Transcript Appel commun des organisations CGT, FO et SUD d`Orange à la

Chapitre 3 : Fonctions usuelles
1. Propriétés des courbes
1.1 Définition et lecture graphique
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;~ı ; ~).
Définition 1. L’ensemble de définition d’une fonction f , souvent noté Df est, sauf mention du contraire,
l’ensemble des valeurs réelles x pour lesquelles le calcul de f (x) est valide. La courbe d’une fonction f définie
sur Df ⊂ R et à valeurs dans R est l’ensemble des points du plan défini par Cf = {(x; y) ∈ R2 , y = f (x)}.
L’équation y = f (x) est une équation cartésienne de la courbe de f .
Exemple 1. Lecture graphique d’image et d’antécédents.
Lecture d’image
Lecture d’antécédent
f (3) = 1
y=1
Résolution d’inéquation
y=1
b
b
S = [1 ; 3]
b
O
x=3
image de 3 par f : f (3) = 1.
b
b
O
x=1
x=3
antécédents de 1 par f : 1 et 3.
O
x=3
x=1
[1, 3] : ensemble des solutions de f (x) > 1
1.2 Parité et symétrie
L’étude des propriétés d’une fonction permet de restreindre son ensemble d’étude et de compléter sa courbe par symétrie :
I = 0, 0
Définition 2. f : Df → R est impaire si et seulement si :
∀x ∈ Df , −x ∈ Df et f (x) = −f (−x).
La courbe d’une fonction impaire est donc symétrique par rapport
à l’origine du repère.
Exemple 2. ✎ Vérifier que i : R → R, x 7→
1
est impaire
x
Définition 3. f : Df → R est paire si et seulement si :
∀x ∈ Df , −x ∈ Df et f (x) = f (−x).
La courbe d’une fonction paire est donc symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées (d’équation x = 0).
Exemple 3. ✎ Vérifier que f : R → R, x 7→ x2 + 1 est paire
M
f (x)
−x
M′
f (x)
=
f (−x)
b
b
x
f (−x)
b
b
+
M
−x
′
Mb
+
x=0
x
1.3 Tangentes
La dérivation fera l’objet d’un chapitre ultérieur. Intuitivement, la tangente en un point M de la courbe Cf est
la droite qui épouse au mieux l’allure de Cf au voisinage de M . Elle permet de guider le tracé de Cf près de M .
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C
Définition 4. Soit f une fonction définie sur I et dérivable en x0 ∈ I.
La tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse x0 est la
droite Tx0 d’équation
b
Tx0
y = f ′ (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
Ainsi, le coefficient directeur de cette tangente est nombre f ′ (x0 ).
M0
f (x0 )
b
Exemple 4. ✎ Équation de la tangente à P : y = x2 au point A(1, 1) ?
Équation de la tangente à Cln au point d’abscisse 1 ?
b
O
x0
1.4 Asymptotes et notion graphique de limite
Intuitivement, une asymptote à la courbe de f au voisinage d’une borne ouverte de son ensemble de définition,
est une droite épouse au mieux l’allure de la courbe dans cette direction. Elle permet d’en guider le tracé.
b
b
Asymptote verticale en x = a
b
Asymptote oblique en +∞
Asymptote horizontale en +∞
b
b
f (x)
b
O
f (x)
b
b
b
b
O
b
ℓ
b
x
a
b
x
+∞
b
f (x)
b
b
b
b
b
b
b
b
O
b
+∞
x
−∞
−∞
b
b
b
Remarque 1. La notion de limite, qui sera vu dans un chapitre ultérieur peut être bien envisagée à l’aide de
la représentation graphique.
Par exemple,
lim f (x) = 3 signifie que le nombre f (x) peut être rendu aussi proche de 3 que l’on veut, à
x→+∞
condition de choisir x suffisamment grand. Cela traduit bien une proximité entre la courbe de f et la droite
horizontale d’équation y = 3 « loin à droite » sur le graphique.
Par exemple, lim f (x) = +∞ signifie que le nombre f (x) peut être rendu aussi grand que l’on veut, à condition
x→1
de choisir x suffisamment proche du nombre réel 1. Cela traduit bien une proximité entre la courbe de f et la
droite verticale d’équation x = 1 « loin en haut » sur le graphique.
Définition 5. La courbe d’une fonction f admet
⋆ une asymptote verticale d’équation x = a si lim f (x) = ±∞
x→a
⋆ une asymptote horizontale d’équation y = ℓ en +∞ si lim f (x) = ℓ (∈ R).
x→+∞
⋆ une asymptote horizontale d’équation y = ℓ en −∞ si lim f (x) = ℓ (∈ R).
x→−∞
2. Variations d’une fonction et lien avec la dérivation
2.1 Variations
Définition 6. Soit I un intervalle inclus dans Df Alors f est :
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
constante sur I si ∀ (x1 , x2 ) ∈ I 2 , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ).
croissante sur I si ∀ (x1 , x2 ) ∈ I 2 , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) 6 f (x2 ).
strictement croissante sur I si ∀ (x1 , x2 ) ∈ I 2 , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
décroissante sur I si ∀ (x1 , x2 ) ∈ I 2 , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
strictement décroissante sur I si ∀ (x1 , x2 ) ∈ I 2 , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
Si f vérifie une des propriétés précédentes, on dit que f est monotone sur I.
