeur de la contrainte est celle calculée à une distance de la hauteur d'une
soudure par rapport au sommet ou à la base de l'âme.
c=htpano-2.Hauteur_d_une_soudure et cv=c*cos(beta)
e=ea
fy=fya
Si le moment conventionnel est positif :
si l'axe neutre plastique est au dessus de l'âme : l'âme est tendue donc de classe
égale à 1
si l'axe_neutre_plastique est placé à l'intérieur de l'âme :
α =(ha+ei-Dz_axe_neutre_plastique-Hauteur_d_une_soudure)/cv
si l'axe_neutre_plastique est placé au dessous de l'âme :
α =1
Si le moment conventionnel est négatif ou nul:
si l'axe neutre plastique est au dessus de l'âme :
α =1
si l'axe neutre plastique est placé à l'intérieur de l'âme :
α =1-(ha+ei-Dz_axe_neutre_plastique-Hauteur_d_une_soudure)/cv
si l'axe neutre plastique est placé au dessous de l'âme : l'âme est tendue donc de
classe égale à 1
Remarque : Dz_axe_neutre_plastique est la distance de l'axe neutre plastique par rapport à
la fibre inf de la semelle inf.
Classifier l'élément interne :
Si l'élément est une âme de classe 3 et si les semelles sont de classe 1 ou 2 il peut
être traité en classe 2 avec les hauteurs efficaces suivantes :
½
ε = (235/fya) }
Ψ = σ1/σ2
0 et σ2 < 0 :
ceff1=20.ea. ε
ceff2=20.ea.ε + (1- α). c
sinon
ceff2=20.ea.ε
ceff1=20.ea.ε + (1- α). c
Si
σ1>
haseff=ceff1*cos(beta)+Hauteur_d_une_soudure
haieff=ceff2*cos(beta)+Hauteur_d_une_soudure
Si la classe de l'âme est égale à 4 :
haseff=ceff1*cos(beta)+Hauteur_d_une_soudure
haieff=ceff2*cos(beta)+Hauteur_d_une_soudure
Détermination de l'axe neutre plastique :
Effort semelle sup : Fs=bs.es.fys/γM0
Effort semelle inf : Fi=bi.ei fyi/γM0
Effort dans l'âme : Fa=ea.ha.fya/γM0
Remarque :
Pour un caisson ea correspond à la somme des épaisseurs de l'âme (épaisseur
mesurée dans un plan perpendiculaire à l'axe de l'âme).
a) Si le moment est positif :
Prise en compte de la dalle béton.
Effort dans la dalle Fbd=Section_dalle_béton_participante. 0.85.fck/γc
Effort dans le renformis Fbr=Section_renformis.0.85.fck/γc (il y a deux renformis si
la poutre est un caisson).
Avec Section_dalle_béton_participante =Section de la portion de dalle participante
affectée à la poutre étudiée ou section de toute la dalle participante pour un caisson.
Les largeurs participantes sont celles calculées pour le calcul des contraintes
généralisées dans l'analyse des sections.
γc=1.5 (paramétrés dans le fichier des paramètres om3.par)
Effort total Ft=0.5(Fs+Fi+Fa+Fbd+Fbr)
b) Si le moment est négatif :
Faps=Section_aciers_passifs_nappe_sup.fsk/γs
Fapi=Section_aciers_passifs_nappe_inf.fsk/γs
avec γs=1.15 et par exemple fsk=500 Mpa
Avec Section des aciers passifs pour la portion de dalle participante affectée à la
poutre ou toute la dalle si la section est un caisson.
Nota : Fap = 0 si Section métal seul
Effort Ft=0.5(Fs+Fi+Fa+Faps+Fapi)
c) Dans tous les cas :
Soit xp la position de l'axe neutre plastique par rapport au bas de la poutre
Si Ft > Fs+Fi+Fa
xp=ha+ei+es (si le moment est positif la section métallique est
tendue donc de classe 1 et une partie du béton est tendue il faut alors négliger ce
béton pour le calcul du moment plastique, si le moment est négatif une partie des
aciers passifs est comprimée avec la charpente équilibrant le reste des aciers
passifs en traction, cas impossible en pratique).
Sinon si Ft > Fi+Fa xp=ha+ei+es.(Ft-Fa-Fi)/Fs
Sinon si Ft > Fi
xp=ei+ha.(Ft-Fi)/Fa
Sinon
xp=ei.Ft/Fi
Caractéristiques efficaces des semelles
d'un caisson
A l'ELS on prend en compte le traînage de cisaillement (voir Manuel de
référence chapitre 2.5.2)
A l'ELU le traînage de cisaillement est pris en compte au moyen du facteur de
réduction β**k . Ce coefficient est ensuite appliqué sur la section efficace Aceff
obtenue en réduisant la section brute Ac de la semelle comprimée pour tenir compte
de son voilement. La section efficace résistante finale Aeff de la semelle utilisée pour
k
calculer les contraintes à ELU est égale à β Aceff. Dans les cas où la semelle est
tendue (pas de risque de voilement) le coefficient β**k s'applique directement sur la
section brute pour obtenir la section efficace résistante finale (ce qui revient à donner
la valeur 1.00 à roc dans les calculs qui suivent).
On calcule les caractéristiques mécaniques de la section en remplaçant l'aire
brute de la semelle par son aire efficace. La forme de la membrure inférieure est
conservée. Les épaisseurs des différents éléments de la partie 'milieu' sont affectées
k
d'un coefficient roc. β alors que les épaisseurs des éléments de la partie 'bord' sont
k
affectées d'un coefficient β . A partir des valeurs des moments Ma et Mc et des
caractéristiques mécaniques efficaces on détermine les contraintes normales
extrêmes sollicitant l'âme à l'ELU. Puis on calcule la classe de l'âme et si elle est de
classe 4 on cherche sa section efficace. En dernier lieu on calcule à nouveau les
caractéristiques mécaniques de la section et les contraintes normales extrêmes à
tous les niveaux de la section.
