Transcript ASTUS Info N° 57

M2 ISTR (UE Réseaux et Commande)
REPRÉSENTATION ET ANALYSE
DES SYSTÈMES À RETARDS
Carolina Albea-Sanchez
[email protected]
http://homepages.laas.fr/calbeasa/
Motivation
Jusqu’à aujourd’hui:
x (t ) = f (t , x(t ))
x(t ) ∈ ℜ n
x(t0 ) = x0
Dans ce cours:
x (t ) = f (t , x(ξ ))
x(t0 + θ ) = φ (θ )
t −h ≤ξ ≤t
−h ≤θ ≤ 0
x
x
h
retard
t
L‘évolution dépend non seulement de la valeur de leurs variables à l'instant
présent t, mais aussi d'une partie de leur «histoire», c'est-à-dire des valeurs à
un instant t’ < t.
t
Motivation
Problème appliqué
(ingénierie, télécom., temps réel, biologie, populations, nucléaire, etc.)
Estimation distribuée
Commande des caméras
Signaux à analyser
Foule en
mouvement
TCP
(Transmission Control Protocol)
Motivation
Contrôle d’un réseau de communication avec retards
Motivation
Contrôle d’un réseau de communication avec retards
Réseau
Réseau
• Communication en temps discret
• Non transmission instantanée
• Communications asynchrones
Objectifs et motivations:
Conception de loi de commande qui assure la stabilité par rapport les retards
variants dans le temps.
♦ Nature des retards?
♦ Comment représenter ces retards?
Motivation
Echantillonnage asynchrone et transmission des retards variantes dans
le temps
Réseau
émetteur
Asy-échantillonnage
récepteur
x
x
x
Asy-transmission
: retard de transmission
: intervalle de temps entre deux
mises à jour
Sommaire
Un exemple simple
Partie I: Représentation des systèmes à retards
• Nature de retards
• Modélisation des systèmes à retards
• Modèles des retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
• Solution de l'équation d'état
• Contrôlabilité
• Observabilité
• Stabilité
Sommaire
Un exemple simple
Partie I: Représentation des systèmes à retards
• Nature de retards
• Modélisation des systèmes à retards
• Modèles des retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
• Solution de l'équation d'état
• Contrôlabilité
• Observabilité
• Stabilité
Un exemple simple
Tâche
x=0
+
Erreur
Tension
ε=0–x
u
Moteur
angle mesuré x(t)
Vitesse x (t) = ku(t)
Un exemple simple
angle voulu
xc = 0
x=0
+
-
moteur embarqué
(satellite)
u
ε
angle mesuré x(t)
ligne de com.
à retard h/2
commande
transmise ε(t-h/2)
Feedback distance :
u(t) = kε (t − h / 2) = −kx(t − h)
angle transmis x(t-h/2)
ligne de com.
à retard h/2
Un exemple simple
?
h?
Un exemple simple
à comparer avec (h=0) :
Un exemple simple
Un exemple simple
Remarque
le retard peut aussi avoir un effet stabilisant
≈
Un exemple simple
à notion d’ « état » ?
variable φ(t) générant une solution
unique à partir de l’instant t
Un exemple simple
(notation de Shimanov, 1960)
t
à notion d’ « état » ?
variable X(t) générant une solution
unique à partir de l’instant t
fonction xt = état à l’instant t
vecteur x(t) = xt(0) solution à t
syst. dim. infinie
Un exemple simple
Im(s)
Re(s)
pôles?
critère de
stabilité?
inf. poles
Inf. dim. syst.
Syst. retardé
Hurwitz ok
Un exemple simple
(BO)
gain
X
comportement
fréquentiel ?
phase
(Bode, BO)
déphasage à
phase -∞
∞
h
log ω
t
log ω
x
h
ϕ = -π/2-jhω
dim. infinie
t
Un exemple simple
Résumons...
retard ⇒
forte influence sur la stabilité
état fonctionnel
nombre infini de pôles (Hurwitz OK, Routh non)
déphasage important ( à ∞ )
et, jusqu’ici, c’est assez simple
retard constant
système linéaire « 1er ordre »
pareil pour retards variables h(t) ?
un contre-exemple...