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Méthode 1. Enchaînements d’inégalités
≀ Partant d’une inégalité de départ valable sur un certain intervalle, on peut appliquer une fonction dont on
≀
≀ connait les variations sur cet intervalle afin de déduire une nouvelle inégalité.
≀
≀
≀ Sauf cas évident, il faudra toujours justifier ces étapes en précisant (si besoin en démontrant) les variations
≀
≀ de la fonction sur l’intervalle en question.
≀
≀ En résumé : « appliquer une fonction croissante ne change pas le sens de l’inégalité, appliquer une fonction
≀
≀
≀ décroissante change le sens de l’inégalité. »
≀
≀ Les cas à connaître parfaitement :
≀
≀
≀
1 ne change pas le sens de l’inégalité : ajouter (resp. soustraire) le même nombre, multiplier(resp.
≀
≀
≀
diviser) par un nombre strictement positif, prendre le carré de deux nombres positifs, prendre la racine
≀
≀
carrée de deux nombres positifs, appliquer la fonction exponentielle, appliquer la fonction logarithme
≀
≀
≀
à deux nombres positifs.
≀
≀
2
≀
change le sens de l’inégalité : multiplier(resp. diviser) par un nombre strictement négatif, prendre le
≀
≀
carré
de deux nombres négatifs, prendre l’inverse de deux nombres non nuls de même signe.
≀
≀
Exemple 5. ✎
1
2.
Encadrer f (x) lorsque x ∈ [0; 1].
1
Donner l’ensemble de définition de f : x 7→
2
Montrer que la composée de deux fonctions de même monotonie est croissante et que la composée de
deux fonctions de monotonies différentes est décroissante (on ne s’occupera pas des problémes liés aux
ensembles de définition)
(6 − 3x)
Remarque 2. On peut également retenir que la somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissante) est
croissante (resp. décroissante) et que le produit d’une fonction croissante par un réel positif (resp. négatif) est
croissante (resp. décroissante). La plupart du temps, on utilise toutefois l’outil de la dérivation, plus calculatoire,
pour établir les variations d’une fonction, ce qui évite d’inventer de fausses régles et permet surtout de traiter
des cas beaucoup plus compliqués.
2.2 Opérations et dérivation
On montrera lors du chapitre sur la dérivation :
Proposition 1.
Soient I et J deux intervalles, et u et v deux fonctions. Si
1 k ∈ R et u est dérivable sur I, alors k u aussi et (k u)′ = k u′
2
u et v sont dérivables sur I, alors u + v aussi et (u + v)′ = u′ + v ′
3
u et v sont dérivables sur I, alors uv aussi et (uv)′ = u′ v + v ′ u
u ′
u
u′ v − v ′ u
u et v sont dérivables sur I, et v ne s’annule pas sur I, alors est dérivable sur I et
=
v
v
v2
u : I → J dérivable et v est dérivable sur J alors v ◦ u est dérivable sur I et (v ◦ u)′ = u′ · v ′ ◦ u.
4
5
Exemple 6. ✎ Dériver les fonctions suivantes :
x+1
2
1 x 7→
2 x 7→ (2x + 3) ex
3 t 7→ e−t
4 x 7→ x ln(x).
3
2.3 Application aux variations
On admet le théorème suivant :
Théorème 2.
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Si
⋆ f ′ est nulle sur l’intervalle I, alors f est constante sur I.
⋆ f ′ > 0 sur l’intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
⋆ f ′ < 0 sur l’intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.
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Remarque 3. Les deux derniers points restent vrais si f ′ (x) = 0 pour un nombre fini de valeurs de x, comme
par exemple la fonction cube.
BAttention, il est nécessaire de considérer un intervalle pour appliquer le théorème précédent, sinon il peut
être faux, comme par exemple pour la fonction inverse sur son ensemble de définition.
3. Fonctions rationnelles
3.1 Rappel sur les puissances
Définition 7. Soit a ∈ R − {0} et n > 2 un entier.
1
1
On pose : a0 = 1, a1 = a, a−1 = et an = a × · · · × a et a−n = n . Dans l’écriture an , n est l’exposant.
| {z }
a
a
n fois
Proposition 3.
Pour tous réels a et b, non nuls lorsque mis au dénominateur d’une fraction.
a n
an
3 (an )m = anm
4 an × bn = (ab)n
5
=
bn
b
an am = an+m
1
2
an
= an−m
am
B Si a, b 6= 0 et n > 2, (a + b)n 6= an + bn . On a en revanche les identités remarquables :
Proposition 4.
Pour tous réels a et b, et tout entier naturel n,
1
(a ± b) = a ± 2ab + b
2
2
2
2
a − b = (a − b)(a + b)
2
2
3
n
(a + b) =
n X
n
k=0
k
ak bn−k
3.2 Fonctions polynomiales
Définition 8. Les fonctions constantes sont de la forme x 7→ c où c ∈ R fixé.
Les fonctions monômes sont des puissances entières de l’identité : x 7→ xn , n ∈ N.
Les fonctions polynomiales sont les fonctions définies sur R par : x 7→ an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 où
n ∈ N et (a0 , . . . , an ) ∈ Rn+1 .
