Transcript Exercices : 03 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau

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1 – Exercices : 03 - Electronique
num´
erique.
Sciences Physiques MP 2014-2015
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Exercices : 03 - Electronique
num´
erique.
1. Crit`
ere de Shannon
Un signal t´el´ephonique a son spectre limit´e `a 3, 4 kHz pour r´eduire son encombrement spectral. Il est ´echantillonn´e `a Fe = 8, 0 kHz. Pour la r´ealisation d’un CD audio, on souhaite conserver la fr´equence maximale du
domaine audible qui est de 20, 0 kHz. Le signal audio est ´echantillonn´e `a Fe = 44, 1 kHz.
1. Lorsque la condition de Shannon est respect´ee, combien d’´echantillons sont pr´elev´es au minimum par
p´eriode d’un signal s(t) sinuso¨ıdal ?
2. Le crit`ere de Shannon est-il respect´e pour la t´el´ephonie et pour le CD audio ?
3. Pr´esenter sur deux graphiques l’allure du spectre du signal t´el´ephonique et l’allure du spectre de ce mˆeme
signal une fois qu’il a ´et´e ´echantillonn´e. Ce dernier spectre fait apparaˆıtre une zone vide appel´ee zone de
transition, quelle est sa taille ?
4. Comparer la largeur du spectre et la largeur de la zone de transition aussi bien dans le cas du signal
t´el´ephonique ´echantillonn´e que dans le cas du signal audio ´echantillonn´e.
5. En comparant les deux r´esultats de la question pr´ec´edente, comparer les qualit´es des filtres n´ecessaires
pour restituer le signal dans chacun des cas.
2. Oscilloscope num´
erique
La structure d’un oscilloscope num´erique comprend un ´etage d’entr´ee att´enuateur qui poss`ede une imp´edance
d’entr´ee de 1 MΩ - information inscrite sur l’appareil ene g´en´eral -, un ´echantillonneur fonctionnant a` la fr´equence Fe - et qui, par cons´equent, pr´el`eve Fe ´echantillons par seconde -, un convertisseur analogique-num´erique
qui envoie les donn´ees dans la m´emoire et un syst`eme de traitement pour fournir l’image sur l’´ecran de l’oscilloscope. Un utilisateur souhaite pouvoir analyser des signaux classiques - sinuso¨ıdal, triangle, cr´eneau, impulsion
- pr´esentant des fr´equences comprises entre 0, 1 Hz et 10 MHz.
1. Pourquoi ne peut-on pas se contenter d’un oscilloscope dont la bande passante est ´egale `a la fr´equence
maximale souhait´ee ?
2. Quelle est la valeur minimale du taux d’´echantillonnage n´ecessaire ?
3. La notice de l’appareil pr´ecise que, pour une bonne gestion de la capacit´e de la m´emoire, le taux d’´echantillonnage Fe est ajust´e en fonction du calibre s´electionn´e sur l’appareil. En supposant qu’un ´echantillon
occupe 2 octets d’une capacit´e de 256 ko, quel taux d’´echantillonnage Fe maximal permettrait d’observer
10 p´eriodes d’un signal de fr´equence 10 kHz ? On restreint la cadence `a 100 M´ech·s−1 , combien un balayage
occupe-t-il de capacit´e m´emoire ? Combien cela repr´esente-t-il de points par p´eriode ?
4. Le choix du convertisseur conditionne fortement le prix de l’appareil. Commenter les valeurs du tableau
suivant.
Nombre de bits
Nombre de niveaux
Plus petite variation d´ecelable
8
256
0, 4%
12
4 096
244 ppm
16
65 536
15 ppm
5. Peut-on avec les convertisseurs propos´es atteindre une pr´ecision de 0, 1 mV pour une tension de 240 V ?
6. En fait, pour mesurer des tensions de quelques dizaines ou de centaines de volts, on utilise une sonde qui
att´enue le signal d’un facteur 10. Quelle est la pr´ecision que l’on peut obtenir en utilisant un convertisseur
12 bits ?
3. Erreur de quantification
Du fait de la num´erisation par un convertisseur `a loi lin´eaire, une erreur d’arrondi est commise sur chaque
´echantillon.
1. En notant q le pas de quantification, pr´eciser dans quel intervalle l’erreur d’arrondi ε prend sa valeur.
2. Lors d’un essai du convertisseur avec un signal triangulaire, quelle est l’´evolution temporelle de ε(t) ? On
raisonnera sur une portion croissante du signal d’entr´ee.
3. En raisonnant sur une p´eriode de ε(t), d´eterminer sa valeur moyenne. Quelle est aussi sa moyenne quadratique et donc sa valeur efficace ? Comparer εef f et la plage de conversion du signal ∆s pour un convertisseur
lin´eaire 8 bits ou 12 bits.
4. Lors d’une phase de d´ecroissance du signal triangulaire ´echantillonn´e, les propri´et´es pr´ec´edentes sont-elles
conserv´ees ?
5. Le signal d’entr´ee est de forme quelconque mais d’amplitude grande devant le pas de quantification.
Pourquoi peut-on consid´erer les r´esultats pr´ec´edents comme toujours valables pourε(t) ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
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Exercices : 03 - Electronique
num´
erique. – 2
Sciences Physiques MP 2014-2015
R´eponses : l’erreur d’arrondi prend ses valeurs dans l’intervalle [− q2 ; + 2q ] ; on obtient une dent de scie de p´eriode
identique `a celle de l’´echantillonnage Te que l’on peut d´ecrire par ε(t) = q Tte pour le signal entre [− T2e ; T2e ] qui
R T /2
2
q2
encadre la date t = 0 ; la moyenne est nulle sur une p´eriode, la moyenne quadratique σ 2 = T2e 0 e q 2 Tt 2 dt = 12
,
ε
e
q
ef f
1√
on a donc εef f = 2√
, la plage de conversion ∆s est telle que q = 2n∆s
−1 on a donc ∆s ≃ 2n+1 3 , pour 8 bits
3
εef f
εef f
= 10−3 et pour 12 bits ∆s
= 7 × 10−5 ; les r´esultats restent valables car on a toujours un signal
on trouve ∆s
triangulaire, il n’y a que le signe qui change ; l’´echantillonnage est rapide et la plage de conversion grande devant
le pas de quantification, on peut consid´erer localement que tout signal est assimilable `a un triangle.