Cas où la semelle ne comporte aucun raidisseur
longitudinal:
Comportement de type plaque :
psi=1.0
kσp=4.0
; epsilon = sqrt(235.0/Limite_elastique_semelle_inf)
λp=(Largeur_fond_de_caisson/ei)/(28.4*epsilon*sqrt(kσp))
avec ei égale à l'épaisseur de la semelle inf
Facteur de réduction pour le comportement de plaque ro :
Si L'élément est entièrement tendu ro=1.0 et roc=1.0
Si l'élément est entièrement comprimé compression uniforme :
Si (λp <= 0.673) ro=1.0
Sinon ro=min(1.0,( λp-(0.055*(3.0+ψ)))/( λp**2))
Comportement de colonne si (Espacement_des_cadres/Largeur_fond_de_caisson) < 1 :
EN 1993-1-5 § 4.4 (6) :
L'instabilité de type flambement peut gouverner et il convient d'effectuer la
vérification selon le §4.5.4
Facteur de réduction Xc
αe=0.21
σcrc=(Pi*Pi*Ea*ei**2)/(12.0*(1.0-(nu**2))*Espacement_des_cadres**2)
λc=sqrt(Limite_elastique_semelle_inf/σcrc)
fi=0.5*(1.0+(αe*(λc-0.2))+( λc**2))
Xc=1.0/(fi+sqrt((fi*fi)-( λc**2))) selon EC3 1-1 § 6.3.1.2
Contrainte critique élastique de voilement de la plaque raidie
σE =(Pi*Pi*Ea*ei*ei)/(12.0*(1.0-(nu*nu))
*Largeur_fond_de_caisson*Largeur_fond_de_caisson)
σcrp= kσp *σE
Facteur de réduction roc interpolation entre comportement de colonne et de plaque
(EN 1993-1-5 § 4.5.4)
chi=min(( crp/
crc)-1.0,1.0)
SI (chi < 0.0) chi=0.0
roc=((ro-Xc)*chi*(2.0-chi))+Xc
lbordfdc=(bi-Largeur_fond_de_caisson)/2.0
avec bi = largeur de la semelle inf
α0=1.0
k=α0*(Largeur_fond_de_caisson/2.0)/le
α=abs(Inclinaison_des_ames)*Pi/180.0
k
eimilieufdc=roc*β *ei ; eibordfdc=ei
Cas où la semelle comporte plusieurs raidisseurs :
Calculer la section brute des raidisseurs sur la semelle du caisson : Asl et Isl
Si la semelle du caisson est entièrement tendue ro est égal à 1
Sinon il faut calculer la section efficace de la colonne : Asl1eff et Isl1eff
Calculer la section brute de la colonne : Asl1 et Isl1
Calculer la section brute de la plaque raidie Islpr
Distance entre centre de gravité de la colonne brute et centre de gravité raidisseur
brut : e1
Distance entre centre de gravité de la colonne et centre de gravité tôle de fond : e2
Contrainte critique de flambement de la colonne :
σcrc=(Pi**2.Ea.Isl1)/(Asl1.Espacement_des_cadres**2)
Coefficient d'efficacité de la colonne vis a vis du voilement local : βac=Asl1eff/Asl1
Elancement réduit de la colonne : λc=sqrt((βac*Limite_elastique_semelle_inf)/σcrc)
coefficient d'imperfection usuel alpha de la courbe c (raidisseurs ouverts)
les augets sont ramenés à des raidisseurs ouverts en forme de té pour simplification
alpha=0.49
facteur de réduction Xc
αae=α+(0.09/((sqrt(Isl1/Asl1))/max(e1,e2)))
fi=0.5*(1.0+(alphae*(λc-0.2))+(λc**2))
Xc=1.0/(fi+sqrt((fi**2)-( λc**2)))
Comportement de plaque (facteur ro)
coefficient de voilement kσp
α=max(Espacement_des_cadres/Largeur_fond_de_caisson,0.5)
delta=Asl/(Largeur_fond_de_caisson*ei)
Inertie de la plaque raidie=Islpr
γ=Islpr*12.0*(1.0-(nu**2))/(Largeur_fond_de_caisson.ei**3)
ψ=1.0
Si (α <= sqrt(sqrt(γ)))
kσp =2.0*(gamma-1.0+(1.0+(α**2))**2)/(α**2*(ψ+1.0)*(1.0+delta))
sinon kσp =4.0*(1.0+sqrt(γ))/((ψ+1.0)*(1.0+delta))
Contrainte critique élastique de voilement de la plaque raidie
σE =(Pi**2.Ea.ei**2/(12.0.(1.0-(nu**2)).Largeur_fond_de_caisson**2)
σcrp= k
p**2
Aire efficace de la partie centrale de la plaque raidie tenant compte du voilement
des sous panneaux
Aceffmilieu=Nombre_de_raidisseurs_sur_semelle_inf*Asl1eff
Coefficient d'efficacité de la plaque vis à vis du voilement local
Ac= aire brute de la tôle de fond avec ses raidisseurs
βac=Aceffmilieu/Ac
λp=sqrt((βac*Limite_elastique_semelle_inf)/σcrp)
Facteur de réduction pour le comportement de plaque ro
Si la semelle est entièrement tendue ro=1 et roc=1
Si la semelle est entièrement comprimée :
Si (λp <= 0.673) ro=1
Sinon
ro=min(1.0,(λp-(0.055*(3.0+psi)))/(λp**2))
Facteur de réduction roc interpolation entre comportement de colonne et de plaque
chi=min((σcrp/σcrc)-1.0,1.0)
SI (chi < 0.0) chi=0.0
roc=((ro-Xc)*chi*(2.0-chi))+Xc
Aire efficace des bords de la plaque raidie en tenant compte du voilement des sous
panneaux
lbordfdc=((biLargeur_fond_de_caisson)/2.0)+(Largeur_sous_panneau_fond_de_caissonLargeur_trou_sous_panneau_fond_de_caisson)/2.0
Aire efficace de la plaque raidie
α0=sqrt(1.0+((Asl/2.0)/((Largeur_fond_de_caisson/2.0)*ei)))
k=α0*(Largeur_fond_de_caisson/2.0)/le
α=abs(Inclinaison_des_ames)*Pi/180.0
β=((2.0*lpci2)-(ea/cos(α)))/Largeur_fond_de_caisson
avec lpci2 largeur efficace dû au traînage de cisaillement
k
k
esreduitraidifdc=roc*β *esraidifdc ; eareduitraidifdc=roc*β *earaidifdc
k
k
eimilieufdc=roc*β *ei ; eibordfdc=β *ei
Remarque :
-Dans le cas des raidisseurs en forme de T d'un fond de caisson le projeteur devra
vérifier que ces raidisseurs sont suffisamment rigides en torsion (voir EN 1993-1-5
9.2.1 (8)
Calcul des contraintes pour une section de
classe 4
OM3 vérifie les sections en classe 4 pour la combinaison d'action à l'ELU en
analyse globale fissurée avec comme composante privilégiée la contrainte sur la
fibre sup. de la semelle sup., et en analyse globale fissurée avec comme
composante privilégiée la contrainte sur la fibre inf. de la semelle inf.
On extrait les efforts Na et Ma du chargement avant prise du béton de la section
considérée. Ces efforts sont destinés au calcul des contraintes efficaces poutre
métal seul.
σ1_semelle_sup=Na*(1/Seff_efficace_metal_seul)+(Maepsilon*Na*Delta_zg_metal_seul)*(veff_efficace_metal_seul/Ieff_efficace_metal_seul)
avec Delta_zg_metal_seul=Zg_efficace_metal_seul-Zg_initial_metal_seul
Le calcul est identique pour la semelle inf.
Puis on extrait les efforts Nc et Mc appliqués sur la section efficace mixte après la
prise du béton.
Calcul des contraintes efficaces pour la section mixte :
Delta_zg_mixte=Zg_efficace_mixte-Zg_initial_mixte_brute
σ2_semelle_sup=Nc*(1/Seff_efficace_mixte)+( Mc-epsilon*Nc*Delta_zg_mixte)*
(veff_efficace_mixte/Ieff_efficace_mixte)
Le calcul est identique pour la semelle inf
Contraintes finales :
Contrainte efficace semelle sup=σ1_semelle_sup+σ2_semelle_sup
Le calcul est identique pour la semelle inf
Remarques :
-Pour un phasage de bétonnage le chargement avant prise du béton correspond au
chargement coulage du plot (cumul)
-Dans le cas d'une dalle préfabriquée totalement le chargement avant prise du béton
correspond au chargement poids propre métal seul
-Le coefficient d'équivalence pris en compte pour le calcul des caractéristiques
mécaniques efficaces en classe 4 est le coefficient d'équivalence à court terme.
Justification en plasticité
Les sections de classe 1 ou 2 (et éventuellement les sections de classe 3 reclassées
en classe 2 efficace) sont justifiées en plasticité.
La position de l'axe neutre plastique (ANP) ainsi que le moment résistant plastique
Mpl,Rd, sont calculés en considérant les résistances plastiques suivantes pour les
matériaux :
-acier de charpente (traction ou compression) : fyd = fyk /γM0
-armatures passives (traction) : fsd = fsk /γS
-béton (compression) : 0,85 fcd = 0,85 fck /γC
La résistance du béton tendu et celle des armatures comprimées sont négligées. Les
figures 8.2 (resp. 8.3) schématisent de façon très générale le diagramme plastique
pris en compte pour une poutre en I sous moment positif MEd ≥ 0 (resp. sous MEd <
0). Pour un acier à haute limite d'élasticité (S420 ou S460), le béton peut se trouver
fissuré par excès de compression. La diminution consécutive de résistance de la
section est prise en compte par un facteur réducteur b appliqué directement sur
Mpl,Rd +, et fonction de la position de l'ANP. Dans les sections de classe 1 ou 2,
c'est-à-dire généralement sous moment positif en travée, on doit vérifier que le
moment sollicitant à l'ELU reste inférieur au moment résistant plastique : MEd ≤
Mpl,Rd. De plus, MEd est déterminé par une analyse globale élastique fissurée (voir
chapitre 2.8.6 du manuel de référence) qui ne tient pas compte de l’effet sur la
distribution longitudinale de MEd, d’une éventuelle plastification en travée d’une
section de classe 1 ou 2. Dans le cas où la section située sur l’appui intermédiaire
adjacent est de classe 3 ou 4, et où le balancement entre travées adjacentes à cet
appui est inférieur à 0.6, l’EN1994-2 considère que la non prise en compte (dans
l’analyse globale) de la plastification en travée est couverte en rendant la vérification
précédente plus sévère : MEd ≤ 0.9 Mpl,Rd.