Le plus grand exposant n des différents monômes est le degré du polynôme.
Proposition 5.
Soit n ∈ N∗ et f : R → R, x 7→ xn .
1 f est dérivable sur R ; ∀x ∈ R, f ′ (x) = nxn−1 .
2
si n est pair, f est une fonction paire, et si n est impair, f est une fonction impaire.
3
Si u est dérivable sur Du alors, ∀x ∈ Du (un ) (x) = nu′ (x) (u(x))
4
′
Variations et signe :
Cas pair : n ∈ N∗
x
−∞
0
+∞
+∞
+∞
x2n
0
x2n
+ 0 +
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n−1
.
Cas impair : n ∈ N
−∞
0
+∞
+∞
x2n+1
0
−∞
x2n+1
− 0 +
x
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Constante x 7→ a
Carré x 7→ x2
Identité x 7→ x
b
Cube x 7→ x3
b
b
O
O
O
b
O
Exemple 7. ✎ Dériver les fonctions f : x 7→
⋆ Impaire.
⋆ Pas de nom.
⋆ Dérivée : x 7→ 3x2 .
⋆ Paire.
⋆ Parabole.
⋆ Dérivée : x 7→ 2x.
⋆ Impaire.
⋆ Droite linéaire.
⋆ Dérivée : x 7→ 1.
⋆ Paire.
⋆ Droite horizontale.
⋆ Dérivée : x 7→ 0.
5
1 3 x2
x +
+ x et g : x 7→ 3x2 + 2x
3
2
3.3 Fonctions affines (polynômes de degré 1 ou 0)
Définition 9. Une fonction affine est une fonction de la forme f : R → R, x 7→ ax + b où a, b ∈ R sont
fixés. Le nombre a est le coefficient directeur (ou encor lapente) de f , le nombre b son ordonnée à l’origine.
Proposition 6.
⋆ La courbe représentative d’une fonction affine est une droite affine d’équation y = ax + b.
yB − yA
.
⋆ Le coefficient directeur de la droite (AB) est
xB − xA
⋆ Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
x
⋆ Si a > 0, ax + b
ax + b
+∞
+∞
− ab
−∞
0
−
+
+∞
− ab
−∞
+∞
⋆ si a < 0 : ax + b
0
−∞
x
0
ax + b
+
0
−
−∞
Méthode 2. Obtenir l’équation réduite d’une droite connaissant deux points A et B.
≀ On calcule le coefficient directeur via la formule précédente. L’ordonnée à l’origine b s’obtient en remplaçant
≀
≀ a, xA , yA dans yA = axA + b et en résolvant (on peut aussi apprendre b = yA − axA ).
≀
Exemple 8. ✎ Soient A (2; 5) , B (1; 3) et C (25; 29).
1
Donner une équation de (AB).
2
Donner une équation de la parallèle à (AB) contenant C.
3.4 Trinômes (polynômes de degré 2)
Définition 10. Une fonction trinôme du second degré est une fonction de la forme p : R → R, x 7→ ax2 +bx+c
où a, b, c ∈ R sont fixés et a 6= 0. La courbe représentative d’un trinôme est une parabole.
Proposition 7.Signe
2
Le discriminant du trinôme p n
est le√nombre √
∆=
o b − 4ac.
∆ −b− ∆
⋆ si ∆ > 0, deux racines : −b+
; 2a
. Factorisation : p(x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
2a
signe :
x
ax + bx + c
−∞
signe :
x
ax2 + bx + c
−∞
x1
x2
signe de a 0 signe de − a 0
−b ⋆ si ∆ = 0, une racine : S = 2a . Factorisation : a(x − x0 )2 .
2
signe de a
x0
0
+∞
signe de a
+∞
signe de a
⋆ si ∆ < 0, le trinôme n’a pas de racine réelle et pas de factorisation dans R.
x
−∞
+∞
signe :
ax2 + bx + c
signe de a
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Proposition 8.Variations
a>0
−∞
x
+∞
b
−
2a
ax2 + bx + c
−
a<0
+∞
−∞
x
+∞
ax2 + bx + c
∆
4a
b
2a
∆
−
4a
−
−∞
Exemple 9. ✎ 1 Donner le signe de −x2 + 3x − 2 en fonction de x.
3 Résoudre x4 − x2 − 2 = 0 (resp. 6 0) sur R.
2
+∞
−∞
Résoudre −x2 + 4x − 5 < 0 sur R
Méthode 3. Méthode du changement de variable pour se ramener à une équation du second degré
≀ On pose, la plupart du temps X = x2 ou X = ex lorsque cela permet de se ramener à un (in)équation du
≀
≀ second degré en X.
≀
3.5 Rappels sur les fractions
Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont pas de facteurs communs
(autres que 1 et −1). On écrira toujours les fractions sous forme irréductible.
Proposition 9.
Pour (a, b, c, d) ∈ R4 , lorsque les dénominateurs sont non nuls,
1
2
3
a
=a
1
a
a×c
=
b×c
b
a
−a
a
− =
=
b
b
−b
4
5
6
c
a×c
a
× =
b
d
b×d
1
b
a =
a
b
a
b
c
d
=
a d
×
b
c
7
8
9
Exemple 10. ✎
1
2
Mettre les fractions au même dénominateur, sous forme irréductible : A =
1
3
3
Soit f : x 7→ − x3 + x2 − 2x +
3
2
2
(a) Calculer f (3).
b
a+b
a
+ =
d d
d
b
a−b
a
− =
d d
d
a
c
ad + bc
+ =
b
d
bd
2 5
1
4
1
− +
et B = 3 − 4 .