4. Filtre passe-haut
On ´etudie la r´ealisation d’un filtre num´erique passe-haut du premier ordre par la m´ethode d’Euler.
1. On note e et s les grandeurs complexes associ´ees au signal d’entr´ee et au signal de sortie. On raisonne en
s
r´egime harmonique. Rappeler la forme complexe de la fonction de transfert H(jω) = du filtre passe-haut
e
sachant que sa constante de temps caract´eristique est not´ee τ .
2. En d´eduire l’´equation diff´erentielle qui lie entr´ee et sortie pour un r´egime temporel d’´evolution quelconque.
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3. Ecrire
l’´equation r´ecurrente associ´ee l’´equation diff´erentielle de ce filtre passe-haut.
4. Programmer en langage Python cette ´equation pour observer la r´eponse s(t) de ce filtre `a un ´echelon de
tension impos´e en entr´ee.
5. Commenter le graphique obtenu.
5. Convertisseur analogique-num´
erique de type flash
On ´etudie ici le principe du convertisseur flash. Son atout est d’ˆetre tr`es rapide mais son inconv´enient est la
croissance vite importante de sa complexit´e puisqu’elle ´evolue de fa¸con exponentielle avec le nombre N de bits,
plus exactement en 2N . Le convertisseur propos´e est un montage permettant de coder sur N = 3 bits une
tension analogique ua . Le sch´ema du montage est r´ealis´e `a la figure 1. Il comporte des r´esistances ´electriques R
une source de tension constante Vref = +5 V ainsi que 4 amplificateurs op´erationnels utilis´es en comparateur.
Un seul montage comparateur a ´et´e repr´esent´e tel qu’il se pr´esente. Les 4 amplificateurs ne pr´el`event aucun
courant et d´elivrent en sortie une tension qui sera usi = ±Vsat en fonction du signe de leur tension diff´erentielle
ε
d’entr´ee ε = V+ − V− avec la loi usi =
Vsat . Les amplificateurs op´erationnels sont aliment´es par une source de
|ε|
tension sym´etrique par rapport `a la masse qui n’est pas repr´esent´ee sur le sch´ema. Sur le sch´ema, les connexions
´electriques sont mat´erialis´ees par un point. Lorsque deux fils se croisent sans point il n’y a pas de nœud a` ce
niveau du montage, les fils ne sont pas connect´es. Pour simplifier la r´eflexion, on suppose que le signal analogique
est compris dans l’intervalle [0 V; 5 V]
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1. Etablir
l’´etat de la sortie du premier comparateur us1 en fonction de la valeur de ua .
2. Faire la mˆeme chose pour le second comparateur et us2 .
3. On convient de retenir le codage suivant pour les sorties des comparateurs : 0 lorsque usi = −Vsat et 1
lorsque usi = Vsat . Proposer dans un tableau un ´etat des 4 sorties en fonction de la valeur de ua .
4. On convient d’attribuer comme valeur pour ua la valeur minimale de l’intervalle dans lequel elle se situe
pour un ´etat donn´e des sorties. Compl´eter le tableau pr´ec´edent par la valeur de la tension en volt.
5. Convertir en ´ecriture binaire les valeurs des tensions ua pr´ec´edentes.
R´eponses : ε = V+ − V− = ua − Vref /5, car on peut appliquer le diviseur de tension puisqu’il n’y a pas de
pr´el`evement de courant, si ua < 1 V alors usi = −Vsat , ce cas correspond `a 0 < ua < 1 V on attribue la valeur
0 V ; pour le second comparateur, c’est la mˆeme chose pour 1 V < ua < 2 V. . . un nombre α β γ en notation
binaire correspond `a α22 + β21 + γ20 ; le tableau qui r´esume le fonctionnement est :
ua
0 < ua < 1 V
1 V < ua < 2 V
2 V < ua < 3 V
3 V < ua < 4 V
4 V < ua < 5 V
codage des sorties
0000
0001
0011
0111
1111
valeur r´ef´erence de ua
0V
1V
2V
3V
4V
codage binaire
000
001
010
011
100
6. Montage `
a commande num´
erique
Dans le circuit de la figure 2, quatre interrupteurs peuvent mettre en contact la r´esistance 2R soit avec le
g´en´erateur (tension E, position 1), soit avec la masse (position 0).
1. D´eterminer, en fonction de l’´etat des interrupteurs, la tension u aux bornes de l’ensemble. On pourra
d´efinir une suite de quatre nombres ǫk avec k ∈ {0, 1, 2, 3} et ǫk = 0 ou 1.
2. Commenter et pr´eciser le rˆole du circuit. G´en´eraliser `a n interrupteurs.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
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erique.
Sciences Physiques MP 2014-2015
ua
b
b
b
Vref
R
b
comparateur
b
us4
b
R
b
comparateur
b
us3
b
R
b
comparateur
b
us2
b
R
b
b
b
R
us1
+
b
b
b
Figure 1 – Montage CAN de type flash
2R
2R
2R
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
E
2R
u
R
R
b
R
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
2R
Figure 2 – Montage `a commande num´erique
JR Seigne
Clemenceau
Nantes