Transcript TD 1 – Révisions de mécanique

Lycée CHAPTAL – PC*
E. FREMONT
Travaux dirigés
Mécanique 1
Révisions de 1ère année
Exercice 1 : Etude sommaire d’un accélérographe
Dans un référentiel R galiléen muni du repère cartésien Oxyz , on considère un corps solide (S) de masse
m  0,1 kg et de centre d’inertie G pouvant se déplacer sans frottement solide le long de l’axe horizontal Ox . G
est relié au point E par un ressort de raideur k . (S) est en outre soumis à une force de frottement visqueux de la
forme  V  G  , où V  G  est la vitesse de G par rapport à E.
On repère la position de G par l’écart à la position d’équilibre l0 , défini par la relation x  EG  l0 .
On prendra pour l’intensité du champ de pesanteur terrestre g  9,8 m.s2 .
1/ Détermination des caractéristiques de l’oscillateur
Dans un premier temps, on suppose que E est fixe en O. On écarte G de sa position d’équilibre vers la
droite, d’une distance x0  10 cm et on le lâche sans vitesse initiale.
1/1. Déterminer l’équation du mouvement de G. On posera 02 

k
et 2  .
m
m
1/2. Déterminer x  t  dans le cas d’un régime pseudo-périodique.
1/3. La durée séparant 10 passages de G par la position d’équilibre, de droite à gauche, est t  12 s . Par
ailleurs, l’amplitude de la dixième oscillation est x1  7,5 cm . En déduire les valeurs de la pseudo-pulsation, de
 et de k .
2/ Mesure d’une accélération
Le point E est désormais solidaire d’un solide en vibration dans R. Sa position est donnée par
OE  a cos t  ex .
2/1. Déterminer la nouvelle équation différentielle vérifiée par x  t  .
2/2. Déterminer x  t  en régime forcé.
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2/3. Le tracé de l’amplitude X 0 des oscillations de G en fonction de la pulsation a l’allure suivante en
coordonnées réduites y 

X0
en fonction de u 
:
0
a
Que représente le maximum de cette courbe ? Cette situation se présente-t-elle pour toute valeur du coefficient
d’amortissement ? Déduire graphiquement l’amplitude a dans le cas où, pour   7 rad.s1 , on mesure
X 0  0, 2 m .
2/4. Exprimer, puis calculer, la puissance moyenne dissipée par les frottements.
Exercice 2 : Expériences simples mettant en jeu une table et une règle
On étudie dans cet exercice deux expériences successives réalisées avec une règle plate, assimilée à une
barre homogène AB de masse m et de longueur 2L . Dans tout le problème, on considèrera que le référentiel du
laboratoire est galiléen et on prendra g  9,8 m.s2 .
1/ Première expérience : Equilibre de la règle sur le bord de la table
On pose la règle sur le bord d’une table
horizontale fixe, confondue avec le plan Oxz .
On repère par x l’abscisse du point B. On admet
que les actions de contact dues à la table
s’exercent uniquement au niveau des points O et
A.
y
A
B
O
x
En vous appuyant sur des schémas, mettre en
évidence – sans calculs - une condition sur x
pour que la règle ne bascule pas.
2/ Deuxième expérience : Glissement de la règle sur la table
On pose désormais la règle de sorte que B soit initialement confondu avec le bord O de la table. A l’instant
t  0 , on lance la règle avec la vitesse initiale v0  v0 ex (parallèle à la règle).
On conserve l’hypothèse selon laquelle la barre est en contact avec la table par deux points : en O et en A. On
suppose de plus qu’il n’y a pas de frottement en O et on note f le coefficient de frottement entre la table et la
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règle en A.
2/1. Décrire qualitativement le mouvement de la règle pour t  0 .
2/2. Moment cinétique de la barre
2/2.a. Rappeler la définition du moment cinétique d’un point matériel de masse m par rapport au point O.
Comment est modifiée cette définition dans le cas d'’un système de N points matériels M i  mi  .
2/2.b. Justifier que le moment cinétique de la barre par rapport au point O est nul tant que la barre est en
translation sur la table.
2/3. A partir du théorème du moment cinétique, déterminer l’expression de la réaction normale de la table sur la
règle au point A en fonction de x . Pour quelle valeur xM de x la règle bascule-t-elle ?
2/4. Etablir l’équation du mouvement sous la forme x  h  x  tant que la règle ne bascule pas. On précisera
l’expression de la fonction h .
2/5. Un peu d’informatique !
Proposer des valeurs plausibles pour les différents paramètres du problème et résoudre numériquement
l’équation du mouvement. Estimer la valeur critique de v0 (notée v0,lim ) au-delà de laquelle on observe un
basculement de la règle.
Données : Valeurs indicatives de quelques coefficients de frottement
Nature des matériaux
en contact
f
Acier sur acier
0,15
Téflon sur acier
0,04
Fonte sur bronze
0,2
Nylon sur acier
0,35
Bois sur bois
0,4 à 0,2
Métaux sur bois
0,5 à 0,2
Métal sur glace
0,02
Pneu voiture sur route
0,6
2/6. Par le calcul, déterminer l’expression de la vitesse critique v0,lim . Commenter le résultat obtenu.
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Exercice 3 : Le jeu de jokari – Modèle à une dimension
Le jokari est un jeu qui se joue seul ou à deux. Il est
composé d’une balle en caoutchouc de masse m attachée à un
socle par un élastique, permettant ainsi à la balle de revenir. On
frappe la balle avec une raquette en bois.
On modélisera la balle par un point M. L’élastique sera
assimilé à un ressort de raideur k et de longueur à vide l0 . L’effet
de l’élastique ne se produit que si la longueur de l’élastique est
supérieure à l0 , c’est-à-dire tendu. Le socle sera placé sur le sol
en un point O pris comme origine du problème.
L’étude du mouvement s’effectue dans le référentiel terrestre
assimilé à un référentiel galiléen. On note g le champ de
pesanteur terrestre, supposé constant et uniforme. On désigne par
Oxyz le repère orthonormé direct lié à la Terre, l’axe Oz étant
dirigé suivant la verticale ascendante.
Données et notations :