Un exemple simple
Contre-exemple à retard variables
b
2
2
1
π/2
-2
2
a
0
(T=1)
-2
est asymptotiquement stable ssi (zone rouge) :
et, pour h = cste ∈ [0,1] ssi (zone vert)
1
stable h(t)<1 - instable h=cte<1
2
instable h(t)<1 - stable h=cte<1
Sommaire
Un exemple simple
Partie I: Représentation des systèmes à retards
• Nature de retards
• Modélisation des systèmes à retards
• Modèles des retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
• Solution de l'équation d'état
• Contrôlabilité
• Observabilité
• Stabilité
Partie I: Représentation des systèmes à retards
NATURE DES RETARDS
Partie I: Représentation des systèmes à retards
NATURE DES RETARDS
1. temps de réaction des capteurs ou des actionneurs
2. temps de transmissions des informations
3. temps de calculs
Sommaire
Un exemple simple
Partie I: Représentation des systèmes à retards
• Nature de retards
• Modélisation des systèmes à retards
• Modèles des retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
• Solution de l'équation d'état
• Contrôlabilité
• Observabilité
• Stabilité
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
Modèle complète:
#
% x(t) = Ax t (θ )+ But (θ );
$
%
& y(t) = Cx t (θ )
avec:
où
x t0 (θ ) = x(t0 + θ ) = φ (θ );
t ≥ t0 ;
− h ≤θ ≤ 0
θ ∈ [−h, 0 ]
x t (θ ) ∈ C0 ([−h, 0 ] ;ℜn )
A : C0 ([−h, 0 ] ;ℜn ) → ℜn
B : C0 ([−h, 0 ] ;ℜr ) → ℜn
C : C0 ([−h, 0 ] ;ℜn ) → ℜ p
xt (θ ) = x(t + θ ),
∀θ ∈ [−h, 0 ]
ut (θ ) = x(u + θ ),
∀θ ∈ [−h, 0 ]
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
Modèle complète:
#
% x(t) = Ax t (θ )+ But (θ );
$
%
& y(t) = Cx t (θ )
où
t ≥ t0 ;
− h ≤θ ≤ 0
x(t) ∈ ℜn état instantané
u(t) ∈ ℜr entré de commande
y(t) ∈ ℜ p sorti mesuré
CI
φ (t)
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
Complexité:
Un simple système:
x (t) = Ax(t) + Ah xt (t - h)
où h est le retard et x est le état du système. Afin de résoudre
cette équation, on requis connaître x(t) sur t ∈ [−h, 0] .
La condition initiale est une fonction.
Alors, et le système est donc un système de dimension infinie.
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTELMES A RETARD
Modèles commun:
Il y a trois modèles utilisés couramment pour la modélisation des
systèmes à retards:
Équation différentielle avec coefficients dans un anneau
d'opérateurs.
2. Équation différentielle dans un espace linéaire abstraite de
dimension infinie.
3. Équation différentielle fonctionnelle (EDF).
1.
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
Modèle anneau d'opérateurs
 = A(∇)x(t)
x(t)
où dans le cas général
∇ = coli (∇i ) est le vector de operateurs à retard
x(t − hi ) = ∇i x(t)
et A est une matrice polynomiale dans la variable ∇.
Depuis l’inverse de ∇ (l'opérateur de prédiction x(t + hi ) = ∇i−1 x(t) )
est indéfini du point de vue de la causalité, les opérateurs ∇ de la
matrice A appartiennent, en effet, à un anneau. Le «espace d'état»
est alors le module ℜn [∇]
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
Modèle de dimension infinie
Application de la théorie des systèmes dimensions infinies
à au cas des systèmes à retard.
x (t) = Ax(t) + Ah x(t − h)
où h est le retard et x l’état du système.
Ce système est caractérisé pour
! x(t) $
&
x = #
#" xt (s) &%
pour tout
Hilbert
s ∈ [−h, 0 ]
et
xt (s) = x(t + s). L’espace d’état est
un espace de
ℜn ×  2 ([−h, 0 ], ℜn )
espace euclidien
espace de suites
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
Modèle de dimension infinie
x ∈ ℜn ×  2 ([−h, 0 ], ℜn )
espace euclidien
fonction d’énergie limitée
à Espace linaire de dimension infinie.