9 6 15
2n
n
(b) Déduire de l’exemple précédent et de la question précédente le signe de f (x) en fonction de x
Méthode 4. Montrer une inégalité ou étudier un signe via une étude de fonction
≀ Lorsque les manipulations algébriques (voir la méthode 1) sur les inégalités ne suffisent plus, une méthode
≀
≀
≀ très importante pour étudier un signe ou établir une inégalité est la suivante :
≀
≀
1 Dans le cas d’une inégalité du type A(x) > B(x) à établir, se ramener par soustraction à
≀
≀
≀
f (x) = A(x) − B(x) > 0, c’est à dire à l’étude d’un signe.
≀
≀
≀
2 Etablir les variations de la fonction f (par dérivation par exemple).
≀
≀
≀
3 Placer dans le tableau de variations toutes les valeurs pour lesquelles f (x) = 0, soit :
≀
≀
≀
⋆ parce qu’elle sont connues d’après les calculs précédents.
≀
≀
⋆ parce qu’elles sont très faciles à trouver.
≀
≀
≀
⋆ en utilisant le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).
≀
3.6 Fonction inverse
Définition 11. La fonction inverse est x 7→
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1
.
x
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On appelle fonction rationnelle toute fonction qui s’écrit comme le quotient de deux fonctions polynômes.
Le quotient de deux fonctions affines est une fonction homographique. Elle est représentée par une hyperbole
(sauf dans les cas particuliers).
Proposition 10.
L’inverse est définie et dérivable sur R∗ .
1
Elle est impaire, représentée par une hyperbole, et de dérivée x 7→ − 2 .
x
x −∞
0
+∞
0
+∞
1
x
1
x
−
b
O
0
−∞
+
Exemple 11. ✎ Donner l’ensemble de définition de f : x 7→
1
et calculer f ′ (x).
−x2 + 3x − 2
4. Racine carrée
√
Définition 12. La fonction x 7→ x2 établit une bijection
de R+ dans R+ . On note x →
7
x la bijection
√
réciproque. On appelle racine carrée de x le nombre x, unique nombre réel positif dont le carré vaut x.
Proposition 11.
Soit n ∈ N∗ . Pour tout (a, b) ∈ R2+ .
√ √
2
1
2
a =a
a2 = a
3
√
√ √
ab = a b
4
r
√
a
a
= √ (b 6= 0)
b
b
BIl n’y a AUCUNE propriété pour les additions ou les soustractions.
√
2
Blorsque x est strictement négatif, ( x) n’a aucun sens mais
√
√
x2 en a un et on a x2 = −x.
Proposition 12.
La fonction racine carrée est définie sur
R+ . Elle est dérivable sur R∗+ et a pour
1
dérivée x 7→ √ . Sa courbe admet une
2 x
tangente verticale à l’origine.
x
0
+∞
+∞
√
x
√
x
0
0
+
b
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur Du .
√ ′
u′ (x)
On a alors ∀x ∈ Du :
( u) (x) = p
.
2 u(x)
O
Exemple 12. ✎
1
2
q
q
q
p
p
√
√
√ 2 q
√ 2
Simplifier A = 2 + 2 + 2 × 2 − 2 + 2, B =
2− 5 −
3− 5
√
√
3+2
3−2
et C = √
+√
.
3−2
3+2
√
√
Résoudre x − 2 = x (resp. 6) sur R. 3 Etudier la fonction f : x 7→ x2 + x + 1.
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5. Valeur absolue
Définition 13. Pour tout réel, x, on pose |x| =
l’origine sur la droite réelle.
Remarque 4. Comme |x| =
√
x, si x > 0
. C’est la distance du point d’abscisse x à
−x, si x < 0
x2 , les propriétés de la valeur absolue sont similaires à celles de la racine carrée.
Méthode 5. Résoudre des (in)équations avec valeurs absolues
≀ Sauf cas particuliers, la résolution se fait par disjonction des cas. On dresse le tableau de signe de la quantité
≀
≀
≀ dans la valeur absolue (plus il y a de valeurs absolues, plus le tableau est complexe), puis, sur chacun des
≀
≀ intervalles ou les signes sont constants, la résolution se fait de manière classique.
≀
≀ Il y a tout de même quelques cas particuliers simples à retenir.
≀
≀
≀
1 Si a < 0, |f (x)| = a et f (x) 6 a n’ont pas de solution et f (x) > a est vraie sur D .
≀
f
≀
≀
2
|f (x)| = 0 et f (x) 6 0 sont équivalentes à f (x) = 0 et f (x) > 0 est équivalente à f (x) 6= 0.
≀
≀

≀
≀
 |f (x)| = a ⇔ f (x) = a ou f (x) = −a
≀
≀
3 Si a > 0,
|f (x)| 6 a ⇔ −a 6 f (x) 6 a
≀

≀
|f
(x)| > a ⇔ f (x) > a ou f (x) < −a
≀
≀
≀
4 |f (x)| = |g(x)| ⇔ f (x) = g(x) ou f (x) = g(x),
≀
≀
≀
≀ où f et g sont deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg .
