Transcript Movimento de um projétil
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
Movimento de um projétil Componentes da velocidade inicial Movimento horizontal Movimento vertical Alcance Altura máxima
1
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
2
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL A bola faz uma trajetória curva Para analisar este movimento consideraremos que
•
a aceleração baixo
g
é constante durante o intervalo do movimento e direcionada para
•
o efeito da resistência do ar é desprezável Com estas suposições a trajetória do projétil é sempre uma parábola
3
Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong A fotografia regista a estroboscópica trajetória de objetos em movimento A Figura mostra que a da bola é uma parábola trajetória
v
0
e
y
0
e
x v
0
Analisamos o movimento dimensões separadamente em cada uma das Componentes da velocidade inicial
v
0
v
0
x
e x
v
0
y e
y
cos 0
v
0
x v
0 sin 0
v
0
y v
0
As componentes iniciais
x
são
v
0
x
v
0 cos 0
e
y
v
0
y
da velocidade
v
0 sin 0
ANÁLISE DO MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL MOVIMENTO HORIZONTAL Na horizontal não há aceleração, portanto
a x
0
MRU
x
x
0
v
0
x t
mas
v
0
x
v
0 cos 0
x
x
0
v
0 cos 0
t
6
MOVIMENTO VERTICAL Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.
a y
g
MRUV A componente a
y
da velocidade da aceleração, logo: partícula varia com o tempo devido
v y
v
0
y
gt v y
v
0 sin 0
gt
como
v
0
y
v
0 sin 0
A coordenada
y
da partícula será
y
y
0
v
0
y t
1 2
gt
2
ou
y
y
0
v
0 sin 0
t
1 2
gt
2 7
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉTIL Movimento retilíneo uniforme na horizontal (MRU) Componente horizontal da velocidade Componente horizontal da posição
v
x
v
0
x
v
0
cos
0
constante
x
x
0
v
0
x
t
x
0
x
v
0
cos
0
t
Movimento retilíneo uniformemente variado na vertical (MRUV) Componente vertical da velocidade
v y
v
0
y
gt
v
0 sin 0
gt
Componente vertical da posição
y
y
0
v
0
y t
1 2
gt
2
y
0
v
0 sin 0
t
1 2
gt
2
O diagrama mostra movimento de um projétil perto da superfície da Terra
9
Exemplo1: Movimento de um projétil
Exemplo 2:
11
Duas esferas saem simultaneamente da mesma altura A bola move-se horizontalmente enquanto está caindo, mas isso não interfere no seu movimento vertical
porque os movimentos horizontal e vertical são independentes entre si.
Fotografia estroboscópica das esferas que saem simultaneamente da mesma altura As duas esferas saem sob a ação da gravidade A esfera rosa é solta
v
0y = 0 (queda livre) A esfera amarela tem velocidade inicial horizontal
v
0x A cada instante as esferas mesma altura têm a As duas esferas chegam ao mesmo tempo ao solo
Exemplo 3: Quando um avião em deslocamento horizontal com velocidade constante deixa cair um pacote com medicamentos para refugiados em terra, a trajetória do pacote vista pelo piloto é igual à trajetória vista pelos refugiados?
Não. O piloto verá o pacote descrever uma trajetória retilínea vertical: Os refugiados verão o pacote descrever um movimento horizontal uniforme e um vertical uniformemente acelerado, a visão será de uma trajetória parabólica:
Visão do piloto e visão dos refugiados
Alcance e altura máxima dum projétil 0
v
0
v y
0
ALTURA MÁXIMA O tempo para atingir a altura (quando
v y
0
) :
v y
v
0
y
gt
máxima
y
=
h
v y
0
v
0
v
0
y
sin
gt h
0
v
0 sin
gt h
0
gt h
v
0 sin 0
t h
v
0 sin 0
g
gt h y
y
0
v
0 sin 0
t
1 2
gt
2
h
v
0
Substituindo
t h
na outra expressão
sin 0
t h
1 2
gt h
2
( y = h
e
y
0 =0)
h
v
0 sin 0
v
0 sin 0
g
1 2
g
v
0 sin 0
g
2
v
0 sin 0 2 2
g
h
v
0 2 sin 2 0 2
g
ALCANCE
17
0
v
0
v
0
y
0
ALCANCE
R
é o alcance percorrida pela distância horizontal partícula até chegar à altura inicial O movimento é simétrico
a leva um tempo tempo
t h t h
para subir e o para cair ao mesmo nível partícula mesmo Portanto o tempo para percorrer R é
t
2
t h x
x
0
x
2
v
0 sin 0
g
v
0
x t
x
0
x
v
0 cos 0
t R
v
0
x
( 2
t h
)
v
0 cos 0 ( 2
t h
)
R
v
0 cos 0 2
v
0 sin 0
g
R
v
0 2 sin 2 0
g
Um projétil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de para vários ângulos
0 50 m/s
Alcance máximo
R
máx
R
v
0 2
g
sin 2 0 sin 2 0 é máximo quando for 1
O que acontece quando
2 0
/
2
R
max
v
2 0
g
0 45
o
Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R
Exemplo 4: ALCANCE PARA OS ÂNGULOS DE 30
, 45
, 60
20
Examplo 5 . Um cão está correndo na rua, e de repente dá um salto com uma velocidade inicial de 11 m/s fazendo um ângulo de 30 0 com a horizontal. Em que ponto o cão entra em contato com o solo depois do salto?
