Transcript TD AN3-LST-MI: Analyse Numérique des EDP Méthode des

A. Taik
TD AN3-LST-MI
TD AN3-LST-MI: Analyse Num´erique des EDP
M´ethode des Diff´erences Finies
Feuille d’exercices No. 1
1. Pour chacune des e´ quations aux d´eriv´ees partielles, indiquer son ordre, si elle est lin´eaire ou
non, si elle lin´eaire homog`ene o`u non:
(a) uxx − xuy = y, (b) u2x + uuy = 1, (c) uxxxx + 2uxxyy + uyyyy = 0
(d) uxx + 2uxy + uyy = sin(x), (e) u2xx + u2x + sin(u) = eu
2. (a) V´erifier que les fonctions u(x, y) = x2 − y 2 et v(x, y) = ex sin(y) sont bien des solutions
de l’´equation uxx + uyy = 0.
(b) D´eterminer la solution g´en´rale de l’´equation uyy + u = 0, u = u(x, y).
(c) D´eterminer la solution g´en´rale de l’´equation uxx − uxx = 0, u = u(x, y), en utilisant le
changement de varible suivant ξ = x + y et η = x − y.
3. Montrer en utilisant la r`egle de chaines que l’´equation de la chaleur
ut = k(uxx + uyy ),
p
exprim´ee en coordonn´ees polaires, r = x2 + y 2 , θ = arctan(y/x)
ut = k(urr +
1
1
uθθ + ur ).
2
r
r
4. D´eterminer pour quels couples (x, y) du plan, chacune des EDP lin´eaires d’ordre 2 suivantes
est (a) elliptique, (b) parabolique et (c) hyperbolique
(i) uxx − xyuxy + y 2 uyy − 3ux = 0, (ii) uxx + xyuxy + yuyy − (x − 3)uy = u,
(iii) ex uxx + xuxy − uyy + 5yux = ex , (iv) x2 uxx + 2(x − y)uxy + uyy = 0,
(v) uxx − 5uxy − (x + y)uyy + 4ux − uy = sin(x).
5. Soit l’EDP lin´eaire d’ordre 2 suivante
uxx + 4uxy + 2uyy + ux = 0
(a) D´eterminer si l’´equation est elliptique, parabolique ou elliptique.
(b) D´eterminer les e´ quations caract´eristiques de cette e´ quation
(c) Transformer cette e´ quation dans sa forme canonique.
D´epartement de Math´ematiques
FST-Mohammedia, (2008)
1
A. Taik
TD AN3-LST-MI
Feuille d’exercices No. 2
1. R´esoudre num´eriquement en utilisant la m´ethode des diff´erences finies l’EDP suivante:
∆u(x, y) = f (x, y) (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]
ux=0,1,y=0,1 = 0
avec f (x, y) = xy. Prendre h =
1
3
comme pas de discr´etisation.
2. Mˆeme question avec f (x, y) = (1 − x)(1 − y), comparer les r´esultats avec ceux trouv´es en 1.
3. R´esoudre num´eriquement en utilisant la m´ethode des diff´erences finies l’EDP suivante:
∆u(x, y) = xy(x − 2)(y − 2) (x, y) ∈ [0, 2] × [0, 2]
ux=0,2,y=2 = 0, uy=2 = 1
4. Utiliser le Laplacien en coordonn´ees polaires pour r´esoudre ∆u = 0.2, dans le demi disque
de centre O(0, 0) et de rayon R = 4. Prendre ∆r = 1 et ∆θ = π/6. Les conditions aux
bords sont u = 10 sur le diam`etre et u = 0 sur l’arc.
5. On consid`ere le probl`eme de Laplace en 3 dimensions:
∆u(x, y, z) =
∂ 2u ∂ 2u ∂2u
+
+
= f (x, y, z),
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Ecrire un sch´ema diff´erences finies pour le r´esoudre num´eriquement.
6. On consid`ere
∂ 2u ∂ 2u
∆u(x, y) =
+
= −Q/k, (x, y) ∈ [0, 8] × [0, 4]
∂x2 ∂y 2
ici k = 0.16, Q = 5. avec les conditions aux limites suivantes: u(x = 0, y) = u(x =
∂u
8, y) = 20 et ∂n
(y = 0, y = 4) = −15 (D´eriv´ee normale). Ecrire un sch´ema diff´erences
finies pour le r´esoudre num´eriquement.
D´epartement de Math´ematiques
FST-Mohammedia, (2008)
2
A. Taik
TD AN3-LST-MI
Feuille d’exercices No. 3
1. Consid´erons le probl`eme aux conditions aux limites et a` valeur initiale suivant:
ut = uxx pour x ∈ (0, 1), t > 0,
u(0, t) = ul (t), u(l, t) = ur (t),, u(x, 0) = f (x).
Ici ul (t), ur (t), et f (x) sont des fonctions born´ees satisfaisant ul (0) = f (0) et ur (1) = f (1)
(a) Donner un sch´ema explicite a` ce probl`eme.
(b) Donner un sch´ema implicite pour r´esoudre ce probl`eme et de montrer que le syst`eme
lin´eaire qui se pose peut eˆ tre r´esolu par l’´elimination de Gauss.