≀
1 |2x − 1| = |5x + 1|
Exemple
13. ✎ Résoudre sur R :
5 x2 − 2 6 3
6 |2x − 1| 6 |5x + 1|.
2
|2x − 1| = 3
|2x − 1| < 3
3
4
|2x − 1| > −2
6. Fonctions exponentielles
Théorème 13.
Soit q > 0. Il existe une unique fonction f définie sur R appelée exponentielle de base q telle que
1
2
f est dérivable sur R.
pour tous x et y réels, f (x + y) = f (x)f (y).
pour tout n ∈ N, f (n) = q n .
Par extension, on note f (x) = q x pour tout réel x.
3
Proposition 14.
Pour tous x, y réels et tout n ∈ Z, on a :
1
2
q0 = 1
q x+y = q x × q y
1
qx
qx
= y
q
3
q −x =
4
x−y
q
5
6
7
q nx = (q x )n
√
x
q 2 = qx
qx > 0
Théorème 15.
Soit q > 0. f définie sur R par f (x) = q x vérifie
1
f ′ (x) = f ′ (0) × q x pour x ∈ R.
2
f str. croissante si q > 1, str. décroissante si
q < 1, et constante si q = 1.
3
q > 1 ⇒ lim q x = +∞ et lim q x = 0.
4
q < 1 ⇒ lim q x = 0 et lim q x = +∞.
x→+∞
x→+∞
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5
Il existe un unique nombre réel strictement positif, noté e, tel que f définie par f (x) = ex
vérifie f ′ (0) = 1. On a : e ≈ 2,718. La fonction
ainsi définie s’appelle la fonction exponentielle
(de base e) et vérifie donc f ′ = f sur R
6
Soit u dérivable sur un intervalle I alors eu est
dérivable sur I : (eu )′ (x) = u′ (x)eu(x) .
x→−∞
x→−∞
ECE 1 2014-2015, Chapitre 3 : Fonctions usuelles
8/11
Exemple
14. ✎ 1 Soient x et y deux réels, écrire
p
−7y
6x
q ×q
sous la forme d’une seule exponentielle.
(q x+y )3
2 Résoudre les équations suivantes dans R.
•ex+3 = 0
•ex+3 = 1
•ex + 3 = 1
x+2
2x
x
x+3 2
−ee
=0
• e + e − 2 = 0.
• e
3
Calculer la dérivée de f définie sur R par
1
2
2
f (x) = e−x et de g définie sur R∗ par g(x) = e−3x
x
y = q x (q > 1)
y = q x (q < 1)
~

b
O
~ı
Démonstration. ✎
Proposition 16.
T0 : y = x + 1.
Cexp est au dessus de T0 sur R.
x −∞
+∞
+∞
ex
0
Remarque 5. On note également exp(x) à la place
de ex . L’avantage de cette dernière notation est que les
propriétés algébriques des exponentielles sont celles des
puissances.
7. Logarithmes et retour sur les exponentielles et les puissances
Définition 14. Le logarithme népérien la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base e. Ainsi
pour tout réel y de ]0; +∞[ ln y est l’unique réel x tel que ex = y.
Proposition 17.
1
Pour tout réel y strictement positif , on a
eln(y) = y
2
Pour tout réel x, on a ln(ex ) = x
3
ln(1) = 0 et ln(e) = 1
4
Propriétés algébriques : pour tous réels x, y > 0
et tout entier n ∈ N, on a :
(a) ln(x y) = ln(x) + ln(y)
1
(b) ln
= − ln(y)
y
x
(c) ln
= ln(x) − ln(y)
y
(d) ln(xn ) = n ln(x)
T0,exp
5
Proposition 18.
4
1
La fonction logarithme est dérivable et strictement
croissante sur ]0; +∞[.
2
ln′ (x) =
3
Si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors ln u : x 7→ ln(u(x)) est dérivable sur
u′ (x)
I et pour tout x de I, (ln u)′ (x) =
u(x)
1
x
d:y=x
Cexp
3
T1 : y = x − 1
e
> 0 pour tout x > 0.
2
Cln : y = ln(x)
1
1
2
e
3
4
5
6
Exemple 15. ✎ 1 Simplifier au maximum A = ln 16 + ln(3) − ln 5 et B = ln x2 − 1 − 2 ln (x − 1).
2 Résoudre dans R : • e3x = 0.2
• e2x+1 −3 > 0 • ln (x − 8) = 1 • ln(2−x2 ) < 0 • ln(2−x)+ln(2+x) < 0.
3 Résoudre dans N l’inéquation 0,99n < 0,5.
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9/11
4
5
Quel taux mensuel t donne une augmentation annuelle
de
60% ?
x−2
et h : x 7→ ln(1 − x2 ).
Etudier les fonctions f : x :7→ x ln(x), g : x 7→ ln
x−1
Méthode 6. Domaine de résolution d’une (in)équation
≀ Même si ce n’est pas explicitement demander dans l’énoncer, il faut TOUJOURS commencer par donner le
≀
≀ domaine de résolution de l’(in)équation, c’est à dire l’ensemble des nombres réels pour lesquels toutes les
≀
≀
≀ expressions sont valides. La résolution effectuée, il faut conserver uniquement les solutions qui appartiennent
≀
≀ à cet ensemble. Cette méthode est particuilièrement improtante en présence de quotients, de racines carrées
≀
≀ et de logarithmes.