Com a ajuda do esquema ao lado, determinamos as componentes da velocidade inicial:
v
oy
= 11 sin 30
0
v
o
= 11 m/s
v ox
= 9.53 m/s
v oy
= 5.50 m/s
É preciso determinar o tempo que o cão leva para dar o salto
v
ox
=30 0
=
11 cos 30
0 y
y
0
v
0
y t
1 2
at
2 0 ( 5 .
5 )
t
1 2 ( 9 .
8
t
2 )
4.9
t
2
= 5.50
t
4.9
t
= 5.50
t
5.50
m/s 4.9
m/s
2
t = 1.12 s
21
Examplo 5 (Cont.)
Alcance do cão:
x = v
x
t; t =
1.12
s
A velocidade horizontal é constante
v x
=v
ox
= 9.53 m/s
v
oy
= 10 sin 31
0
v
= 10 m/s
=31 0
v
ox
= 10 cos 31
0 Assim:
x = (9.53 m/s)(1.12 s) = 10.7 m O alcance é x = 10.7 m
22
Exemplo 6 . Um canhão atira esferas com velocidade v 0 alcance máximo da esfera.
b)
=
100 m/s.
a) Determine o Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.
a) Determine o alcance máximo da esfera O alcance é máximo quando
0 45
x
x
0
v
0
x
t
x
0
x
v
0
(cos
0
)
t
v
0
(cos 45
)
t
x
100 m/s ( 0 .
7071 )
t
x
70 .
71
t
Cálculo de t
y
y
0
v
0 sin 0
t
v
0 sin 0
t
1 2
gt
2 1 2
gt
2
v
0 sin 0 0 0
v
0 1 2
gt t
0 sin 0
t
1 2
gt
2
t
2
v
0 sin 0
g
2 100 m/s 2 sin 45 14 .
43 s 9 .
8 m/s 2
Substituindo em
x
:
x
70 .
71
t
70 .
71
14 .
43
1020 m
23
b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.
x
x
0
v
0
x
t
x
0
x
v
0
(cos
0
)
t x
v
0
cos
0
t
100 cos
0
t
800
100 cos
0
t
8 cos 0
t
t
y
y
0
2
v
0
v
0
sin
g
sin 0 0
t
1
gt
2
2
2
100
sin 9 .
8 m/s
2 0 0
v
0 sin 0
t
0
t
1 2
gt
2 20 .
41 sin 0 8
Substituo t
( cos 0
na outra equação :
)( 20 .
41 sin 0 ) sin 2 sin 0 cos 0 0 cos 0 8 20 .
41 2 8 sin 20 .
41
2
2 0 2 01 52 o 01 26 o 0 .
7839 0 2 90 o
-
26 o 64 o
e o ângulo complementar
Exemplo 7 . Uma pedra cai dum penhasco com velocidade v = 10 m/s na horizontal. a) Descreva o movimento, ou seja, determine v
r v
x
(t), v
y
(t), x(t) e y(t). b) Obtenha os ângulos a) Descreva o movimento, ou seja, determine v
x
(t), v
y
v
r
As componentes da velocidade são:
v x v y
10 m/s
v o y
gt
0
gt
9 .
8
t v
Velocidade:
v
v x e x y
e y
( 10
e x
9 .
8
t e y
) m/s
As componentes do vetor posição são:
x y
x
0
x y
0
v
0
x t
v
0
y t
1 2 0
gt
2 10
t
10 0 0
t
4 .
9
t
2
Posição:
r
x
e x
y e y
( 1 2 10
t
9 .
8
t
2
e x
4 .
9
t
2
e y
) m
r
v
r
x
e x
y e y
( 10
t
e x
4 .
9
t
2
e y
) m Obtemos a partir do vetor posição que
tg
y x
4 .
9 0 , 49 10 ( 0 .
49 )( 1 s)
t
-0.49
v
v
x
e
x
26 o
v
y
e
y
( 10
e
x
9 .
8
t e
y
) m/s
Obtemos a partir da velocidade que
tg
v y v x
9 .
8 10 0 , 98
t
( 0 .
98 )( 1 s) -0.98
' 44 o 26