Si la section est de classe 1 ou 2 OM3 procède aux vérifications suivantes :
n=Ned/NplRd et a=Aire de l'âme/Aire de la poutre
Si (n > 0.25 ou Ned > 0.5*fya*ha*eat/γM0)
MnRd=min(MplRd*(1-n)/(1-0.5*a),MplRd)
sinon
MnRd=MplRd
Il faut vérifier le critère suivant :
MEd < MnRd*Coeff_du_moment_plastique
Remarques :
-Si le balancement est trop faible (< 0.6) et si la section sur l'appui voisin
intermédiaire est de classe 3 ou 4 alors il faut réduire le coefficient du moment
plastique (=0.9) (EN 1994-2 & 6.2.1.3 (2)
-Autre condition de réduction du moment plastique EN 1994-2&6.2.1.2 (2) :
Si le signe du moment conventionnel est positif et nuances des tôles = S420 ou
S460 :
hts=ha+ei+es+epr+Epaisseur_du_hourdis
xpl=hts-Dz_axe_neutre_plastique
Si (xpl/hts < 0.15) kβ=1.00
Si (xpl/hts > 0.15 ET xpl/hts < 0.40) kβ=1.00-(((xpl/hts)-0.15)*0.15/0.25)
Sinon kbeta=0.85
Coeff_du_moment_plastique=Coeff_du_moment_plastique*kβ
Justification en élasticité
Justification en élasticité des section de classe 3
Il faut vérifier le critère suivant :
σ_semelle_sup < Limite_elastique_semelle_sup/γM0
σ_semelle _inf< Limite_elastique_semelle_inf/γM0
Si la section est mixte :
Si le signe du moment conventionnel est positif :
Il faut vérifier le critère suivant :
Valeur admissible=fck/γc
σ_sup_hourdis < αcc*fck/ γc
σ_inf_hourdis < αcc *fck/ γc
Avec γc =1.5 (EN 1994-2 & 2.4.1.2 (2)) et fck EN 1992-1-1 & 3-1
(paramétré dans le fichier paramètre om3.par)
Si le signe du moment conventionnel est négatif :
Il faut vérifier le critère :
σ_sup_ aciers_ba < fsk/γs
σ_inf_ aciers_ba < fsk/γs (=1.15 paramétré dans om3.par)
Justification en élasticité des section de classe 4
Il faut vérifier les critères précédents (chapitre 3.5.1) avec la section efficace (voir
chapitre 3.3).
Vérification de la résistance plastique des
âmes à l'effort tranchant
Aire de la charpente cisaillée par VEd : Av=eta*ha*eat avec eta fixé par l'annexe
nationale et fonction de la nuance de l'acier, défini dans le fichier paramètre om3.par
EN 1993-1-5,5.1 (2)
Résistance plastique à l'effort tranchant de la charpente métallique :
VplRd=Av*fya/(sqrt(3)* γM0) et
VcRd=VplRd
Quelque soit la classe de la section mixte on doit vérifier :
(abs(VEd) <= VcRd)
Remarques :
-L'effort tranchant VEd appliqué dans OM3 est celui de la section étudiée. Il
appartient au projeteur de vérifier le cisaillement avec le VEd maxi du panneau où se
trouve la section étudiée.
-Attention !! la vérification du cisaillement moyen dans la tôle de fond ainsi que le
cisaillement dû à la torsion ne sont pas implémentés dans OM3.
- Pour un caisson VEd=VEd calculé/cos(inclinaison des âmes)
Vérification de la résistance des âmes au
voilement par cisaillement
Vérification du cisaillement avec voilement
Pour cette vérification OM3 suppose l'existence d'éléments transversaux en travée.
ε=sqrt(235/fya)
élancement=ha/ea
Moment d'inertie de flexion des raidisseurs d'âmes
pour les âmes comportant deux ou plusieurs raidisseurs égaux, Isl est
la somme de la rigidité des raidisseurs séparés.
(Annexe A3 EN 1993-1-5)
Pour chaque panneau et sous panneau on calcule lambdaw. On vérifie la résistance
au voilement avec la valeur la plus forte des lambdaw.
Contrainte critique d'Euler : (EN 1993-1-5,4.2.2.3 (2))
σE =(π*π*Ea*ea*ea)/(12*(1-nu*nu)*ha*ha)
Isl=Inertie des raidisseurs d'âmes
a=Espacement_des_cadres
kτst=9*(ha/a)*(ha/a)*(Isl/(ha*ea**3))**(3/4) (EN 1993-1-5,4.3.3 (5) et A.3)
Si (kτst < (2.1/ea)*(Isl/ha)**(1/3)) kτst=(2.1/ea)*(Isl/ha)**(1/3)
Si nombre de raidisseurs longitudinaux =0 ou > 2 :
Si (a/ha < 1) kτ=4+5.34*(ha/a)*(ha/a)+ kτst
Sinon
kτ=5.34+4*(ha/a)*(ha/a)+ kτst
Si le nombre de raidisseurs longitudinaux est égal à 1 ou 2 :
Si (a/ha < 3.0)
kτ=4.10+((6.30+0.18*Isl/(ha*ea**3))/((a/ha)*(a/ha))+2.2*(Isl/(ha*ea**3))**(1/3)
Sinon
kτ=5.34+4.00*(ha/a)*(ha/a)+ kτst
Contrainte critique de voilement par cisaillement (τcr) :
τcr = kτ*σE
λw=0.76*sqrt(fya/τcr)
(EN 1993-1-5,4.3.3 (5) et (7)
Contribution de l'âme Khiw : (EN 1993-1-5 § 5.3)
Si le montant vertical est rigide :
Si (λw >= 1.08) Khiw=1.37/(0.7+
λw)
Si (λw >= 0.83/eta) Khiw=0.83/ λw
Sinon Khiw=eta
Si Le montant vertical est souple :
Si (λw >= 1.08) Khiw=0.83/ λw
sinon Si (λw >= 0.83/eta) Khiw=0.83/
sinon Khiw=eta
λw
Si ((élancement > 31*ε*sqrt(k )/eta et les âmes sont raidies) ou
(élancement > 72*ε/eta ET les âmes ne sont pas raidies))
Il faut procéder à la vérification du cisaillement avec voilement (critère n3 <= 1)
EN 1993-1-5 § 5.1 (2)
Soit MfRd le moment résistant plastique des semelles.
Si un effort axial NEd est appliqué il convient de réduire MfRd :
As=es*bs ; Ai=ei*bi
Si (NEd > 0) MfRd=MfRd*(1.0-(NEd/(As*fys+Ai*fyi)/ γM0))
(EN 1993-1-5 § 5.4 (5.9)
Si (abs(MEd) <= MfRd et la contribution des semelles est souhaitée)
Contribution des semelles :
c'est le cas de la semelle non connectée à la dalle ce qui est le cas de la semelle
inf. Les semelles
participent à la résistance sous VEd à la condition qu'elles ne soient pas
complètement épuisées par
MEd
c=a*(0.25+(1.6*bi*ei*ei*fyi)/(eat*ha*ha*fya)) ( EN 1993-1-5 §5.4/5.8)
VbfRd=((bi*ei*ei*fyi)/(c*γM1))*(1.0-(MEd/MfRd)*(MEd/MfRd))
Contribution de l'âme à la résistance au voilement par cisaillement :
VbwRd=Khiw*fya*ha*eat/(sqrt(3)* γM1) pour les âmes
VbRd est la somme des contributions de l'âme et des semelles métalliques calculées
en tenant compte du voilement sous cisaillement. Toute participation de la dalle est
négligée.
VbRd1=VbwRd+VbfRd
pour semelles+âmes
VbRd2=eta*fya*ha*eat/sqrt(3)* γM1
VbRd=min(VbRd1,VbRd2) EN 1993 1-5 § 5.2 (eq 5.1)
Résistance maximale à l'effort tranchant (VRd) :
(EN 1994-2, 6.2.2 § 6.2.2.4 (1))
VRd=min(VbRd,VplRd)
Vérification à l'effort tranchant, Analyse plastique ELU :
n3=abs(VEd)/VbRd
Si (n3 <= 1) le cisaillement est vérifié
Interaction des âmes Moment/Effort tranchant
Lorsque VEd est supérieur à la moitié de VRd = min(VbRd ; VplRd), VEd diminue la
résistance à la flexion. La diminution à prendre en compte dépend de la classe de la
section :
-Pour les sections en I de classe 1 ou 2, la limite d'élasticité de l'aire cisaillée Av est
réduite pour le calcul du moment résistant plastique avant justification en flexion.