! x(t) $
&
x = #
#" xt (s) &%
"
" x(t) %
" x(t) %
" x(t) % $ Ax(t) + Ah xt (−h)
d$
' = ℑ$
' ⇒ ℑ$
'=$
dxt (θ )
dt $# xt (⋅) '&
$# xt (⋅) '&
$# xt (⋅) '& $
dθ
#
%
'
'
'
&
L’opérateur ℑ est de dimension infinie et homologue à la dimension
finie de l’opérateur A dans systèmes linéaires décrit par x = Ax de
maniéré que la théorie des systèmes de dimension finie ont été
étendu pour systèmes de dimension infinie (par exemple
l'exponentielle de matrice, contrôlabilité ...).
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
Équation différentielle fonctionnelle (EDF).
² Systèmes de type retard
² Systèmes de tye neutre
² Modèles linéaires à retards discrets
² Modèles non linéaires, non stationnaires
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
² Systèmes de type retard [Shimanov, 1960]
⎧ x (t ) = f (t , xt , ut ),
⎪
⎨ xt0 = φ (θ ), θ ∈ [t0 − τ , t0 ] ,
⎪u = ζ (θ ), θ ∈ [t − τ , t ]
0
0
⎩ t0
τ >0
⎧[−τ ,0] → ℜn
xt := ⎨
⎩θ → xt (θ ) = x(t + θ )
$&
[−τ , 0] → ℜn
ut := %
&' θ → ut (θ ) = u(t + θ )
Exemple:
y(t ) + 2 y (t − 1) + y (t ) = 0
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
² Systèmes de type neutre
⎧ x (t ) = f (t , xt , xt , ut ),
⎪
⎨ xt0 = φ (θ ), θ ∈ [t0 − τ , t0 ] ,
⎪u = ζ (θ ), θ ∈ [t − τ , t ]
0
0
⎩ t0
τ >0
$&
[−τ , 0] → ℜn
xt := %
&' θ → xt (θ ) = x(t + θ )
$&
[−τ , 0] → ℜn
ut := %
&' θ → ut (θ ) = u(t + θ )
Exemple:
y(t ) + 2 y (t − 1) + y (t ) = 0
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
² Modèles linéaires à retards discrets [Kolmanovskii et al. 1986]
q
r
⎧
⎪ x (t ) = ∑ Dl x (t − ωl ) + ∑ ( A j x(t − τ j ) + B j u (t − τ j ))
⎪
i =1
j =0
⎨
r
⎪ y (t ) = ∑ C j x(t − τ j )
⎪⎩
j =0
x ∈ ℜn , u ∈ ℜm , y ∈ ℜ p
vecteur d’état instantané
Ai ∈ ℜ nxn , Bi ∈ ℜ nxm , Di ∈ ℜ nxn , Ci ∈ ℜ pxn
τ i > 0, ωi > 0
• retards constantes.
• retards variables
constantes
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELISATION DES SYSTEMES A RETARD
² Modèles non linéaires, non stationnaires [Gu et al. 2003]
"$ x (t) = A(t, x )x(t) + B(t, x )u(t) + A (t, x )x(t − τ ) + B (t, x )u(t − τ )
t
t
τ
t
τ
t
#
$% y(t) = C(t, xt )x(t)
Deux modélisations:
•
Modèles polytopiques
•
Modèles à paramètres incertains bornés en norma
Sommaire
Un exemple simple
Partie I: Représentation des systèmes à retards
• Nature de retards
• Modélisation des systèmes à retards
• Modèles des retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
• Solution de l'équation d'état
• Contrôlabilité
• Observabilité
• Stabilité
Partie I: Représentation des systèmes à retards
MODELES DE RETARDS
Ø Retards constants
τ > 0 ou xt , xt sont définies sur l’intervalle [−τ ,0]
Ø Retards variables majorés
∃τ 2 > 0 \ 0 ≤ τ (t ) ≤ τ 2
Ø Retards variables bornés
∃τ1,τ 2 > 0 \ 0 < τ1 ≤ τ (t ) ≤ τ 2
Ø Retards variables avec contrainte sur la dérivée
∃d > 0 \ τ ≤ d < 1
Ø Retards variables continues par morceaux
τ(t ) ≤ 1
Sommaire
Un exemple simple
Partie I: Représentation des systèmes à retards
• Nature de retards
• Modélisation des systèmes à retards
• Modèles des retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
• Solution de l'équation d'état
• Contrôlabilité
• Observabilité
• Stabilité
Partie II: Analyse des systèmes à retards
SOLUTION DE L’EQUATION D’ETAT
x (t) = a0 x(t) + a1 x(t − h) + w(t)
x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0 ]
où a0 , a1, h ∈ ℜ et h>0 est le temps de retard.
