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富山大学知能情報工学科
「統計学」第１２回
ホーエル『初等統計学』
第８章４節～６節 仮説の検定（２）
高 尚策 （コウ ショウサク） 准教授
Email: [email protected]
1
前回の復習（１）
• 仮説の検定とは
– 用語：検定統計量、有意水準、棄却域
– 分類：片側検定と両側検定
検定統計量の
確率分布
（確率密度関数）
有意水準 α
• ２種類の過誤
棄却限界値
（critical value）
棄却域
採択する仮説
真実
H0 を採択
H1 を採択
H0 が真
正しい判定
第１種の誤り
H1 が真
第２種の誤り
正しい判定
2
前回の復習（２）
• 平均値の検定
– 正規母集団の母平均の検定（両側検定）
– 正規母集団の母平均の検定（片側検定）
– 母平均の区間推定と検定は表裏の関係．
帰無仮説が棄却されるかどうか
＝仮定される平均値が信頼区間に含まれるかどう
か
• 割合の検定
pˆ  p
Z
pq
n
3
前回演習問題の答え
• 問題１（章末問題１）
被告を窃盗罪で審理する裁判の場合,２種類の過誤に当たるも
のは何か．社会的にみて,どちらの種類の過誤がより重要とみなさ
れるか．
答え：
罪状が立証されるまでは無罪であるという前提に立って,
検定すべき仮説は,容疑者は無罪であるという仮説である．
それゆえ、
第1種の過誤は無罪である人を有罪であると判定するこ
と、
第2種の過誤は真犯人を見逃がしてしまうこと．
社会的通念からすれば、
第2種の過誤より 第1種の過誤のほうがより重大であると考え
られる．
4
• 問題２（章末問題２）
第２種の過誤が第１種の過誤より重要であると考えられるよ
うな仮説の例を１つあげよ．
答え：
採択する仮説
真実
H0 を採択
H1 を採択
H0 が真
正しい判定
第１種の誤り
H1 が真
第２種の誤り
正しい判定
“ある種の癌治療法は効果がない”という仮説の検定を考える．
• 第1種の誤りは「この治療法は効果がないのに有効と判断
してしまう」
• 第2種の誤りは「この治療法が本当は有効であるのに無効
と判断する」
第1種の誤りに相当する誤りがあったとしても,近い将来気づくことになるだろう。
第2種の誤りは重大な誤りといえよう。
5
• 問題３（章末問題６）
𝑥 = 82, 𝜎 = 16, 𝑛 = 100を与えて,仮説：𝜇 = 86を検定せよ．
答え：
統計的仮説検定の手順
１．帰無仮説と対立仮説を設定する．
２．帰無仮説が正しいという仮定の下で，検定に用いる検定統
計量の分布を導く．
３．帰無仮説を棄却する有意水準を設定する．
４．標本から検定統計量を計算し，その値よりも極端な値が出
現する確率が有意水準よりも小さければ（計算された統計量が
棄却域に落ちれば），帰無仮説を棄却し，対立仮説を採択する．
注意点１：片側検定を行うか両側検定を行うかは，前もって決めておかなければいけません．
注意点２：よく用いられる有意水準は，α = 0.05（5%）
両側検定において有意水準5%ということで、両側に0.025の確率になるように分ける。
片側検定において有意水準は5%とは、片側に確率0.05の面積です。
P=0.025
z=-1.96
P=0.025
z=+1.96
P=0.05
z=+1.64
6
• 問題３（章末問題６）
𝑥 = 82, 𝜎 = 16, 𝑛 = 100を与えて,仮説：𝜇 = 86を検定せよ．
答え：
注意点１：片側検定を行うか両側検定を行うかは，前もって決めて
おかなければいけません．
P=0.025
両側検定で！
z=-1.96
P=0.025
z=+1.96
統計的仮説検定の手順
１．帰無仮説と対立仮説を設定する．
H0： μ = 86
H1： μ ≠ 86
２．帰無仮説が正しいという仮定の下で，検定に用いる検定統計量の分布を導く．
中心極限定理： X～N (86,
2
標準化
𝑥−𝜇
82 − 86
𝑧=
𝑛=
100 = −2.5
n
𝜎
16
３．帰無仮説を棄却する有意水準を設定する． α = 0.05（5%）
)
４．標本から検定統計量を計算し，その値よりも極端な値が出現する確率が有意水準より
も小さければ（計算された統計量が棄却域に落ちれば），帰無仮説を棄却し，対立仮説を
採択する． z=-2.5<-1.96, 棄却域に落ちる, 𝐻0 を棄却する。
7
• 問題４（章末問題７）
𝑥 = 82, 𝜎 = 16, 𝑛 = 25を与えて,仮説：𝜇 = 86を検定せよ．
答え：
注意点１：片側検定を行うか両側検定を行うかは，前もって決めて
おかなければいけません．
片側検定で！
𝑥 = 82<𝜇 = 86 左側検定
P=0.05
z=-1.64
統計的仮説検定の手順
１．帰無仮説と対立仮説を設定する．
H0： μ = 86
H1： μ < 86
