Mathématiques BCPST1 Lycée Roland Garros 2014-2015 πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ

Feuille de TD n

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15. Statistique descriptive univariée

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Généralités

• • • • • • • Exercice 1 Eet d'une fonction ane sur les statistiques Soit x un caractère et y = ax + b . Comparer pour les deux séries ( y 1 , . . . , y n ) : ( x 1 , . . . , x n ) 1. le(s) mode(s) 2. la moyenne 3. la variance 4. la médiane 5. l'étendue 6. l'écart-type 7. les quartiles et Exercice 2 Regroupement de deux séries Soient deux séries statistiques ( x 1 , . . . , x n ) et ( y 1 , . . . , y m ) .

1. On note z = ( x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y m ) . Exprimer z en fonction de x , y , n et m .

2. Interpréter ce résultat en terme de barycentre.

Exercice 3 Valeurs extrêmes Soit ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) une série statistique.

1. Montrer que la moyenne de x est comprise entre ses valeurs extrêmes : min( x 1 , . . . , x n ) ≤ x ≤ max( x 1 , . . . , x n ) .

2. A quelle condition a t-on min( x 1 , . . . , x n ) = x ?

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Situations concrètes

• • • • • • • Exercice 4 Requins On recense, parmi les principales espèces de requins d'Asie, le nombre de paires de chromosomes. On obtient le diagramme suivant.

Données non contractuelles, susceptibles d'avoir été complètement inventées 1

1. Quelle est la population ? Qu'est-ce qu'un individu de cette population ? Quelle est sa taille ?

2. Dresser le tableau des eectifs et des eectifs cumulés.

3. Déterminer l'étendue, le mode, la médiane, la moyenne et l 'écart-type de cette série.

Exercice 5 Requins (II) Dans l'entreprise BNP, la répartition des salaires est donnée par le tableau suivant (en k$) : Note [2 , 3[ [3 , 4[ [4 , 5[ [5 , 6[ [6 , 8[ [8 , 10[ Eectif 1500 1821 2510 4220 10475 9450 (données absolument fallacieuses) [10 , 15[ 3520 [15 , 40[ 754 [40 , 100[ 32 [100 , 200[ 1 1. Construire l'histogramme associé à la série. Quelle est la classe modale ?

2. Représenter le polygone des eectifs croissants. En déduire graphiquement une valeur approchée de la médiane.

3. Calculer la moyenne et l'écart-type de cette série statistique.

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Exercice 6 Problème de re-calibrage Lors d'un concours d'entrée à une grande école, deux jurys diérents attribuent aux candidats des notes sur 20 , résumées par classes dans le tableau suivant : classe de note x (jury A) y (jury B) [0; 2[ 0 7 [2; 4[ 1 5 [4; 6 2 10 [6; 7[ 6 17 [7; 8[ 13 7 [8; 9[ 12 12 [9; 10[ 18 18 [10; 11[ 28 16 [11; 13[ 15 11 [13; 17[ 8 0 1. Combien y'a t-il de modalités pour ces séries ?

2. Calculer la moyenne x et l'écart-type s x des notes accordées par le jury A.

3. Calculer la moyenne y et l'écart-type s y des notes accordées par le jury B.

4. Par souci d'équité, on désire harmoniser les notes. Pour ce faire, on modie par une transformation ane les notes du jury B de manière à obtenir une moyenne et un écart-type identiques à ceux du jury A. On pose donc z = ay + b , où a ∈ R + et b ∈ R sont choisis tels que z = x et s z = s x .

(a) Déterminer a et b .

(b) Un candidat du jury B ayant obtenu initialement moyenne ?

9 a-t-il maintenant la Exercice 7 Cholestérol L'étude du taux de cholestérol (en g/L ) sur un échantillon de aux résultats résumés dans le tableau suivant : 100 personnes a conduit taux de cholestérol eectif taux de cholestérol eectif [1 [1 [1 [1 [2 , , , , , 0; 1 4; 1 6; 1 8; 2 0; 2 , , , , , 4[ 6[ 8[ 0[ 2[ 6 13 16 22 28 [2 [2 [2 [2 [3 , , , , , 2; 2 4; 2 6; 2 8; 3 0; 3 , , , , , 4[ 6[ 8[ 0[ 4[ 10 6 4 3 2 La répartition dans chaque classe est supposée homogène.

1. Quel est l'eectif de l'échantillon ?

2. Déterminer l'étendue de la série.

3. Calculer la moyenne et l'écart-type de la série.

4. Construire le polygone des fréquences cumulées. En déduire une valeur approchée de la médiane, des quartiles et de l'écart interquartile.

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