• Pour calculer x (0), nous avons besoin conaître x(0), x(−h)
• Pour calculer x (ξ ), nous avons besoin conaître x(ξ ), x(ξ − h)
Si la CI est donné la solution est definé !!!!
•
t ∈ [ 0, h ]
x(t) = e a0t x(0) +
∫
t
0
e a0 (t−r ) [ a1 x(r − h) + w(r)]dr
• t ∈ [ h, 2h ]
x(t) = e
a0 (t−h)
x(h) +
• etc
solution de x(t), − h ≤ t ≤ ∞
∫
t
h
e a0 (t−r ) [ a1 x(r − h) + w(r)] dr
METHOD
OF
STEPS
Partie II: Analyse des systèmes à retards
SOLUTION DE L’EQUATION D’ETAT
x (t) = a0 x(t) + a1 x(t − h) + w(t)
x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0 ]
Si w(t) est exponentiel,
w(t) ≤ Kect , K > 0, c ∈ ℜ
et sa transformée de Laplace
W (s) =  [ w(t)]
existe. Alors
t
bt
x(t) ≤ ae ( φ c +
∫ h(r) dr )
0
Avec a > 0, b > 0,
φ c = max φ (θ ) est la norm continue de φ
−h≤θ ≤0
Partie II: Analyse des systèmes à retards
SOLUTION DE L’EQUATION D’ETAT
x (t) = a0 x(t) + a1 x(t − h) + w(t)
x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0 ]
Alors Laplace de x(t) existe,
sX(s) − φ (0) = a0 X(s) + a1 #%e−sh X(s) +
$
X(s) =
où
& + H (s)
−s(r+h)
e
φ
(r)dr
∫ −h
('
o
o −s(r+h)
1 $
'
φ
(0)
+
a
e
φ
(r)dr
+
H
(s)
∫
1
)(
−h
Δ(s) &%
Δ(s) = s − a0 − a1e−hs
Φ(t) = −1 [1 / Δ(s)]
quasipolynôme caractéristique
est la solution fondamentale!!!
Partie II: Analyse des systèmes à retards
SOLUTION DE L’EQUATION D’ETAT
x (t) = a0 x(t) + a1 x(t − h) + w(t)
x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0 ]
Pour le theorem de la convolution,
0
t
x(t) = Φ(t)φ (0) + a1 ∫ Φ(t − r − s)φ (r)dr + ∫ Φ(t − r)w(r)dr
−h
0
Formule de Cauchy (formule de la variation de la constante)
L’evolution pour un w borné depend du tau de croissance
exponentielle de la solution fondamentale Φ, determiné par les
pôles. Solution de l’eq. characteristique:
Δ(s) = 0
∞ solutions.
Partie II: Analyse des systèmes à retards
SOLUTION DE L’EQUATION D’ETAT
x (t) = a0 x(t) + a1 x(t − h) + w(t)
x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0 ]
Pour le theorem de la convolution,
s ≤ a 0 + a 1 e−h Re(s)
Quand s → ∞ ,
lim Re(s) = −∞
s→∞
Im(s)
Re(s)
inf. poles
Inf. dim. syst.
Syst. retardé
Hurwitz ok
Sommaire
Un exemple simple
Partie I: Représentation des systèmes à retards
• Nature de retards
• Modélisation des systèmes à retards
• Modèles des retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
• Solution de l'équation d'état
• Contrôlabilité
• Observabilité
• Stabilité
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
La contrôlabilité des systèmes à retard est plutôt plus difficile que
leurs homologues de dimension finie: plusieurs propriétés non
équivalents de contrôlabilité/observabilité peuvent être définies et
dépendent du type de représentation utilisé pour modéliser les
systèmes à retard.
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Rappel pour les systèmes LTI sans retard
Définition: Un système LTI (sans délai) est dit être contrôlable si, pour tout
choix de deux vecteurs d'état, x0 et x1 , il existe T> 0 et une entrée de
commande u(t) ∈ [ 0,T ] continues par morceaux, de telle sorte que l'état du
système va de x(0) = x0 pour t = 0 à x(T ) = x1 .
Si x0 ≠ 0 et x1 = 0 : contrôlabilité dans l’origine.
Si x0 = 0 et x1 ≠ 0 : atteignabilité du point x1 .