≀
Méthode 7. Équations, inéquations d’inconnues en exposant.
≀ Lorsque l’inconnue est en exposant : en appliquant le logarithme aux deux membres de l’égalité ou de
≀
≀ l’inégalité, sous réserve de positivité, on fait « descendre » l’inconnue.
≀
7.1 Logarithmes de base q et retour sur l’exponentielle de base q
Définition 15. Si q > 0 et q 6= 1, le logarithme de base q est logq (x) =
ln(x)
pour x > 0.
ln(q)
On note en particulier log = log10 , que l’on appelle logarithme décimal.
Proposition 19.
1
2
∀q > 0, ∀x ∈ R, q x = ex ln(q) .
La fonction logarihme de base q est la fonction réciproque de l’exponentielle de base q.
Exemple 16. ✎ 1 Calculer log(10n ), où n ∈ Z.
2 Etudier les variations du logarithme de base q en fonction de la valeur de q.
7.2 Fonctions puissances réelles
Définition 16. Soit α ∈ R. La fonction puissance α est la f fonction définie sur R∗+ par f : x 7→ eα ln(x) . On
note f (x) = xα car cette notation est compatible avec la notation puissance sur des monômes.
Vérifier que la formule de la dérivée est la même que pour les entiers.
Exemple 17. ✎ 1 √
2 Résoudre x3 − 2x x + 5 = 0 (resp. 6 0).
√
1
Remarque 6. On peut vérifier que pour x > 0, on a x = x 2 . L’avantage de cette dernière notation est qu’elle
permet de constater que la formule de la dérivée de la fonction racine est la même que celle des monômes.
Méthode 8.
≀ Lorsque la variable est en exposant, il est souvent indispensable de revenir à la notation exponentielle afin
≀
≀ d’étudier correctement la quantité.
≀
1
Exemple 18. ✎ Etudier les fonctions f : x 7→ xx et g : x 7→ x x .
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10/11
8. Bilan : plan d’étude sommaire d’une fonction
Pour étudier une fonction dérivable :
1
Ensemble de définition Df : on le recherche s’il n’est pas donné dans l’énoncé.
⋆ on trouve les valeurs interdites
venant des quotients en résolvant : « dénominateur = 0 »
√
⋆ les compositions ln(u), u sont définies sur l’ensemble des solutions de u(x) > 0, u(x) > 0.
2
Parité : on recherche la parité : on vérifie d’abord que l’ensemble de définition est symétrique par rapport
à 0 et on étudie la parité. (qui permet de restreindre l’ensemble d’étude aux réels positifs de Df ).
3
4
Variations : on étudie l’ensemble de dérivabilité puis la dérivée pour obtenir les variations et les extrema
(qui correspondent à des tangentes horizontales). Si le signe de la dérivée est compliqué à obtenir, on
peut envisager d’étudier les variations de la dérivée afin d’obtenir son signe.
Courbe : on trace éventuellement certaines tangentes et on représente la courbe de manière cohérente
avec l’étude.
Par la suite, nous ajouterons d’autres éléments qui rendent l’étude plus précise.
Bilan du § 3
Objectifs prioritaires
1
savoir prouver qu’une fonction est paire ou impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
savoir dériver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
savoir étudier le signe d’une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
savoir trouver une équation de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
démontrer une inégalité, étudier un signe en dérivant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
tout savoir sur les polynômes et la fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
tout savoir sur les logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
tout savoir sur les exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
connaître le plan d’étude sommaire d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Objectifs secondaires
1
savoir étudier le signe d’une dérivée en dérivant à nouveau si besoin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
connaître les fonction irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approfondissement
1
maîtriser les fonctions rares (avec des valeur absolues, des puissance réelles ou des variables en puissance
et dans l’expression) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
savoir résoudre des (in)équations avec paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
comprendre la notion générale de réciproque et savoir inverser une fonction à la main . . . . . . . .
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ECE 1 2014-2015, Bilan du § 3
11/11
TD du chapitre 3
Exercice 1. Bases sur les puissances
3 9 32 · 2n
Écrire sous la forme 2 · 3 (p, q ∈ Z) : 4 ; 6 ; 16 ; ; ;
;
2 8 4 · 3n
p
3
q
5
Exercice 2. Racines carrées et exponant fractionnaire
√
√
2
1 Écrire à l’aide d’une puissance de 2 :
2; 2 2; √
2
2
3 n 2
2
3
;
.
2
3
√
1
3
1
x : x 2 ; x 2 ; x− 2
Écrire à l’aide de
Exercice 3. Logarithme et exponentielle
√
1 Exprimer uniquement à l’aide de ln 2 : ln(8) ; ln( 2) ; ln 6 − ln 3 ; ln(2e2 ).
2
x2 +2x
ex
1
ln(2x) 2 ln x
x2
x 2 e
2 Simplifier lorsque c’est possible :
.