2. Donner un sch´ema explicite pour probl`eme de Neumann suivant:
ut = uxx pour x ∈ (0, 1), t > 0,
ux (0, t) = ux (l, t) = 0,
u(x, 0) = f (x).
2
2
Utiliser la solution analytique suivante u(x, t) = 9+3e−π t cos(πx)+5e−16π t cos(4πx) pour
v´erifier la qualit´e des approximations.
3. Consid´erons le probl`eme:
ut = αuxx pour x ∈ (−l, l), t > 0,
u(−l, t) = a, u(l, t) = b u(x, 0) = f (x). o`u a, b et l, a > 0 sont des constantes donn´ees.
(a) Donner un sch´ema explicite.
(b) Donner un sch´ema implicite.
(c) Trouver la solution exacte quand α = 2, l = π, a = π, b = π, et f (x) = x + sin(3x).
(d) Mettre en uvre les r´egimes issus de (a) et (b) et comparer les rsultats avec la solution
analytique de (c).
4. Consid´erons le probl`eme:
ut = 4uxx − 10u + q(x, t) pour x ∈ (l1 , l2 ), t > 0,
u(l1 , t) = a(t), u(l2 , t) = b(t)
u(x, 0) = f (x).
o`u l2 > l1 , a(t), b(t) et q(x, t), sont des fonctions donn´ees.
(a) Donner un sch´ema explicite.
(b) Donner un sch´ema implicite.
(c) Supposons l1 = −2, l2 = 3, a(t) = et − 2, b(t) = et + 3, f (x) = l + x et q(x, t) =
11et + 10x. Montrer que u(x, t) = et + x est une solution exacte du probl`eme.
(d) Mettre en uvre les r´egimes issus de (a) et (b) et comparer les rsultats avec la solution
analytique de (c).
D´epartement de Math´ematiques
FST-Mohammedia, (2008)
3
A. Taik
TD AN3-LST-MI
Feuille d’exercices No. 4
1. Consid´erons le probl`eme:
ut = (α(x, t)ux )x + c(x, t)ux + q(x, t)u pour x ∈ (l1 , l2 ), t > 0,
u(l1 , t) = a(t), u(l2 , t) = b(t)
u(x, 0) = f (x).
o`u l2 > l1 , a(t), b(t), α(x, t) et q(x, t), sont fonctions donn´ees.
(a) Donner un sch´ema explicite.
(b) Donner un sch´ema implicite.
2. Consid´erons l’´equation:
ut = αuxx
avec des condtions aux limites de Dirichlet . Ici α > 0 est une constante donn´ee. D´efinissons
le sch´ema explicite suivant:
m
m
vjm+1 − vjm
vj+1
− 2vjm + vj−1
=α
f or j = 1, 2, ..n, m > 0
∆t
(∆x)2
et le sch´ema implicite
m+1
m
vjm+1 − vjm
vj+1
− 2vjm+1 + vj−1
=α
f or j = 1, 2, ..n, m > 0
∆t
(∆x)2
(a) En utilisant la m´ethode de Von Neumann trouver la condition de stabilit´e du sch´ema
explicite
(b) Montrer que le sch´ema implicite est inconditionnellement stable dans le sens de Von
Neumann.
3. Consid´erons l’´equation:
ut = uxx
avec des condtions aux limites de Neumann et le sch´ema explicite suivant
m
m
vjm+1 − vjm−1
vj+1
− 2vjm + vj−1
=α
f or j = 1, 2, ..n, m > 0
2∆t
(∆x)2
(a) Utiliser les s´eries de Taylor pour expliquer comment on obtient ce sch´ema.
(b) Pour quelle valeur du pas de discr´etisation ce sch´ema est stable au sens de Von Neumann?
4. Consid´erons l’´equation
ut = uxx − 9u
avec des condtions aux limites de Dirichlet. En dduire un des sch´ema explicite implicite pour
cette e´ quation. Utilisez l’analyse de Von Neumann pour e´ tudier la stabilit´e de ces sch´emas.
D´epartement de Math´ematiques
FST-Mohammedia, (2008)
4
A. Taik
TD AN3-LST-MI
Feuille d’exercices No. 5
1. Trouver les solutions formelles du probl`eme
utt = uxx pour x ∈ (0, 1), t > 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0,
u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x).
pour les fonctions suivantes
(a) f (x) = 3sin(2πx), g(x) = sin(πx),
(b) f (x) = 3sin(2πx), g(x) = x(1 − x),
(c) f (x) = 3sin(2πx), g(x) = sin(x)cos(4x),
2. (a) On suppose que u = u(x, t) est solution de l’´equation des ondes suivante
utt = c2 uxx
o`u c est une constante. Soit v(x, t) = u(x, αt). D´eterminer α > 0 telle que v satisfaisant
l’´equation correspondant a` c = 1, i.e.
utt = uxx
(b) Trouver les solutions formelles du probl`eme:
utt = c2 uxx f or x ∈ (0, 1), t > 0,
u(0, t) = u(l, t) = 0,
u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x),
avec
f (x) =
∞
X
k
ak sin(kπx), g(x) =
∞
X
bk sin(kπx).
k
D´epartement de Math´ematiques
FST-Mohammedia, (2008)
5