Transcript énoncé - Université de Cergy Pontoise

Université de Cergy-Pontoise
L2S4 – Groupe prépa : Électromagnétisme II
2013-14
TD no 3 : Ondes électromagnétiques
Ex 1. Onde électromagnétique plane progressive
On étudie une onde électromagnétique dont le champ électrique est :
−
→
→
→
E = Ex −
u x + Ey −
uy
avec
k
Ex = E0 exp i
(2x + 2y + z) − ωt .
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L’onde se propage dans le vide et sa longueur d’onde est λ = 6 × 10−7 m.
a) Calculer la fréquence de l’onde.
b) Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette onde ?
c) Calculer la valeur numérique de la constante k.
d) Etablir l’équation cartésienne d’un plan d’onde.
e) Exprimer Ey en fonction de Ex .
→
−
f) Calculer le champ magnétique B .
g) Calculer la densité moyenne d’énergie électromagnétique associée à cette onde.
h) Calculer le vecteur de Poynting de cette onde et sa moyenne temporelle. Commenter.
Ex 2. Onde électromagnétique
On donne la représentation complexe du champ électrique d’une onde électromagnétique
dans le vide, en coordonnées cartésiennes :
−
→
E =
0
exp(i(ωt − k0 z))
E0 cos πy
a πy
αE0 sin a exp(i(ωt − k0 z))
où α est complexe et k0 un réel positif.
a) Déterminer α et k0 en fonction de E0 , ω, a et c.
→
−
b) Déterminer le champ B de cette onde.
c) Cette onde est-elle plane ? progressive ? harmonique ? transverse électrique ? transverse
magnétique ?
d) Calculer le vecteur de Poynting et sa valeur moyenne dans le temps.
Ex 3. Onde cylindrique
On étudie une onde électromagnétique cylindrique, émise par des sources situées le long d’un
→
−
axe Oz. En coordonnées cylindriques d’axe Oz, le champ électrique s’écrit : E (M, t) =
→
E(r) exp(i(ωt − kr))−
u z . L’onde se propage dans le vide.
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a) Déterminer le champ magnétique associé à ce champ électrique. Commenter son expression.
b) On se place désormais à grande distance de Oz : kr ≫ 1. Les calculs sont menés à
l’ordre le plus bas non nul en 1/kr. On admet alors que, pour un choix convenable de
l’origine des temps, E(r) est réel.
−
→
Quelle est la valeur moyenne h Π i du vecteur de Poynting ?
En déduire la puissance moyenne P rayonnée à travers un cylindre d’axe (Oz) de hauteur
h = 1 m et de rayon r.
c) En déduire l’expression de E(r) en fonction de r, P, k, ω et µ0 .
d) En déduire la relation de dispersion reliant k et ω.
→ −
−
→
e) Donner les champs E et B et décrire la structure de l’onde.
On rappelle l’expression du rotationnel et du laplacien vectoriel d’un champ de vecteur de la
→
forme U(r)−
u z en coordonnées cylindriques :
∂U −
1∂
∂U −
→
−
−
→
→
−
→
→
−
→
rot U(r) u z = −
uθ ,
∆U(r) u z =
uz .
r
∂r
r ∂r
∂r
Ex 4. Onde sphérique
On considère l’équation de progagation d’une grandeur scalaire f :
∆f =
1 ∂2f
c2 ∂t2
Chercher les solutions correspondant à une onde sphérique de centre O, c’est à dire de la
forme f (r, t).
Indication : On cherchera à déterminer Ψ(r, t) telle que f (r, t) = 1r Ψ(r, t).
Laplacien en coordonnées sphériques :
1 ∂
∂2f
1
∂f
1
∂
2 ∂f
∆f (r, θ, ϕ) = 2
r
+ 2
sin(θ)
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin(θ) ∂θ
∂θ
r sin (θ) ∂ϕ2
Ex 5. Ondes de courant et de tension dans un câble coaxial idéal
Un câble coaxial peut être modélisé par une succession de cellules élémentaires représentant
la protion {x, x + dx} du câble où λ0 est l’induction par unité de longueur du câble et γ sa
capacité par unité de longueur.
∂i
a) Etablir deux équations liant d’une part les dérivées partielles ∂x
et ∂u
, et d’autre part
∂t
∂u
∂i
et ∂t .
∂x
En déduire une équation aux dérivées partielles vérifiés par i(x, t) et u(x, t).
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b) 1. Vérifier que l’expression générale de u(x, t) est :
u(x, t) = F (x − qt) + G(x + qt)
où F et G sont deux fonctions d’une variable réelle et q une grandeur positive que l’on
exprimera en fonction de λ et γ. Vérifier l’homogénéité de q. Quelle relation a-t-on entre
deux couples (F, G) et (F1 , G1 ) définissant la même fonction u(x, t).
2. Expliciter l’intensité corrspondante en fonction de F, G et du paramètre :
s
λ
Rc =
,
γ
à l’exclusion de toute constante additive dont on montrera qu’elle peux disparaı̂tre grâce
à un bon choix du couple (F, G).
c) Que peut-on dire du rapport u(x, t)/i(x, t) dans le cas d’une onde progressive ? Discuter
suivant le sens de propagation de l’onde.
d) Le câble est fermé en x = L sur une résistance R. Déterminer le facteur de réflexion en
tension défini par :
G(L + qt)
.
ru =
F (L − qt)
Etudier les cas particuliers R = 0 (court circuit), R = ∞ (circuit ouvert) et R = Rc .
e) On envisage un câble de longueur L (0 < x < L).
1. Le système est en équilibre après avoir été chargé sous la tension V0 par un dispositif
adéquat : u = V0 et i = 0. Que valent alors les fonctions F et G telles qu’elles ont été
définis à la question précédente ?
2. A l’instant t = 0, l’extrémité du câble en x = L est fermée sur un conducteur de
résistance R ≈ 0. Les expressions de F et G trouvées à la question précédente ne sont
plus valables que pour des domaines limités de leur argyments correspondant à t < 0.
Préciser ces domaines. On notera α l’argument de F et β l’argument de G.
4. En utilisant les conditions aux limites, en L d’abord (tension nulle), en 0 ensuite
(intensité nulle), calculer F et G pour toutes valeurs de leurs arguments.
5. Tracer F (α) et G(β), ainsi que i(L, t) en fonction de t.
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