;
e
−
(e
)
;
;
e
;
ln(2x)
−
ln
x
;
ln
;
2
2x
(x+1)
e
ln x
x2
e
3 Mettre sous forme exponentielle : 2x ; x3 ; xy .
Exercice 4. Valeurs
√
√ et exponentielles
√
√
√
√ de logarithmes
√
2 2 ln( 3 +
Simplifier : 1 ln( 3 + 2) + ln( 3 − 2)
2) − ln(5 + 2 6)
2
√
√
ln(e5 )
ex −2x × (ex )2
2x · e−x
4 ln(e2 e) + ln 1
5
6
7
e
e
ln(e3 )
(e2x )3
3
√
ln(e4 ) − ln(e2 ) + ln( e)
Exercice 5. Etude de la fonction valeur absolue (exercice de cours)
Soit f la fonction valeur absolue définie par f (x) = |x|
1
Donner Df .
2
Tracer Cf .
3
Donner, si possible, la valeur de f ′ (x) en fonction de x.
Exercice 6. Comparaisons r
successivesr
1
1
1 Montrer que : ∀x > 0,
6
.
x+3
x+1
3
2
Montrer que : ∀x ∈ R,
2
Encadrer les expressions suivantes : (a) e(1−x) sur [2; 4]
2
e2x+1 6 e(x+1) .
(b) x2 sur [−1; 1]
(c)
1
sur ]0; 1[
ln(1 − x2 )
Exercice 7. Équations
Résoudre les équation suivantes.
1
2
3
4
5
6
7
7x 3
x−3 x−1
−
=
+
2
3
6
2
8
(x + 3)(2x − 5)(6x + 2) = 0
9
10
(2x − 1)(x2 + x + 1) = 0
11
(x + 2)2 − (3x + 4)2 = 0
13
3
2
=
x−4
x+1
2x − 1
2x + 1
=
x−3
x+3
14
15
|ex | = 1
16
Exercice 8. Équation
Exercice 9. Équation
Résoudre dans R l’équation :
(1 + ln x)2 = 4
√
√
(1 + x)3 = (1 − x)3
√
1 − ln x = 2
| ln x| = 1
12
(x2 −4x−1)2 = (x2 +4x−1)2
Résoudre dans R l’équation :
1
x + ax = 0 (a ∈ R)
1 − x−1
√
3x + 7 = x + 3
√
x+5=x+3
ln(1 + ex ) = 2
1
x+3
4
=
√
x
√
x
ln
1
x
=
Exercice 10. Inégalité
Démontrer :
1
∀x ∈ R∗+ , ln(1 + x) > x −
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x
x2
.
2
1
(ln(x)+ln(3))
2
2
2
3
2
2x = 3x
2
3
17
18
19
20
21
22
23
24
|x + 1| = 2
|x + 1| = | − x2 |
|x + 1| = |2x − 1|
3x4 + 5x2 − 2 = 0.
(ln x)2 + 3 ln x + 2 = 0.
√
x = x + 2.
ex + e−x = 2 (X = ex )
8 − 6x
x2 − 3x + 4 + 2
=0
x −2
ln |x−1| = 2 ln |x+1|.
loga (x) = logx (a) avec a ∈ R∗+ \ {1} fixé.
∀x ∈]0 ; 1[, xx (1 − x)1−x >
1
2
ECE 1 2014-2015, TD du chapitre 3
1/3
Exercice 11. Inéquation
Résoudre dans R l’inéquation :
1
2 − x2 < 0
2
ln(2 − x2 ) < 0
3
0,9x < 0,1
Exercice 12. Inéquations
Résoudre les inéquations suivantes.
1
2
3
4
5
5x + 2
>0
x−1
6
7
3x2 + 5x − 2 > 0
8
3y 4 + 5y 2 − 2 < 0
9
5x − 8x + 4 6 0
2
10
x3 + 5x 6 6x
11
x
1
+
>1
x + 1 x(x + 1)
|x − 3| < 2
|x + 1| 6 1
|x − 2| 6 0
12
x2 > 0
13
e3x−1 6 1
14
|2x + 1| 6 4
ln(2x) 6 1
ex
1
<1
+1
15
2x 6 3
16
32x+1 > 1
Exercice 13. (In)équations avec paramètre
1 Résoudre en fonction de la valeur du paramètre m ∈ R. (a) m(mx+1)−7 = 3 3x − 4
(b) (2mx−3)2 = (x+m)2
3
2 Donner le nombre de solution en fonction de la valeur du paramètre m ∈ R. (a) (m−2)x2 +2(m+1)x+m−14 = 0
(b) (m + 3)x2 − (2m − 1)x + m + 4 = 0 (c) x2 − 2(m + 3)x + m2 + 2m − 3 = 0 3 Pour quelles valeurs de m
l’inéquation (m + 3)x2 − 2(m + 1)x − (m + 1) > 0 admet-elle R pour ensemble de solutions ?
4 Pour quelles valeurs de m l’équation 3x2 − 5x + m + 7 = 0 admet-elle deux racines distinctes et strictement
positives ?
Exercice 14. Etude de fonction
x
. On désigne par Cf sa courbe représentative.
Soit f définie sur R par f (x) = 2
x +x+1
1 Justifier que f est bien définie et sur R.
2 Étudier les variations de f sur R.
3 Représenter l’allure de C
en
tenant
compte
des résultats des questions précédentes. La fonction est-elle
f
paire ? Impaire ?
