Transcript LEAC/M.GAYE/Ts2 2013-2014 SERIE : FONCTIONS LOGARITHME

LEAC/M.GAYE/Ts2
2013-2014
SERIE : FONCTIONS LOGARITHME NEPERIEN
EXERCICE 1 :
2
1) Simplifier ln (n7) ― 12 ln n + ln  n  pour n ∈ ℕ*.
 
2) Montrer que ln(5000)3 = 12 ln 5 + 9 ln 2 .
3) Simplifier l’expression suivante après avoir déterminé pour quelles valeurs elle est définie :
x+5
ln
x + 3 ― ln (x + 5) + ln (x + 3).
 2e 
ln  x 
 
1 ― ln x
4) Montrer que, pour tout x > 0 : ln 2 = 1 + ln 2
1
1
5) Simplifier ln e4 + ln e4 + ln e ― ln
e
6) Calculer y sachant que : ln y = ln (7 + 5 2 ) + 8 ln ( 2 + 1) + 7 ln ( 2 ― 1)
EXERCICE 2 : Résoudre dans IR :
1) ln x = ― 4
2) ln (x + 2) + ln (x ― 2) = ln (2x + 11)
3) ln (x + 4) + ln x = 0
4) ln (2x + 1) ― ln (x + 2) = ln (2 ― x)
5) 2 ln x = ln (2x ― 1)
6) 2 ln x = ln 2.
2
7) ln (x ― 4) = ln (2x + 11)
8) ln x(x + 4) = 0
9) ln x + ln x2 = ln 8
ln | x ― 3 |
ln | 2x + 1 |
10) 2 ln x = ln ( ― 2x ― 11) 11) ln | 2x + 1 | = ln | x ― 3 |
12) ln ( x2 + 2x ― 3) ― 2 ln (x ― 1) = 2 13) ln (x + 3) + ln (x + 2) = ln (x + 11)
 ― x ― 11 
14) ln (x2 + 5x + 6) = ln (x + 11) 15) ln (―x ― 2) = ln  x + 3 


16) ln (x + 2) = ln (― x ― 11) ― ln (x + 3) 17) ln2x + ln x ― 6 = 0
18) 2ln2x ― 3ln x ― 2 = 0 19) ln2x ― 3ln x = 0 20) ln3x ― 2ln2x ― ln x + 2 = 0
EXERCICE 3 : Résoudre dans IR :
1) ln x < ― 2 2) 2 ln x ≤ ln 3 3) ln x2 ≤ ln 3 4) ln (x + 3) + ln (x ― 4) < 2 ln (x ― 1)
5) ln[(x + 3)(x ― 4)] < ln (x ― 1)2 6) 1 + ln (x + 3) > ln (x2 + 2x ― 3)
 3x + 1 
7) ln(ln( x2 + 1) > 0 8) ln  x + 2  < 0 9) ln2x + ln x ― 2 > 0 10) ln2x ― 3ln x ≤ 0 .


EXERCICE 4 : Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes des intervalles de
leur ensemble de définition :
ln x + 1
1) f : x ↦ x ─ ln x
2) f : x ↦ (ln x)² ─ x
3) f : x ↦ ln x ─ 1
1 + ln x
4) f : x ↦ ln(x + 1) ─ ln (x ─ 1)
5) f : x ↦ (ln x)²
6) f : x ↦ (1 ― x)² ─
ln x
7) f : x ↦ ln x ─ x
ln (2x + 1)
ln x
ln (x + 1)
10) f : x ↦
x
ln (x + 1)
2―x
ln (x² + 1)
13) f : x ↦
x
8) f : x ↦ f : x ↦ ln x + 1 ─ x
9) f : x ↦
ln (x + 1)
x²
12) f : x ↦
11) f : x ↦
14) f : x ↦ ln(x² ─ x ─ 2)
x² ─ 1
15) f : x ↦ x ln x
EXERCICE 5 : a) Déterminer, lorsque x tend vers zéro, la limite de f (x) dans chacun des cas
suivants :
ln (1 + 2x)
ln (1 + sin x)
x+2 
x 
1) f (x) =
2)
f
(x)
=
3)
f
(x)
=
ln
1
+

x
x
x
x + 2

b) Déterminer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués :
ln(1 + sin x)
ln(1 + cos x)
π
1) f (x) =
;
x
2)
f
(x)
=
;
x
0=0
0=
sin x
cos x
2
ln(tan x)
π
x+1
3) f (x) = sin x ― cos x ; x0 = 4
4) f (x) = x + ln x ― ln (x + 1) ; x0 = 0, puis
x0 = + ∞
x2 | ln x |
ln x ─ 1
6) f (x) = x ― 1 ; x0 = 1
7) f (x) = x ─ e x0 = e 8) f (x) = sin x ln x; x0
=0
x
x+1
9) f : x ↦ x ln  x  ; x0 = + ∞
10) f : x ↦ x ─ 2 ln (x ─ 1) x0 = 2


EXERCICE 6 : Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes après avoir déterminé
l’ensemble de dérivabilité.
 2x ― 3 
1) f : x ↦ x2 ln x
2) f : x ↦ ln  x ― 1 
3) f : x ↦ ln [(2x + 1)(x ― 3)]