Masse de la balle : m = 50 g ;

Longueur à vide de l’élastique : l0 = 2,0 m ;

Raideur de l’élastique : k = 0,80 N.m-1 ;

Hauteur initiale de lancement : h = 1,0 m ;

Champ de pesanteur terrestre : g ( g  9,8 m.s2 ).
A l’instant initial t = 0, on lance la balle M avec une vitesse v0 suivant l’axe Oz ascendant et à une hauteur h
( h  l0 ). On néglige tout frottement.
1/ Quelle doit être la vitesse initiale minimale v0,min pour que l’élastique se tende ? Faire l’application
numérique.
2/ Étude du mouvement de la balle lorsque l’élastique n’est jamais tendu ( v0  v0,min )
2/1. Dans l’hypothèse où v0  v0,min , donner l’expression de la vitesse vz  t  
dz
 t  à un instant t donné. En
dt
déduire la position z  t  . Préciser les expressions de la vitesse vs et de l’instant t s quand la masse touche le sol.
v 2 2h
On posera  2  0 
. Calculer les valeurs numériques de vs et t s .
g2 g
2/2. En déduire une expression de z en fonction de vz , v0 et h. Quelle est la nature de la courbe obtenue ?
Comparer cette expression à celle des courbes de niveau de l’énergie mécanique. En déduire une autre
expression de z en fonction de g , vz et vs .
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2/3. L’espace des phases est un plan où l’on porte en abscisse z et en ordonnée vz 
dz
. Tracer la courbe
dt
correspondante dans l’espace des phases pour t  0, ts  . On précisera les points remarquables.
 
2/4. Quand la balle touche le sol, on admet que la vitesse se transforme instantanément en v ts   evs ez , où e
est un coefficient de restitution tel que 0  e  1 . On prend une nouvelle origine des temps et on pose t '  t  ts .
Exprimer la nouvelle vitesse vz  t ' et la nouvelle position z  t ' . En déduire l’expression de z en fonction de
g , vz et vs . Comparer au résultat précédent.
2/5. On représente ci-dessous la trajectoire dans l’espace des phases après plusieurs rebonds.
Reproduire ce graphique sur la copie en y précisant le sens de parcours. Pourquoi a-t-on des tangentes verticales
sur l’axe des z ? Par quelle propriété graphique se traduit la conservation de l’énergie ? Quelle propriété
présentent ces courbes les unes par rapport aux autres ?
2/6. On tient compte maintenant de la force de trainée. La résistance de l’air sur la balle de rayon R et animée
d’une vitesse v se traduit par une force qui vaut en norme f   v2 , où β est une constante. On lance toujours la
balle de masse m d’une hauteur h avec une vitesse v0  v0,min ascendante. Écrire la nouvelle équation vérifiée
par v en fonction de g , m et β dans la phase ascendante, puis dans la phase descendante.
2/7. On pose u  v2 . Montrer que dans la phase ascendante
fonction de m, g , β, v0 , h et d 
du
2
 2 g 
u . Expliciter la fonction u  z  en
dz
m
m
. En déduire zmax l’altitude maximale atteinte par la balle.
2
2/8. Établir l’expression dans la phase descendante. Expliciter la fonction u  z  en fonction de m, g , β, zmax et
d. En déduire la vitesse vs quand la balle touche le sol à l’instant t s .
2/9. Tracer l’allure de la trajectoire dans l’espace des phases entre t  0 et t  ts .
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3/ Étude du mouvement de la balle lorsque l’élastique se tend
On lance toujours la balle de masse m d’une hauteur h avec une vitesse ascendante. On suppose désormais
que v0  v0,min et on néglige de nouveau tout frottement.
3/1. Décrire qualitativement les différentes phases du mouvement de la balle. Donner l’expression de z  t  avant
que l’élastique ne se tende. A quel instant t1 l’élastique commence-t-il à se tendre ?
3/2. On prend une nouvelle origine des temps et on pose t '  t  t1 . Exprimer la nouvelle position z  t ' lorsque
l’élastique est tendu. A quel instant t2 l’élastique cesse-t-il d’être tendu ?
3/3. A quel instant t s la balle touche-t-elle le sol ? Calculer numériquement les différents instants précédents
pour v0 = 10 m.s-1.
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