Exercice 15. Étude de fonctions simples
Étudier et construire la courbe de :
x4 + x3 + x2 − 9x
x
10 x 7→ ln
x2 + 1
5
x 7→
11
x3
−1
x2
1
6
1
ex
x3 − 2x2
2
2 x 7→ x2 e−x
3 x 7→
4 x 7→
−
ex + 1
2
x+1
x
1
7 x 7→ ln(x)ln(x)
8 x 7→ xln(x)
9 x 7→
x 7→
ln(x)
x2 − 1
x 7→
x 7→ (x2 − 2x) ln(x)
Exercice 16. Dériver
Étudier le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée de :
4
x 7→
x−2
.
3x2 + 6x + 8
5
1
x 7→ ln(e2x + 1)
x 7→
x+1
x−2
x1
2
x 7→
x−2
5
3
x 7→ x ln x
Exercice 17. Dériver un produit de trois facteurs
Soient u, v et w trois fonctions dérivables sur un intervalle I.
Démontrer que uvw est dérivable sur I et que : (uvw)′ = u′ vw√+ uv ′ w + uvw′ .
1
Application : calculer la dérivée de f : ]0 ; 1[−→ R, x 7→ x2 e x 1 − x.
Exercice 18. Inégalités et études de fonction
1 (a) Déduire de l’inégalité ∀x ∈ R,
ex > 1 + x vue en cours, que : ∀x ∈ R+ , ex > 1 + x + 12 x2 .
(b) En utilisant la même méthode, déduire que : ∀x ∈ R+ , ex > 1+x+ 21 x2 + 61 x3 . (c) Sauriez-vous généraliser ?
2 Soient a et b deux réels strictement positifs. Étudier les variations de la fonction f définie sur R∗ par
+
pa
a x
a x
f (x) = + . Déduire que : ∀x > 0,
+ >2 b
x
b
x
b
Exercice 19. Inégalités et études de fonction
ex
1 Déterminer D .
Soit f définie par f (x) =
f
(1 + ex )2
2
Démontrer que f est paire.
ex (1 − ex )
.
(1 + ex )3
Démontrer que : ∀x ∈ [0, +∞[, − 13 6 f ′ (x) 6 0.
3
Démontrer que f est dérivable sur R et montrer que ∀x ∈ R, f ′ (x) =
4
Donner le tableau des variations de f .
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2/3
6
g)
Montrer : ∀x ∈ [0, +∞[, − 31 x +
1
4
≤ f (x). (on pourra poser g(x) = f (x) − (− 31 x + 41 ) et étudier la fonction
Exercice 20. Bijection
Soit th la fonction définie sur R par th(x) =
ex −e−x
ex +e−x
e2x −1
e2x +1
1
Montrer que th(x) =
2
Résoudre l’équation th(x) = y en fonction des valeurs de y.
3
En déduire que th est une bijection de R vers un ensemble à préciser.
Exercice 21. Application à l’économie
On estime que le nombre d’abonnés à une revue littéraire peut être modélisé par la fonction a définie par
a(p) = −0.4p2 − 5p + 13000, où p est le prix de l’abonnement annuel en euros (p ∈ [0; 150]).
La recette est le montant total des abonnements annuels perçus par l’éditeur. Calculer la recette maximale en
précisant le nombre d’abonnés correspondant à cette situation.
Exercice 22. Application à l’économie
Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vend x centaines d’objets (pour
x compris entre 0 et 6) est donné par B(x) = (200x − 300)ex−1 + 10.
Déterminer le bénéfice maximal ainsi que le nombre d’objets qui correspond à cette situation.
Exercice 23. Application à l’économie
On considère un objet dont le prix unitaire est x en centaines d’euros. D’après une étude de marché, l’offre O
et la demande D pour cet objet, en centaines d’unités sont définies pour tout x > 0 par :
14
. Calculer le prix d’équilibre.
O(x) = e0.7x − 1 et D(x) = 0.7x
e
+1
Exercice 24. Adapté d’Ecricome 2003
On définit les fonctions ch et sh par : ch(x) =
Soit alors f la fonction définie par f (x) =
1
ex − e−x
ex + e−x
et sh(x) =
2
2
x
sh(x)
Étude des fonctions sh et ch
(a) Quels sont les ensembles de définition de ch et sh ?
(b) Étudier la parité de ch et sh.
(c) Étudier les variations de sh sur R puis déduire son signe sur R.
(d) Étudier les variations de ch.
(e) Montrer que : ∀x ∈ R, ch(x) > sh(x).
(f) Tracer sur un même graphique les allures de ch et sh.
2
Étude de la fonction f
(a) Donner l’ensemble de définition de f puis étudier sa parité.
(b) On pose : ∀x ∈ R+ , g(x) = sh(x) − x ch(x). Étudier les variations de g puis déduire son signe.
(c) En déduire les variations de f sur R.
(d) En tenant compte de toutes les informations à votre disposition, tracer l’allure de la courbe de f sur
R.
3
Quelques formules
(a) Montrer que ∀x ∈ R, ch2 (x) − sh2 (x) = 1.
(b) Montrer que ∀(a, b) ∈ R2 , ch(a) ch(b) + sh(a) sh(b) = ch(a + b).
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