Dans le calcul de MplRd, on ne tient pas compte du décalage de l'ANP introduit par
la modification des limites d'élasticité sur l'aire cisaillée Av.
Dans le cas général où l'on a à la fois un effort tranchant et un moment.
n3=abs(VEd)/VRd
Si (n3 > 0.5) on doit vérifier l'interaction flexion/cisaillement
Interaction (M+V) en classe 1 ou 2 :
ro=((2*abs(VEd)/VRd)-1)**2
fyar=(1-ro)*fya
Calcul du moment plastique résistant réduit MplRd_reduit avec fyar
Résistance plastique réduite calculée en utilisant une épaisseur d'âme réduite
n=Ned/NplRd_reduit et a=Aire de l'âme/Aire de la poutre
Si n > 0.25 ou Ned > 0.5*fya*ha*eat/γM0
MnRd_reduit=min(MplRd_reduit*(1-n)/(1-0.5*a),MplRd_reduit) EN 1993 1.1 §
6.2.9.1 (5)
sinon
MnRd_reduit=MplRd_reduit
Si (abs(MEd) <= MnRd_reduit) l'interaction est vérifiée
Interaction (M+V) en classe 3 : (EN 1993-1-5 § 7.1)
n3b=VEd/VbwRd
Hauteur totale de la poutre : ht=ei+ha+es
n1= max(MEd/MplRd, MfRd/MplRd)
Si (n1+(1-MfRd/MplRd)*(2*n3b-1)**2 <= 1) l'interaction est vérifiée
Interaction (M+V) en classe 4 :
n3b=VEd/VbwRd
n1=max(MEd/MplRd, MfRd/MplRd)
Si (n1+(1.0-MfRd/MplRd)*(2.0*n3b-1.0)**2 <= 1) l'interaction est vérifiée
Remarques : (EN 1994-2 §6.2.1.3)
- Attention !! l'étude du cisaillement moyen dans la tôle de fond d'un caisson
ainsi que le cisaillement dû à la torsion ne sont pas traités dans OM3.
- La vérification des interactions ne concernent que les âmes.
- Sur pile il faut vérifier l'interaction à hw/2 de l'axe de la pile (EN 1994-2 §6.2.1.3)
- En classe 4 MplRd est calculé avec les semelles efficaces mais avec toute l'âme
(EN 1993-1-5&7.1 (1))
- En classe 1,2, 3 le MplRd d'un caisson prend en compte le traînage de cisaillement
- Dans tous les cas le MplRd d'un caisson dans OM3 ne prend pas en compte les
raidisseurs des semelles.
- Pour un caisson VEd=VEd calculé/cos(inclinaison des âmes)
- L'espacement des cadres (ou largeur a des sous-panneaux) est calculé en fonction
du nombre de cadres intermédiaires par travée saisie dans le menu
"Données/Ossature1" même si les données de l'entretoise ou pièce de pont ne sont
pas renseignées dans le menu "Données/Eléments transversaux", données
géométriques destinées au calcul du déversement.
Vérification du déversement
Calcul de la raideur des pièces de pont
Soient :
h0=Distance entre l'intrados de la poutre et l'intrados de l'élément transversal
ht=Hauteur totale de la poutre
nu=Coefficient de Poisson
Coeff_N=Coefficient d'équivalence acier-béton
Ea=Module d'young de l'acier charpente
L'ensemble pièce de pont+montants peut être modélisé suivant un portique
Largeur participante de la dalle dans la rigidité:
Largeur_participante_dalle
=min(0.2*Espacement_maxi_des_poutres,Espacement_des_pièces_de_pont)
sb=Largeur_participante_dalle*Epaisseur_du_hourdis
Largeur participante de l'âme de la poutre :
L'aire et l'inertie des montants doivent tenir compte d'une certaine longueur d'âme de
poutre. Pour cette participation de l'âme, on prendra en compte de chaque côté des
montants la moitié de la dimension correspondant à l'élancement maximal d'un
élément comprimé de classe 3 maintenu sur ses bords soit :
epsilon=sqrt(235/Limite_elastique_ame)
largeur=2*15*Epaisseur_ame_poutre*epsilon+Epaisseur_ame_montant
Inertie de la pièce de pont : ya,va,ha,sa
Inertie du montant : ym,vm,htm,sm
Inertie de la dalle participante :
yb=Largeur_participante_dalle*(Epaisseur_du_hourdis**3)/12
Distance des centres de gravité dalle pièce de pont :
dg=(ha-va)+Epaisseur_du_hourdis/2
Inertie mixte dalle + pièce de pont :
yp=ya+(yb/Coeff_N)+sa*sb*dg*dg/(Coeff_N*sa+sb)
(A) Flexibilite du montant inférieur
At=(h0)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant)
A1=At+(h0**3)/(3.0*Ea*ym) avec ym=Inertie du montant vertical
Distance entre les axes neutres des montants verticaux :
de=Espacement_maxi_des_poutres-2*vm avec vm=distance âme au cdg du
montant
Distance entre les semelles sup des montants verticaux :
dpe=Espacement_maxi_des_poutres-2*htm+Epaisseur_ame_poutre
avec htm hauteur du montant
(B) Flexibilité de la pièce de pont (pièce de pont +dalle participante)
h=h0+va+(dg*sb)/(Coeff_N*sa+sb)
B2=(dpe*h*h/(2*yp))/Ea
Bt=(2*dpe)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant)
(C) Extensibilité de la pièce de pont
C3=(dpe/(2*(sa+sb/Coeff_N)))/Ea
Souplesse pour des efforts de sens opposé
soupl1=A1+B2+C3
Souplesse pour des efforts de même sens
soupl2=A1+((dpe/de)*(dpe/de)*(B2/3))+C3+((ht)/de)*((ht)/de)*Bt
Souplesse du cadre=max(soupl1,soupl2)
Calcul de la raideur des entretoises
Soient :
h0=Distance entre l'intrados de la poutre et de l'intrados de l'élément
transversal=h'm1
ht=Hauteur totale de la poutre
nu=Coefficient de Poisson
Coeff_N=Coefficient d'équivalence acier-béton
Ea=Module d'young acier charpente
L'ensemble entretoise+dalle-montants peut être modélisé suivant un portique à deux
traverses
Largeur participante de l'âme de la poutre :
Largeur_participante_ame_poutre
=2*15*Epaisseur_ame_poutre*epsilon+Epaisseur_ame_montant
Inertie de l'entretoise (ye,ve,he,ae):
Inertie du montant vertical (ym,vm,htm,am) :
Hauteur de la poutre au dessus de l'entretoise :
hpm2=ht-h0-he
(A) Flexibilité de la partie inférieure du montant :
At=(h0)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant)
A=At+(h0**3)/(3.0*Ea*ym) avec ym inertie du montant
Hauteur de la poutre au dessus de l'axe neutre de l'entretoise :
hm1=h0+ve
avec ve=Distance du centre de gravité de l'entretoise à la fibre sup de l'entretoise
Hauteur de la poutre au dessous de l'axe neutre de l'entretoise :
hm2=ht-hm1
Distance entre les axes neutres des montants verticaux :
de=Espacement_maxi_des_poutres-2*vm
Distance entre les semelles sup des montants verticaux :
dpe=Espacement_maxi_des_poutres-2*htm+Epaisseur_ame_poutre
avec htm hauteur du montant
(B1,B2,B3,Bt) Flexibilité de l'entretoise :
B1=dpe*hm1**2/(2*Ea*ye) avec ye=Inertie de l'entretoise
B2=dpe*hm2**2/(2*Ea*ye)
B3=dpe*ht**2/(2*Ea*ye)
Bt=(2*dpe)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant)
(C) Extensibilite de l'entretoise :
C=dpe/(2*Ea*ae) avec ae=aire de l'entretoise
(D) Flexibilité de la partie supérieure du montant :
Dt=(hpm2)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant)
D=Dt+(hpm2**3)/(3*Ea*ym) avec ym Inertie du montant
Souplesse pour des efforts de sens opposé :
soupl1=A+((B3*C)+(B1*D)+(C*D))/(B2+C+D) % selon BT11
soupl1=A+B1+C-((C-((hm1/hm2)*B2))*(C-((hm1/hm2)*B2))/(B2+C+D)
Souplesse pour des efforts de même sens :
soupl2=A+((dpe/de)*(dpe/de)*(B3/3))+D+((ht)/de)*((ht)/de)*Bt
Souplesse du cadre=max(soupl1,soupl2)
Raideur du cadre=(1/Souplesse du cadre)/Espacement_des_entretoises
Méthode simplifiée de vérification
Calcul de l'âme associée à la semelle inférieure :
hac=(ht*σ_inf_semelle_inf/(σ_inf_ semelle_inf -σ_sup_semelle_sup))-ei-es
Partie soumise au déversement :
La partie soumise au déversement comprend la membrure comprimée et le tiers de
l'âme comprimée.