Incontrôlable signifie: «Vous ne pouvez pas y arriver d'ici»
état incontrôlable
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Rappel pour les systèmes LTI sans retard
x (t) = Ax(t) + Bu(t)
x ∈ ℜn×1
u ∈ ℜr×1
A ∈ ℜn×n
B ∈ ℜn×r
Matrice de contrôlabilité:
"
C =$ B
#
AB
%
A 2 B … A n−1B '
&
Le système est contrôlable si la matrice de contrôlabilité est de rang plein (c'est à
dire rank(C) = n ).
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Rappel pour les systèmes LTI sans retard
x (t) = Ax(t) + Bu(t)
x ∈ ℜn×1
u ∈ ℜr×1
A ∈ ℜn×n
B ∈ ℜn×r
Matrice de contrôlabilité:
"
C =$ B
#
AB
%
A 2 B … A n−1B '
&
Le système est contrôlable si la matrice de contrôlabilité est de rang plein (c'est à
dire rank(C) = n ).
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Pour les systèmes à retard: nombreuses caractérisation, en fonction
du model de représentation considérée
EDF
Contrôle d’un
fonction
Modèle de
dimension infinie
Contrôle d’un
point
Modèle
d’anneau
Contrôle d’une
variable
algébrique
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Le système est ℜn-contrôlable si, pourφ ∈C0 ([−h, 0 ];ℜn ), x0 et x1 existe t1 > t0
et une entrée de commande u(t), t ∈ [t0 , t1 ] de telle manière que x(t1 ) = x1 .
Si x0 ≠ 0 et x1 = 0 : contrôlabilité dans l’origine.
Si x0 = 0 et x1 ≠ 0 : atteignabilité du point x1 .
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
EXEMPLE:
"$ x (t) = u(t)
1
#
$% x2 (t) = x1 (t − h)
x(t) = u(t) = 0,
pour t < 0
1.Intervalle [0,h]:
• Choisir u(t) comme commande de x1
•
! X $
Atteigne l’état X = # 1 &, t = ε, ∀ε > 0
#" 0 &%
•
Seulement un composent de l’état peut être contrôlé.
2.Intervalle [h,2h]:
• Choisir u(t), t ∈ [ h, 2h ] : contrôle de x1 (t)
• Choisir u(t), t ∈ [ 0, h ] : contrôle de x2 (t)
•
! X $
Atteigne l’état X = # 1 &, t = h + ε, ∀ε > 0
#" X 2 &%
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Par conséquence, le temps joue deux rôles
• avec ε > 0 (le plus rapidement possible, comme en LTI sans retard)
• contrainte liée aux retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Model d’anneau
Operateur de retard ∇ ( ∇f (t) = f (t − h))
#% x (t) = A(∇)x(t) + B(∇)u(t)(t)
∑$
%& y(t) = C(∇)x(t)
x(t) = φ (t), t ∈ [−Nh, 0]
C.I.
x(t) ∈ ℜn État
u(t) ∈ ℜm Entrée
y(t) ∈ ℜ p Sorti
Matrices polynômiales en ∇
A, B, C
Matrice de contrôlabilité:
#
&
A(∇) / B(∇) = % B(∇) A(∇)B(∇) A 2 (∇)B(∇) … A n−1 (∇)B(∇) (
$
'
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Model d’anneau
Contrôlabilité forte: Le système est contrôlable sur un anneau ℜ [ ∇]
Un x1 ∈ ℜn peut être atteint, à partir x(0) ∈ ℜ,n et dans un temps T
donné, avec un T le plus petit possible (et avec une entrée de commande
u(t), t ∈ [0,T ] ).
Contrôlabilité Forte
Système Libre de Retard
Contrôlabilité faible: Le système est contrôlable sur un champ ℜ ( ∇)
rang A ( ∇) / B ( ∇) = n
Il n'est pas possible d'attendre x1 à partir de x(0) dans un instant T
donné aussi petit que possible.