3x ―1
4) f : x ↦ 1 ― ln x
5) f : x ↦ ln 2x ― 1
6) f : x ↦ ln x + 1
7) f : x ↦ ln | ln x |
8) f : x ↦ ln (x + x2 + 1 )
9) f : x ↦ ln (x + x2 ― 1 )
EXERCICE 7 : Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l’intervalle considéré :
2
2x + 1
1) f : x ↦ 3 ― x sur]3 ; + ∞ [
2) f : x ↦ x2 + x + 1 sur ] ― ∞ ; + ∞ [
1
π
3) f : x ↦ x ln x sur]1 ; + ∞ [ , puis sur ] 0 ;1 [
4) f : x ↦ tanx sur ] ― 2 ;0 [
x─1
1
1
5) f : x ↦ 2
sur IR
6) f : x ↦
sur ] ― ∞ ; ─ [
x ─ 2x + 3
2x + 1
2
2 ln x
2x² + x ─ 1
7) f : x ↦ x sur] 0 ; + ∞ [
8) f : x ↦
sur ] 0 ; + ∞ [
x2
sin x + cos x
π
1 + tan² x
π
9) f : x ↦ sin x ─ cos x sur [0 ; 4 [
10) f : x ↦ tan x sur ] 0 ; 2 [
EXERCICE 8 : Etudier les fonctions suivantes (limites, sens et tableau de variation) et tracer
→ →
leur courbe représentative dans le plan rapporté à un repère (O, i , j ) .
ln x
1
1) f : x ↦ x ln x
2) f : x ↦ ln2 x
3) f : x ↦ x
4) f : x ↦ (ln x)2
 x+1 
6) f : x ↦ ln  x ― 1 


ln x
EXERCICE 9 : Soit f : x ↦ x ― ln x
x
5) f : x ↦ ln x
ln x
7) f : x ↦ x2
x +1
8) f : x ↦ ln x ― 1
1) Etudier les variations de g : x ↦ x ― ln x . En déduire l’ensemble de définition de f .
2) Montrer que l’on peut prolonger f par continuité à droite au point x = 0 .
Soit h ce prolongement. Etudier la dérivabilité de h en 0 .
3) Etudier les variations de h.
4) Donner une équation de la tangente à C h au point d’abscisse 1 et préciser la position de C
h par rapport à cette tangente.
5) Tracer C h dans un repère orthonormé.
EXERCICE 10 : Soit f la fonction définie par :
f (x) = x2 | ln x | si x ≠ 0
f (0) = 0.
1) Montrer que f est dérivable en 0 et préciser f ' (0).
2) Etudier la dérivabilité de f en 1.
3) Etudier les variations de f.
4) Construire C f dans un repère orthonormal.
x―2
EXERCICE 11 : Soit f la fonction définie par : f (x) = x + 4 + ln x + 2
.
Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé, le centimètre étant l’unité de
longueur.
1) a) Etudier les variations de f.
b) Montrer que C admet trois asymptotes, dont l’une Δ d’équation y = x + 4 ; préciser la
position de C par rapport à Δ.
2) Montrer que l’intersection de C et de l’axe des ordonnées est un centre de symétrie pour C
.
d) Construire la courbe C ; On placera en particulier les points d’abscisses
― 3 ; ― 1 ; 0 ; 1 ; 3.
3) Soit k un nombre réel. Etudier suivant les valeurs de k le nombre de points d’intersection
de la courbe C et de la droite D d’équation y = x + k .Montrer que lorsque D coupe C en
deux points distincts, d’abscisses x ' et x '', le produit x 'x '' est indépendant de k.
x
EXERCICE 12 : 1) Soit g définie sur] 0 ; + ∞ [par : g (x) = ln (x + 1) ― ln x +
.
x 1
1

a) Calculer lim ln 1 + x  puis lim g (x) .

x + ∞ 
x + ∞
b) Etudier le sens de variation de g . En déduire que, pour tout x > 0, g (x) > 1.
2) Soit f définie sur [0 ; + ∞ [par :
f (0) = 0
f (x) = x [ln (x + 1) ― ln x] si x > 0.
a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 .
b) Calculer f ' (x) pour x > 0 ; déterminer le signe de f ' (x) à l’aide du 1).
1
1

c) Déterminer lim f (on pourra écrire : f (x) = x ln 1 + x  et poser x = X .


x + ∞
d) Dresser le tableau de variation de f.
3) Soit (C ) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal
→ →
(O, i , j ) (Unité : 4 cm).
a) Soit T la tangente à (C ) au point d’abscisse 1.
→
Déterminer l’intersection de la droite (O, i ) avec T.
b) Construire (C ) et T.
EXERCICE 13 : Soit la fonction numérique de la variable réelle f définie par :
2x
f (x) =
pour x ∈] ― ∞ ; 0]
1 + x2
x―1
f (x) = ln x + 1
pour x ∈] 0 ; 1[∪] 1 ; + ∞ [.
Soit C la courbe représentative de f dans le plan P rapporté à un repère orthonormal
→ →
( O, i , j ) .( On prendra 2 cm par unité de longueur .)
f (x) ln (1 ― x)
ln (1 + x)
1) bva) Montrer que, pour 0 < x < 1, x =
―
.
x
x
b) Etudier la dérivabilité de f en 0.
c) En déduire que la courbe C admet au point O deux demi-tangentes dont on donnera les
équations.
d) Etudier le signe de f (x) ― 2x sur l’intervalle] ― ∞ ; 0 [.
Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
2) Calculer les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition de f et étudier les variations
de f.
→ →
3) Tracer la courbe C dans le repère (O, i , j ) .