Af=bi*ei
Awc=hac*Epaisseur_ame_poutre
Aire_section_comprimee=Af+(1/3)*Awc
Inertie de la semelle comprimée :
I=(ei*bi**3)/12
Effort critique de déversement :
L= Distance entre entretoises infiniment rigides (en fait la distance entre appuis de
part et d'autre de la section étudiée)
γ=Raideur_du_cadre*L**4/(I*Ea)
m=2.0*sqrt(γ)/ π**2
N_critique=m* π* π *Ea*I/L**2
Longueur de flambement :
lk= π *sqrt(Ea*I/N_critique)
Contrainte critique de flexion vis a vis du déversement :
σ_critique=N_critique/Aire_section_comprimee
Coefficient de réduction du au déversement :
λLT=Elancement réduit
Si la classe de la section est égale à 1 ou 2 ou 3 alors ßA=1
Si la classe de la section est égale à 4 :
haceff=(ht*σ_efficace_inf_ame/(σ_efficace_inf_ame-σ_efficace_sup_ame))-ei
Afeff=bieff*ei
Awceff=haceff*Epaisseur_ame_poutre
ßA =(Afeff+(Awceff/3.0))/Aire_section_comprimee
Elancement réduit :
λLT =sqrt(Limite_elastique_semelle_inf* ßA/σ_critique)
ФLT=0.5*(1.0+Coefficient_d_imperfection*( λLT -0.2)+ λLT **2)
XLT=1.0/(
ФLT +(sqrt(ФLT **2- λLT**2)))
Vérification au centre de la semelle inférieure :
SI (σ_cmax <= XLT *Limite_elastique_semelle_inf/γM1 le déversement est vérifié.
Connexion
L'EN1994-2 traite uniquement les connecteurs "goujons". Les autres types de
connecteurs utilisés classiquement en France (cornières, arceaux, …) sont traités
dans l'annexe nationale de l'EN1994-2.
Outre les goujons verticaux classiques de connexion d'une dalle en béton
horizontale, l'EN1994-2 traite aussi dans son article 6.6.4 des goujons disposés
horizontalement dans la dalle, comme par exemple des goujons sur une âme
métallique pour la connexion d'un hourdis inférieur de pont. Dans la suite, seuls les
goujons verticaux sont abordés.
On distingue deux modes de ruine pour ce type de connecteurs :
▪
La ruine par cisaillement de l’acier en pied, vis à vis de
laquelle on a une résistance caractéristique :
d2
PRk1 = 0,8π f u
4
▪
La ruine par écrasement du béton en pied, vis à vis de
laquelle on a une résistance caractéristique :
PRk2 = 0,29α d 2 f ck Ecm
d
h
EN1994-2,6.6.3.1
(1)
d : diamètre du goujon (qui doit être compris entre 16 et 25
mm)
h : hauteur du goujon
f u : résistance ultime à la traction de l’acier (qui ne doit pas
excéder 500 MPa)
f ck : résistance caractéristique à la compression du béton
(qui ne doit pas être inférieure à 17,2 MPa)
E cm : module d’élasticité du béton
h
h 
+ 1 si 3 ≤ ≤ 4 , sinon α = 1
d
d

α = 0,2
La résistance caractéristique d’un goujon donné s’écrit alors : PRk = Min(PRk1 ; PRk2 )
Et la résistance de calcul PRd s'obtient en divisant PRk par le coefficient partiel
γ V = 1, 25 . Il s'agit là de la valeur recommandée de ce coefficient qui est soumis au
choix de l'annexe nationale.
Sa résistance de calcul vaut :
▪ A l’ELS : PRd ELS=0.6 PRd
Le coefficient 0.6 est soumis au choix de l'annexe nationale.
EN1994-2,7.2.2
(6)
qui renvoie à
▪
ELU
A l’ELU : PRd
= PRd
6.8.1(3)
Dimensionnement à ELS
Lorsque le comportement de la structure demeure élastique dans une section
donnée, chaque cas de charge produit un flux de cisaillement ν à l’interface entre la
dalle en béton et la charpente métallique (appelé aussi « glissement »). Ce flux se
déduit aisément des caractéristiques de la section et des efforts généraux auxquels
elle est soumise :
µV
ν= c
I mixte
µ c : moment statique de la dalle en béton par rapport au centre de gravité de la
section mixte
I mixte : moment d’inertie de la section mixte
V : effort tranchant sous un cas de charge donné
Quand sous un cas de charge donné, la section est soumise à un moment négatif et
la dalle est par conséquent fissurée, les caractéristiques µ c et I mixte restent calculées
sur la section mixte non fissurée, homogénéisée avec le même coefficient
d'équivalence que celui utilisé pour le calcul des sollicitations sous le cas de charge
(voir EN1994-2, 6.6.2.1 (2) ). Lorsque l’on superpose plusieurs cas de charge, le flux
de cisaillement résultant s’obtient en additionnant algébriquement les contributions
de chacun des cas de charge.
Le comportement de la structure restant entièrement élastique à l’ELS, on détermine
en toute section d'abscisse x, l’enveloppe en valeur absolue du flux de cisaillement :
ν ELS ( x) = Max(ν min ( x) ; ν max ( x) )
Dans toute section du tablier, la densité de connecteurs doit être suffisante pour
reprendre intégralement le flux de cisaillement.
Pour des raisons constructives, il n’est en général pas envisageable de faire évoluer
continûment la densité de connecteurs. On divise alors l’ouvrage en n tronçons de
longueur l i , i ∈ [1;n ] , sur chacun desquels on dispose un nombre N i , i ∈ [1;n ] de
connecteurs (densité constante par tronçon). Le choix des tronçons s’effectue en
observant les variations de ν ELS ( x) , chaque tronçon ayant typiquement une longueur
comprise entre 5 et 15 mètres.
On doit vérifier alors en tout point :
ν ELS ( x) ≤
N i ELS
PRd
li
Dimensionnement à l'ELU
Cas des zones plastifiées sous moment positif
Lorsqu’une section soumise à un moment positif est plastifiée à l’ELU, le calcul
précédent doit être complété par une vérification supplémentaire. En effet, dès lors
que le comportement de la structure n’est plus élastique, la loi donnant le flux de
cisaillement en fonction des efforts généraux n’est plus linéaire et donc le calcul
précédent devient inexact. En zone de plastification, on assiste en général à une
sollicitation importante de la connexion et à de fortes redistributions entre sections
voisines.
Délimitation de la zone plastifiée :
La vérification consiste à raisonner globalement sur la zone plastifiée, dont on
détermine les limites (sections A et C). Elles correspondent aux sections pour
lesquelles la contrainte normale sur l’une des fibres de la poutre mixte (béton ou
charpente métallique) atteint sa limite élastique, dans l’état de sollicitation le plus
défavorable.
Les contraintes de l'ELU sont déterminées en tenant compte du phasage de
construction et des coefficients d’équivalence relatifs à chaque cas de charge.
Zone plastifiée
Moment fléchissant MEd
Α
Β
C
Définition de la zone plastique
En A (respectivement C), l’effort normal FA (respectivement FC ) global dans la dalle
en béton s’obtient aisément par intégration des contraintes sur l’épaisseur de la
dalle.
On recherche également la section B, définie comme celle étant soumise à la
plastification maximale. En général et en l’absence de variation brutale des
caractéristiques de section, la section B est celle qui est soumise au moment de
flexion maximal.
Diagramme d'interaction dans la section B :
Pour dimensionner la connexion, il est nécessaire de connaître FB , l’effort normal
dans la dalle dans la section B. La section évoluant dans le domaine plastique, la loi
qui lie FB au moment fléchissant M B est non linéaire. L'EN1994-2, 6.2.1.4 (6), la
modélise par un diagramme d’interaction construit à partir de quelques points
remarquables.