à Un minimum de temps sera nécessaire pour atteindre x1
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Exemple:
"$ x (t) = u(t)
1
#
$% x2 (t) = x1 (t − h)
x(t) = u(t), t < 0
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Exemple:
"$ x (t) = u(t)
1
#
$% x2 (t) = x1 (t − h)
x(t) = u(t), t < 0
" 0 0 %
A(∇) = $
' = A0 + ∇A1
# ∇ 0 &
•
•
•
" 1 %
B(∇) = $
' = B0
# 0 &
Contrôlable sur ℜ(∇)
Dans l’intervalle [0,h]: seulement joue B0
Chaque état est ℜ2 joignable, mais seulement à partir de t=h
Contrôlabilité faible
Sommaire
Un exemple simple
Partie I: Représentation des systèmes à retards
• Nature de retards
• Modélisation des systèmes à retards
• Modèles des retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
• Solution de l'équation d'état
• Contrôlabilité
• Observabilité
• Stabilité
Partie II: Analyse des systèmes à retards
OBSERVABILITE
Rappel pour les systèmes LTI sans retard
Un système linéaire ( x = Ax + Bu; y = Cx) est complètement observable si,
étant donnée la entrée de contrôle et la sortie sur l'intervalle t0 ≤ t ≤ T , on
peut déterminer toute état initial x(t0 ).
Notez que ceci est équivalent à la reconstruction de l’état de x(t)
et l'observabilité est caractérisée par :
Matrice de observabilité:
T
"
%
O = $ C CA CA 2 … CA n−1 '
#
&
Le système est observable si la matrice de observabilité est de rang plein (c'est à
dire rank(O) = n).
Partie II: Analyse des systèmes à retards
OBSERVABILITE
Pour les systèmes à retard:
l'extension de base de l'observabilité à systèmes à retard est l'observabilité
initiale:
un état initial ( x(0), φ (t), t ∈ [−Nh, 0 [ ) est observable si la sortie du
système autonome n'est pas identiquement nulle [ 0,∞)
Model d’anneau
Matrice de contrôlabilité:
T
#
&
C(∇) / A(∇) = % C(∇) C(∇)A(∇) C(∇)A 2 (∇) … C(∇)A n−1 (∇) (
$
'
Partie II: Analyse des systèmes à retards
OBSERVABILITE
Modèle d’anneau
Observabilité forte: Le système est observable sur un anneau ℜ [ ∇]
x(t) peut être reconstruis dans un temps t.
Observabilité faible: Le système est contrôlable sur un champ ℜ ( ∇)
rang C ( ∇) / A ( ∇) = n
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Exemple:
"$ x (t) = 0
#
$% y(t) = x(t) − x(t − h)
Partie II: Analyse des systèmes à retards
CONTROLABILITE
Exemple:
"$ x (t) = 0
#
$% y(t) = x(t) − x(t − h)
A(∇) = [ 0 ],
C(∇) = [1− ∇ ]
Le matrix d’observabilité est
C(∇)
= 1− ∇
A(∇)
Observabilité faible
Sommaire
Un exemple simple
Partie I: Représentation des systèmes à retards
• Nature de retards
• Modélisation des systèmes à retards
• Modèles des retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
• Solution de l'équation d'état
• Contrôlabilité
• Observabilité
• Stabilité
Partie II: Analyse des systèmes à retards
STABILITE
Défini la suivante fonction transfère: G(s) = e−sh
N(s)
D(s)
Le critère de Nyquist reste valable pour un pur système à retard, puisque e−hs
n'introduit aucune pôles et zéro supplémentaires en boucle fermée:
N(s)e−sh
T (s) =
D(s) + N(s)e−sh
Le polynôme caractéristique est:
p(s, h) = D(s) + N(s)e−sh
Système stable si
p(s, h) ≠ 0, ∀s ∈ C+
Donc si le système est stable pour h=0, alors le retard marginal est:
h = min {h ≥ 0 p( jω, e− jhω ) = 0, pour ω ∈ R}
Pour un h ∈ "#0, h* ) , le système est stable. Si h* = ∞ , le système est stable
indépendamment du retard.
Partie II: Analyse des systèmes à retards
STABILITE
G(s) =
1
0,1s 2 + s
G(s) = e−s
1
0,1s 2 + s
G(s) = e−2s
1
0,1s 2 + s
Partie II: Analyse des systèmes à retards
STABILITE
G(s) =
1
0,1s 2 + s + 2
G(s) = e−2s
1
0,1s 2 + s + 2
G(s) = e−100s
1
0,1s 2 + s + 2
Partie II: Analyse des systèmes à retards
STABILITE
K
x = A0 x(t) + ∑ Ak x(t − hk )
k=1
p(s;e
−h1s
,..., e
−hk s
K
#
&
−hk s
) = det % sI − A0 − ∑ Ak e ( ≠ 0 ∀s ∈ C
$
'
k=1
Système stable indépendamment du retard!!!!
p(s;e
−h1s
,..., e
−hk s
K
#
&
−hk s
) = det % sI − A0 − ∑ Ak e ( = 0 ∀s ∈ C
$
'
k=1
Système stable dépendamment du retard
Chercher le retard critique hk* .
