Transcript Diapositives

Classes traitables CSP
définies par motifs interdits
Martin Cooper et al.
Publications : AIJ(3), JAIR(2), IJCAI, AAAI, CP(5), ECAI (best
paper)
Financements : projet ANR (IRIT-LSIS-CRIL-GREYC),
projet EPSRC (Oxford-Londres-IRIT)
Thèse : Guillaume Escamocher
Cartographie des classes traitables (il y a 5 ans)
– classes sémantiques définies par des restrictions sur le langage de contraintes.
Exemples : HornSAT, 2SAT, contraintes max-closed, contraintes
linéaires, fonctions sous-modulaires, ...
– classes structurelles définies par des restrictions sur le graphe
de contraintes.
Exemple : largeur d’arbre bornée
– classes hybrides (quelques classes disparates)
Motifs interdits
Plusieurs dichotomies existent qui laissent penser qu’il n’y a pas
d’autres classes traitables intéressantes à décrouvrir parmi les
classes sémantiques ou structurelles
⇒
besoin d’un langage pour exprimer des classes hybrides
⇒
motifs interdits
Un motif (”pattern”) P est un CSP binaire dans lequel les compatibilités de toutes paires d’affectations ne sont pas forcément
précisées.
CSP(P )
CSP(P ) est la classe de toutes les instances CSP binaires dans
laquelle aucun sous-problème (sous-ensembles des variables et
des domaines) est isomorphe à P .
Exemples :
•S@
•@S@S@
•
•
•
•
•
%
%
@
%
S@
%
@S @
%
@S @
S
I
•
•
P
•
Q
•
compatible
incompatible
L’instance I contient P mais pas Q ⇒ I ∈
/ CSP(P ), I ∈ CSP(Q)
Motifs traitables
Un motif P est traitable s’il existe un algorithme de complexité
polynomiale pour résoudre CSP(P ).
Exemple de motifs traitables :
•
•
•
•T
T
T
T
T T
T
TT
•
•
Exemple d’un motif interdit traitable qui ne comporte qu’une seule contrainte
Si le motif suivant est interdit dans un CSP binaire, alors toutes
les contraintes sont ZOA (une généralisation de 2SAT) :
•PPPP
PP
•
• a
PP
PP
P
• b
a 6= b
Autre exemple de motif traitable : Broken Triangle Property (BTP)
•T
•
T
T
T
"
"
T " "
T
"
"
T
"
TT""
•
Xi
•
Xk
i<j<k
Xj
Le motif n’est interdit que si i < j < k.
La classe CSP(BTP) comporte toutes les instances dont le graphe
de contraintes est un arbre.
Autre exemple de motif traitable
•
...
•
•
•
•
•
•
•
...
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Pivot(k)
...
•
•
Exemples de motifs intraitables :
•
(a)
•
•
•
(b)
•
(c)
•
•
•
•
•
•
•
Caractérisations des motifs traitables P dans certains cas :
1. motifs négatifs
P ne comporte que des incompatibilités
P ne comporte que 2 contraintes.
2. motifs de petite taille
(Et il ne reste que 96 cas ouverts pour caractériser toutes
les motifs traitables sur 3 contraintes.)
3. motifs complets la compatibilité de chaque paire d’affectations de P est précisée (MAX-CSP)
Elimination de variables via motifs interdits
Exemple :
•
•T
T
T
T
"
"
T " "
T
"
"
T
"
TT""
•
•
x
le motif BTP n’apparaı̂t pas sur la variable x d’une instance
arc-cohérente I ⇒ I et I \ {x} ont la même satisfiabilité.
Il existe 4 motifs qui permet l’élimination de variables.
Elimination de valeurs via motifs interdits
Exemple :
•LPPPP
P
P
P
P
• a
L
PP
L
P
L
L
L
L
LL
•
• b
x
•
le motif n’apparaı̂t pas sur les valeurs a, b ∈ D(x) d’une instance
arc-cohérente I ⇒ I et I \ {(x, b)} ont la même satisfiabilité.
Il existe 3 motifs qui permet l’élimination de valeurs. (Chacun
représente une généralisation de la substitution de voisinage).
Conclusions et questions ouvertes
– La notion de motif interdit a permis la découverte de plusieurs
nouvelles classes traitables ainsi que de nouvelles opérations
de réduction.
– Certaines de ces classes/opérations se généralisent aux contraintes
non binaires et/ou aux problèmes d’optimisation.
– Existe-t-il une généralisation de motif interdit qui fournirait
un cadre unificateur pour décrire toutes les classes traitables
possibles ?