MB
MplRd
MSd+
MelRd
MaSd
0
H
J
G
Fe
FB
FB2 FplB
FB
Diagramme d'interaction M/F dans la section B
Point G : M a,Ed dépend du phasage de construction de l’ouvrage. C'est le moment
de flexion dans la section B à la date t du phasage, quand le béton du plot de dalle
auquel appartient la section B est coulé mais n'a pas encore fait sa prise (dalle en
béton non sollicitée, c'est à dire FB = 0).
Point H : M pl,Rd est le moment résistant plastique de la section B mixte. Pour
l’atteindre, il faut en particulier solliciter complètement la résistance de la partie
comprimée de dalle (hauteur hc sur une largeur participante beff tenant compte du
traînage de cisaillement). Alors l'abscisse du point H est donnée par :
0,85 f ck
F plB =
beff hc
γc
Point J : M elRd est le moment résistant élastique (défini dans EN1994-2, 6.2.1.4 (6))
et Fe est la résultante de compression dans la dalle qui lui est associée. Ces efforts
sont calculés en recherchant l’état de sollicitation élastique maximal, compte-tenu du
phasage de construction.
Cet état correspond à la combinaison de 2 états :
▪
Etat 1 : la résistance de la section B est celle de la seule charpente
métallique. On se situe dans le phasage de construction à la même date t
que celle définissant Ma,Ed ci-dessus : le plot de dalle vient d'être bétonné
dans la section B mais le béton n'a pas encore fait sa prise.
=> Etat de contraintes 1
▪
Etat 2 (pondéré par k): le béton dans la section B a fait prise et la résistance
de la section est désormais mixte. Les cas de charge correspondant à la fin
du phasage de construction (jusqu'à l'état à vide) et à l'application des
charges variables (actions climatiques, trafic, …) introduisent un moment
Mc,Ed repris par la section mixte B.
=> Etat de contraintes 2
Note : l'effet (en terme de moments et de contraintes) de chaque cas de charge est
pondéré par les coefficients de combinaison de l'ELU, directement au cours du
phasage.
Si le coefficient de pondération k sur l'état 2 de contraintes est égal à 1, l'état 3
correspond à la détermination élastique des contraintes ELU dans la section B
(issues du modèle général de calcul). La section B étant partiellement plastifiée,
certaines contraintes de cet état 3 vont alors dépasser les limites élastiques.
Le coefficient k (<1) est déterminé de façon que le diagramme de contraintes de
l'état 3 soit ramené dans les limites élastiques. Dans le cas de la figure 11.3, la limite
est atteinte sur la fibre inférieure de la semelle inférieure :
f
σ ai = yf = σ ai (1) + k.σ ai (2)
γM
0
On obtient alors : M el,Rd = M a,Ed + k.M c,Ed .
La résultante Fe est alors calculée en intégrant les contraintes dans la dalle à l’Etat 3
(en tenant compte de la pondération k sur b).
Le diagramme d’interaction est constitué des deux segments de droite [GJ] et [JH].
Sa simple lecture permet d’estimer la résultante FB associée au moment sollicitant
M Ed,max attendu dans la section B à l’ELU.
Dimensionnement des connecteurs dans la section B :
Référence : EN1994-2, 6.6.2.2 (2)
Entre les sections A et B (respectivement B et C), le nombre de connecteurs doit
globalement être suffisant pour reprendre en cisaillement la variation d’effort normal
dans la dalle :
(F − F ) ; N ≥ (FB − FC )
N AB ≥ B ELU A
BC
PRd
PRdELU
Les connecteurs peuvent être répartis avec une densité constante entre les sections
A et B (respectivement B et C).
Remarques :
-Le flux de cisaillement à l'interface acier/béton, utilisé dans les calculs précédents,
ne tient compte que des effets hyperstatiques (ou secondaires) du retrait et de la
température. Il est donc nécessaire que le projeteur vérifie aussi pas que les
connecteurs sont assez nombreux aux extrémités libre du tablier, pour accrocher le
flux de cisaillement créé par les effets isostatiques (ou primaires) du retrait et de la
température.
Vérification à la fatigue
La vérification à la fatigue consiste à s’assurer que la probabilité de ruine d’un
ouvrage par propagation de fissure à l’intérieur d’un composant du tablier soumis à
des variations répétées de contraintes reste faible. Pour ce faire, il convient de
retenir la méthode de la durée de vie sûre de l’EN1993-1-9. Les composants à
vérifier en fatigue dans un pont mixte sont :
▪ la charpente métallique et ses connecteurs,
▪ les armatures passives de la dalle,
▪ le béton de la dalle.
L’EN1994-2, 6.8 définit les conditions de la vérification à la fatigue. La vérification à
la fatigue du béton, ainsi que celle des aciers passifs de la dalle ne sont pas traitées
dans OM3
Le programme étudie le passage d'un convoi de fatigue unique nommé FLM3 de
poids total 480 kN à partir de la combinaison de fatigue suivante :
(Gk+Pk)+0.6 Tk + QFLM3
La vérification repose sur l'évaluation de l'amplitude des variations de contrainte.
Cependant il ne s'agit pas de rechercher brutalement les enveloppes de cette
combinaison de fatigue. En effet les amplitudes éventuelles provenant des termes
(Gk+Pk) ou même des phénomènes thermiques Tk ne sont pas de nature à
engendrer des phémomènes de fatigue.
L'utilisation de la combinaison de fatigue telle qu'elle est écrite doit donc être
comprise de la manière suivante : on cherche la variation de contrainte maximale
sous le seul effet du convoi de fatigue FLM3, cette variation pouvant s'opérer à partir
d'un état initial quelconque, correspondant à des conditions de température
fréquentes.
Les variations de contraintes dans la dalle, dues à FLM3 seront maximales dès lors
que la dalle en béton est fissurée et donc négligée dans les calculs de section. En
effet on dispose alors des caractéristiques de section minimales.
L'état initial à considérer pour le passage du convoi est donc celui qui produit la plus
forte traction dans la dalle.
Pour en déduire les variations de contraintes dans la semelle sup ou inf OM3
procède de la manière suivante :
Convention_de_signe=+1 pour une structure spatiale
Convention_de_signe=-1 pour une structure plane
Soient :
S1,I1,v1 les caractéristiques mécaniques de la section mixte AVEC béton
S2,I2,v2 les caractéristiques mécaniques de la section mixte SANS béton
Variation de contrainte dans les aciers passifs :
∆σs=0.2*fctm/( αst*(As/Act))
avec :
αst =(S2*I2)/(Sa*Ia)
Act=Aire de la section de béton comprise dans la largeur efficace
As=Aire totale des aciers passifs longitudinaux dans l'aire efficace Act
Correction sur le terme de rigidité de la dalle ∆σs :
Correction = As/Aa + (As*a*ya) / Ia
avec :
a = distance entre le barycentre des As et le centre de gravité de la section
charpente seule
ya = bras de levier de la fibre étudiée par rapport au centre de gravité de la section
charpente seule.