Chercher le marge de retard !"0, hk* ) pour le quelle le
système est stable.
Partie II: Analyse des systèmes à retards
STABILITE
N
−hs
Considérons un quasi polynôme : a(s, e ) = ∑ ak (s)e
−hs
k=1
Def: La marge de retard est définie par
h = min {h ≥ 0 p( jω, e− jhω ) = 0, pour ω ∈ R}
Si h = ∞ syst. indep. du retard
Si h < ∞ syst. dep. du retard
Problème : Comment obtenir les solution du retard marginal?
Solution :
I. Méthodes des polynômes 2D
II. Méthodes des pseudo-retards
Partie II: Analyse des systèmes à retards
STABILITE
I. Méthodes des polynômes 2D
On pose z = e−hs et on définit
a(s, z) := z n a(−s, z −1 )
On cherche des solutions commune à
!# a(s, z) = 0
"
#$ a(s, z) = 0
Grace à ce système d’équation on peut éliminer la variable s et on obtient un
polynôme b(z) pour le quel on va chercher les racines
jθ
• Si b(z) n’a pas de racine unitaire zi = e
à syst. Indep. du retard
• Si b(z) a des racines unitaires on cherche alors les solutions de
(polynômes on s)
a(s, zi ) = 0
Pour cela on pose {si = jωi , zi = e− jθ / ωi > 0, θi ∈ [ 0, 2π ]}
Et on obtient la marge de retard.
i
i
"π
%
−1
h := min # tan (ω iT )i ω i > 0&
$ωi
'
*
Partie II: Analyse des systèmes à retards
STABILITE
I. Méthodes des pseudo-retards
On remplace z par 1− sT T > 0 et on définit
1+ sT
c(T, s) := (1+ sT )n a(s,
1− sT
)
1+ sT
On applique le critère de Routh au polynôme caractéristique en s (T est un paramétré).
• Le système est stable si ∀T > 0 , le critère de Routh est satisfait.
• Pour les valeurs de Ti que le critère de Routh est non satisfait, on peut faire un
estimation du retard critique
"2
%
−1
h1 := min # tan (ω iTi ) / ω i > 0&
$ωi
'
Supplémentairement, on peut trouver si le système est stable dans l’infini, on trouve
les racines de a(s, −1) = a( jωi , e− jhω ), h = 2l +1 π , l = 0,1,...
i
ωi
Et on obtient une estimation du retard marginal
!π
$
h2 := min " / ω i > 0%
#ωi
&
Le retard marginal sera
h* := min {h1, h2 }
THESES FRANÇAISES
v [Sename, 1994, Dambrine, 1994]
v [Mounier, 1995]
v [Niculescu, 1996, Picard, 1996, Bartholomeus-Goubet, 1996]
v [Brethé, 1997]
v [Assan, 1999, Tchangani, 1999]
v [Fattouh, 2000, Ivanescu, 2000]
v [Gouaisbaut, 2001]
v [Witrant et al., 2005, Alif, 20065]
v [Seuret, 2006]
v [Briat, 2008]
v Et (M. Diloreto, W.Aggoune, N.Yeganefar, M. Van Assche, .....)
REFERENCES
vL. Dugard et E. I. Verriest , (Eds) Stability and control of time-delay
systems, ser. LNCIS. Springer Verlag, 1998, vol. 228.
vS. Niculescu et K. Gu , Eds., Advances in Time-Delay Systems, ser.
LNCSE. Springer-Verlag, 2004, vol. 38.
vJ.Chiasson et J. Loiseau , Eds., Applications of Time-Delay Systems,
ser. LNCIS. Springer-Verlag, 2007, vol. 352.
vS.-I. Niculescu , Delay effects on stability. A robust control approach.
Springer-Verlag: Heidelbeg, 2001, vol. 269.
vK. Gu, V. Kharitonov, et J. Chen , Stability of Time-Delay Systems.
Birkhauser, 2003.
vQ.C. Zhong , Robust Control of Time-Delay Systems, SpringerVerlag, 2006, London, UK.