Charges fréquentes Maxi :
Mctrg_freq_maxi = moment de flexion maxi à partir d'une contrainte généralisée (N/S +
M*V/I avec 1/S nul et V/I égal à 1)
Charges fréquentes Mini :
Mctrg_freq_mini= moment de flexion mini à partir d'une contrainte généralisée (N/S +
M*V/I avec 1/S nul et V/I égal à 1)
Charges de fatigue FLM3 Maxi :
MFLM3,max= Moment maxi sous FLM3
σ_FLM3_maxi_section avec_béton = Contrainte maxi sur la semelle sup ou inf section avec la
dalle béton
σ_FLM3_maxi_section sans_béton = Contrainte maxi sur la semelle sup ou inf section sans la
dalle béton
Charges de fatigue FLM3 Mini :
MFLM3,min= Moment mini sous FLM3
σ_FLM3_mini_section avec_béton= Contrainte mini semelle sup ou inf section avec la dalle
béton
σ_FLM3_mini_section sans_béton= Contrainte mini semelle sup ou inf section sans la dalle
béton
Moment MEd max ou min qui apporte le plus de traction dans la dalle :
MC,Ed,max = Mctrg_freq_maxi
MC,Ed,min=Mctrg_freq_mini
Moments conventionnels :
Dans le cas d'une structure plane plus le moment est positif plus la dalle est tendue :
MC,Ed=Convention_de_signe* MC,Ed,max
MEd_maxi=MEd_freq + Convention_de_signe * MFLM3,max
MEd_mini=MEd_freq + Convention_de_signe * MFLM3,min
Dans le cas d'une structure spatiale plus le moment est négatif plus la dalle est
tendue :
MC,Ed=Convention_de_signe* MC,Ed,min
MEd_maxi= MC,Ed + Convention_de_signe * MFLM3,min
MEd_mini= MC,Ed + Convention_de_signe * MFLM3,max
Si (MEd_maxi < 0.0) La dalle est tendue pour la charge de fatigue qui tend le plus la dalle
SI (MEd_mini < 0.0) La dalle est tendue pour la charge de fatigue qui tend le moins la dalle
Soit ys la distance du cdg des aciers passifs au cdg de la section fissurée
σsmmin0 = Med_maxi*ys/I2
σsmmin = σsmmin0 + (0.2*fctm/( As/Act)) * ((As*ys*ys/I2) + (As/S2))
σsmmax0 = Med_mini*ys/I2
σsmmax = σsmmax0 + (0.2*fctm/( As/Act)) * ((As*ys*ys/I2) + (As/S2))
CAS 1 La dalle est tendue sous MEd_maxi et sous MEd_mini :
On ne prend en compte que la charge de fatigue Qfat avec une section SANS la
dalle béton
Cas d'une structure plane :
σmaxi=Convention_de_signe* MFLM3,min *( Convention_de_signe *v2/I2)
σmini=Convention_de_signe* MFLM3,max*( Convention_de_signe *v2/I2)
pour la semelle inf : ∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini)
Si la semelle sup est légèrement tendue (σsmmin >= 0) :
∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini)
Si la dalle est suffisamment tendue sous la sollicitation maxi (σsmmax >= 0) :
(la sollicitation mini ne tend pas la dalle)
∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini)- ∆σs *correction
Si sous la sollicitation mini la dalle est tendue :
∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini)- ∆σs *kmoment *correction
Avec :
kmoment=abs(MFLM3,max- MFLM3,min) / abs(MC,Ed + Convention_de_signe*
MFLM3,max)
Cas d'une structure spatiale :
Pour la semelle inf :
σmaxi=Convention_de_signe* MFLM3,max * ( Convention_de_signe *v2/I2)
σmini= Convention_de_signe* MFLM3,min * ( Convention_de_signe *v2/I2)
∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini)
Pour la semelle sup :
Si la dalle est légèrement tendue (σsmmin >= 0) :
∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini)
Si la dalle est suffisamment tendue sous la sollicitation maxi (σsmmax >= 0):
(la sollicitation mini ne tend pas la dalle)
∆σfatigue = abs(σmaxi-σmini) - ∆σs *correction
Si la dalle est tendue sous la sollicitation mini :
∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini) - ∆σs *kmoment *correction
Avec :
kmoment=abs(MFLM3,max - MFLM3,min)/ abs(MC,Ed + Convention_de_signe *
MFLM3,min)
CAS 2 La dalle est comprimée sous MEd_maxi et sous MEd_mini :
on ne prend en compte que la charge de fatigue Qfat avec une section prenant en
compte la dalle béton
Cas d'une structure plane :
σmaxi=(Convention_de_signe* MFLM3,min * (Convention_de_signe*v1/I1)
σmini=Convention_de_signe* MFLM3,max *(Convention_de_signe*v1/I1)
Cas d'une structure spatiale :
σmaxi= (Convention_de_signe* MFLM3,max)*(Convention_de_signe*v1/I1)
σmini= (Convention_de_signe* MFLM3,min)*(Convention_de_signe*v1/I1)
∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini)
CAS 3 La dalle est tendue sous charge de fatigue maxi et comprimée sous
charge de fatigue mini
Pour la semelle inf :
∆flm3= σ_FLM3_maxi_section avec_béton - σ_FLM3_mini_section sans_béton
∆σfatigue =∆flm3 + (Convention_de_signe * ((v1/I1)- (v2/I2)) * MC,Ed)
Si la semelle sup est légèrement tendue (σsmmin >= 0):
∆σfatigue=∆flm3 + (Convention_de_signe * ((v1/I1)- (v2/I2))* MC,Ed)
Sinon :
∆σfatigue =∆flm3 + (Convention_de_signe * ((v1/I1)-(v2/I2)) * MC,Ed) – ∆σs
*correction
Vérification à la fatigue de la charpente métallique :
Pour les calculs de fatigue de la charpente métallique, l'EN1994-2 autorise le
recours à la méthode simplifiée des étendues de contrainte équivalentes. La
variation de contrainte dans un détail donné de la charpente est alors obtenue par le
passage unique sur le pont d'un camion calibré pour avoir le même effet que le trafic
réel. La méthode simplifiée s'utilise avec le modèle de charge de fatigue n°3 défini
par l'EN1991-2. Ce modèle est appelé FLM3 dans la suite. L'EN1991-2 définit 5
modèles différents de charge de fatigue. Pour des justifications particulières et
suivant le format de vérification adopté par l'Eurocode de projet (ici EN1994-2), ces
modèles de charge peuvent être utilisés. Globalement, le format de vérification de la
méthode simplifiée des contraintes équivalentes est le suivant :
γFf ∆σE,2 <= ∆σc / γMf
où :
γFf est le coefficient partiel appliqué aux charges,
∆σE,2 est l’étendue de contrainte équivalente d’amplitude constante relative à 2
millions de cycles,
∆σc est la valeur de référence de la résistance à la fatigue à 2 millions de cycles
(catégorie de détail),
γMf est le coefficient partiel de résistance à la fatigue.
Un format semblable se retrouve pour les vérifications au cisaillement ainsi
que pour les interactions entre contraintes normales et cisaillement. Dans OM3 on
s'est limité au cas des contraintes normales. Il conviendrait bien sûr d'envisager
l’ensemble des vérifications pour un projet réel.
L'étendue de contraintes ∆σE,2 sous FLM3 est donnée par :
∆σE,2 = λ Φ ∆σp = λ Φ [σmax,f - σmin,f ]
où λ est le coefficient de dommage équivalent, et Φ est le coefficient de dommage
équivalent d'impact. Φ=1 pour les ponts routiers (valeur par défaut proposé par OM3
dans le fichier paramètres om3.par). En effet, les effets dynamiques sont inclus
directement dans le calibrage des charges d'essieu du camion FLM3. Toutefois, Φ
est augmenté au passage d'un joint de chaussée : Φ=1.3( 1 - D / 6 )où D (en m) est
la distance entre le détail vérifié en fatigue et le joint de chaussée (avec D ≤ 6 m).
Nous attirons l’attention du projeteur sur le fait que l’EN1994-2 note la
variation de contrainte ∆σE, alors que l’EN1993-2 la note ∆σE,2. C’est cette dernière
notation que nous retiendrons ici.
Les coefficients partiels
Le coefficient partiel sur les charges de fatigue est pris égal à γFf = 1,0.
Le coefficient partiel de sécurité pour la résistance à la fatigue de la charpente est
pris égal à γMf = 1,35.
Il correspond à une vérification selon le concept de la durée de vie sure, avec de
fortes conséquences suite à la ruine de l'ouvrage (voir tableau du paragraphe 4-5 de
la partie II de ce guide).
Le coefficient de dommage équivalent est donné par :
λ= min(λ1.λ2.λ3.λ4, λmax)
-Le facteur λ1 prend en compte les effets de l’endommagement dû au volume de
trafic en fonction de la longueur L de la ligne d’influence de la sollicitation
considérée.
Si la section est dans la travée i : λ1=2.55-0.7(L-10)/70
Si L < 25 λmax=2.50-0.5(L-10)/15
Si L > 25 λmax=2.00
avec L=longueur de la travée i
Si la section est sur appui :
Si L < 30 λ1=2.00-0.3(L-10)/20 et λmax=1.80
Si L >30 λ1=1.70+0.5(L-30)/50 et λmax=1.80+0.9(L-30)/50
L=(Longueur_de_la_travée(i-1) + Longueur_de_la_travée(i))/2
Si L < 10 L=10
Si L > 80 L=80
-λ2 rend compte de la composition du trafic
λ2=(Qml/Q0).(Nobs/N0)**1/5 avec Qml=Poids moyen des camions circulant sur la
voie lente
Les valeurs de référence pour Q0 et N0 valent : Q0=480 kN (poids de FLM3) et
N0=0.5 E+6 (EN 1993-2,9.5.2(3))
Le nombre indicatif de véhicules lourds prévus par an et par voie lente doit être
donné par le cahier des charges du projet. Par défaut le programme OM3 propose
pour chaque catégorie de trafic les valeurs suivantes :
Catégorie de trafic Nobs
1
2.0
2
0.5
3
0.125
4
0.05
Qml
445 pour longue distance
410 pour distance moyenne
317 pour trafic local
(voir le fichier paramètre om3.par et l'EN 1991-2 4.6 tableau 4.5 pour Nobs voir l'EN
1991-2,4.6 tableau 4.7 pour Qml avec Qml=(∑niQi5/ ∑ni)1/5 EN 1993-2 9.5.2 (4) avec
ni pourcentage de camions suivant le type de trafic et Qi les charges d'essieu
équivalentes)
-λ3=1.0 (pour une durée de vie de l'ouvrage de 100 ans par défaut) coefficient
introduit dans om3.par
-λ4 prend en compte les effets du trafic lourd sur les autres voies lentes définies au
projet. OM3 ne traite que le cas d’une seule voie lente, λ4 = 1,0 par défaut dans le
fichier om3.par.
Remarques :
-OM3 ne traite pas la vérification en fatigue sur le cisaillement dans la charpente
-Pour les limites en fatigue représentées sur les graphiques de la fatigue (hors
connexion), OM3 ne tient implicitement pas compte du coefficient d'abattement
(25/t)0.2 des soudures transversales de raboutage des semelles. Nous attirons
l'attention de l'utilisateur sur la nécessité de le prendre en compte ou non, selon
l'assemblage qu'il vérifie.
Vérification à la fatigue des connecteurs
▪
▪
Effet du convoi de fatigue :
La manière commune de procéder est d’utiliser un convoi de fatigue unique, nommé
FLM3, de poids total 480 kN. Sous le passage de ce convoi, on note en chaque
section :
∆τ la variation de contraintes de cisaillement à la base des connecteurs :
celle-ci est calculée en fonction du flux de cisaillement, de la densité locale de
connecteurs et de la section nominale de chaque connecteur à sa base ;
∆σ la variation de contraintes normales dans la membrure supérieure de la
poutre métallique.
Etendue de contrainte équivalente :
Le principe retenu est d’affecter un coefficient aux effets du convoi de fatigue, pour
pouvoir comparer les contraintes extrapolées à la résistance à la fatigue à 2 millions
de cycles.
On définit ainsi :
∆σ E , 2 = λ Φ ∆σ
et ∆τ E , 2 = λ x ∆τ
où
λ et Φ on été définis lors de la vérification de la charpente métallique à la
•
fatigue.
•
λ v = λ v ,1 λ v , 2 λ v ,3 λ v , 4 avec λ v ,1 = 1,55 pour les ponts routes et λ v , 2 à λ v , 4 ont
des définitions similaires à celles données pour les vérifications générales vis-à-vis
de la fatigue, mais avec des exposants 8 et 1/8.
•
Catégorie de trafic Nobs
Qml
1
2.0
457 pour longue distance
2
0.5
430 pour distance moyenne
3
0.125
360 pour trafic local
4
0.05
Si, sous le passage du convoi de fatigue, la membrure supérieure de la poutre
métallique reste comprimée, la seule vérification à effectuer concerne le taux de
cisaillement à la base des connecteurs et s’écrit :
∆τ c
γ Ff ∆τ E , 2 ≤
γ Mf , s
avec
γ Ff = 1,0
γ Mf , s = 1,15 (annexe nationale de l'EN 1994-2)
∆τ c = 90 MPa (catégorie de détail)
Si, sous le passage du convoi de fatigue, la membrure supérieure de la poutre
métallique décomprime, deux vérifications supplémentaires sont à effectuer, en plus
de la vérification précédente.
γ Ff ∆σ E , 2 γ Ff ∆τ E , 2
∆σ c
et
+
≤ 1,3
γ Ff ∆σ E , 2 ≤
γ Mf
∆σ c γ Mf
∆τ c γ Mf , s
avec γ Mf = 1,35
∆σ c = 80 MPa (catégorie de détail)
En toute rigueur ∆σ et ∆τ (à l'origine ∆σ E , 2 et ∆τ E , 2 ) doivent être des valeurs
concomitantes. Par simplification le logiciel OM3 utilise les valeurs maximales ce
qui place en sécurité.
Remarque :
A l'ELU, OM3 ne vérifie pas le critère selon lequel, par tronçon, le nombre de
connecteurs doit être suffisant pour transmettre la totalité de l'effort de cisaillement
(cf second critère du guide EC3/4, §11.4.1). Cette vérification complémentaire doit
être effectuée par l'utilisateur d'OM3.
Maîtrise de la fissuration
Ferraillage minimum de non-fragilité
Le ferraillage minimum à disposer est le suivant :
As,min = ks.kc.k.fcf,eff.Act / fsk
-fct,eff
σs
Section non fissurée
Section après fissuration
z0
Axe neutre section non
fissurée n0 court terme
La quantité kc.fct,eff.Act est une expression approchée de l'effort dans le béton tendu
sous l'effet du moment de fissuration :
▪
La contrainte au milieu du béton tendu sous l'effet d'un moment de fissuration
(moment créant une contrainte fct,eff en fibre supérieure de la dalle en section
non fissurée) est donné par
σ c = f ct ,eff
z0
z0 +
hc
2
= f ct ,eff
1
h
1+ c
2z0
D'où kc = 1 / ( 1 + hc / 2z0)
▪
Il convient d'ajouter la traction supplémentaire due au retrait gêné, terme non
calculé évalué forfaitairement à kc = 0,3
▪
L'ensemble est plafonné à kc = 1,0, qui correspondrait à un effort de traction
uniforme de fct,eff sur l'ensemble de la dalle
Commentaire : on obtient souvent kc = 1,0
Cet effort de traction est ensuite réduit pour tenir compte forfaitairement de différents
effets :
▪ non-uniformité des contraintes dans la dalle : coefficient k = 0,8
▪ transfert d'effort de la dalle vers la charpente au moment de la fissuration :
coefficient ks = 0,9
On met donc en place un ferraillage permettant d'équilibrer cet effort, en travaillant à
la limite élastique fsk. On obtient ainsi le ferraillage de base à mettre en place dans
toute section (y compris dans les sections comprimées sous ELS caractéristique)
(EN 1994-2,7.4.2(5))
Au moins la moitié du ferraillage minimum doit être placé en nappe supérieure.
Vérification de l'ouverture de fissure due aux actions non
calculées
Il faut vérifier l'ouverture des fissures dans les zones tendues de la dalle sous ELS
caractéristique.
Le calcul d'ouverture de fissure suppose de connaître la contrainte dans les aciers
passifs. Sous l'effet des retraits gênés (retrait de dessiccation, retrait thermique), on
ne connaît pas cette contrainte. Le calcul conventionnel suivant est proposé:
σs = ks.kc.k.fcf,eff.Act / As
Commentaire :
Il s'agit de la formule du ferraillage minimum lue à l'envers. Il s'agit donc de la
contrainte qui se développe dans les aciers au moment de la fissuration causée par
le retrait gêné.
Vérification de l'ouverture de fissure due aux charges
extérieures
OM3 permet d'obtenir les valeurs de contraintes en section fissurée sous l'effet de la
combinaison ELS fréquente des charges.
Les valeurs doivent être majorées pour tenir compte de la présence de la charpente :
σs = σs,0 + ∆σs EN 1994-2-7 4.3 (3)
Commentaire :
Cette formule se démontre à partir de l'équilibre des efforts dans les deux modèles
de comportement ci-dessous :
εs,0
Comportement
section fissurée
M
N
ys
N = E.As.εs
Cdg section fissurée
ε
Efforts
σ = E.ε
ε = ay + b
εsm
Comportement
réel
M
N
ys
N = E.As.ε sm + β.As.fctm/ρs
Cdg section fissurée
ε
ε = a ' y + b'
Efforts
σ = E.ε
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