２．帰無仮説が正しいという仮定の下で，検定に用いる検定統計量の分布を導く．
中心極限定理： X～N (82,
2
標準化
𝑥−𝜇
82 − 86
𝑧=
𝑛=
25 = −1.25
n
𝜎
16
３．帰無仮説を棄却する有意水準を設定する． α = 0.05（5%）
)
４．標本から検定統計量を計算し，その値よりも極端な値が出現する確率が有意水準より
も小さければ（計算された統計量が棄却域に落ちれば），帰無仮説を棄却し，対立仮説を
採択する． z=-1.25>-1.64, 棄却域に落ちていない, 𝐻0 を採択する。
8
本日の内容
• ２つの平均値の差の検定
• ２つの標本割合の差の検定
• ｔ検定
9
４．２つの平均値の差の検定
• ２つの群があるとき，その母集団平均に差が
あるかどうかの検定．適用例は多い．
– 例：参加者を２群に分け，異なった処置をし（異
なった薬剤，異なった教育方法など），興味ある
変数（医学的指標，テスト成績など）に関して，２
群に差があるかどうかを検定する．
– 標本平均を計算することのできる連続型変数を
測定する．「成功」と「失敗」のように計数を行う変
数の場合には，割合の差の検定（後述）あるいは
分割表の検定（第10章）を行う．
10
平均値の差の検定での母集団
• ２群の背後に，それぞれ母集団を想定する．
– 例：２つの教育方法の効果を比較するとき，第１の方
法で教育された無限に多くの人と，第２の方法で教
育された無限に多くの人を考える．研究への参加者
はこれら母集団から抽出された標本である．
– 研究者は，「今回の研究に参加した人に関しては，２
つの教育方法で成績に差が生じました」と言いたい
のではない．もっと一般化した結論を述べたい．想定
する母集団は結論を一般化する範囲と一致する（例：
日本人の成人英語学習者）
11
平均値の差の検定での帰無仮説
• ２群の標本平均を利用して，母集団での平均
に関する検定を行う．
帰無仮説H0： μ1= μ2
対立仮説H1： μ1 ≠ μ2 （両側検定の場合）
• ２群の母集団平均（ μ1 および μ2 ）が同一であ
るとしても，標本平均では２群間に差が生じる
ことが一般的．その差が小さければ帰無仮説
は棄却できない．
12
２つの標本
• 第１群の標本は，第１群の母集団から無作為
抽出されたと考える．
– 大きさ n1 の標本：
– 標本平均：
x1
( x11 , x12 , , x1n 1 )
• 第２群の標本は，第２群の母集団から無作為
抽出されたと考える．
– 大きさ n2 の標本：
– 標本平均：
( x21 , x22 , , x2n2 )
x2
13
２つの標本平均の分布
• 標本を抽出し，２群それぞれの平均を計算す
ることを何度も繰り返したとする．
2
– 第１群の標本平均の分布：
•
σ12
は第１群の母集団分散
N ( 1 ,
– 第２群の標本平均の分布：
• σ22 は第２群の母集団分散
N ( 2 ,
1
n1
2
)
2
)
n2
• 第１群と第２群の標本平均の差の分布は？
– ２つの独立な確率変数の，差の分布を考える．
14
独立な確率変数の差の分布
• 正規分布に従う２つの独立な確率変数
2
– 確率変数 X1 の分布： N (1 ,  1 )
– 確率変数 X2 の分布： N (2 , 2 2 )
• 差 X1 – X2 の分布
N (1  2 ,    2 )
2
1
2
– 平均は「差」だが，分散は「和」になっていることに
注意！
15
独立な確率変数の和の分布
• 和 X1 + X2 の分布
N (1  2 ,    2 )
2
1
2
– 平均も分散も「和」
– 和および差の分布の平均は，期待値の性質から
明らか．分散については次のスライド．
E[ X1  X 2 ]  E[ X1 ]  E[ X 2 ]
E[ X1  X 2 ]  E[ X1 ]  E[ X 2 ]
16
確率変数の和・差の分散
• ２つの独立な確率変数 X1 , X2 の，和および
差の分散．
V [ X 1  X 2 ]  E[{( X 1  X 2 )  ( 1   2 )}2 ]
 E[{( X 1  1 )  ( X 2   2 )}2 ]
 E[( X 1  1 ) 2  ( X 2   2 ) 2  2( X 1  1 )( X 2   2 )]
 E[( X 1  1 ) 2 ]  E[( X 2   2 ) 2 ]  2 E[( X 1  1 )( X 2   2 )]
 V [ X 1 ]  V [ X 2 ]  2 E[( X 1  1 )( X 2   2 )]
確率変数 X1 , X2 の共分散（第９章）．独立ならばゼロ
17
標本平均の差の分布
• 標本平均は確率変数なので，確率変数の差
の分布に関する性質を適用できる．

2
1
N
(

,
)
1
– 第１群の標本平均の分布：
n1
– 第２群の標本平均の分布：
– 標本平均の差の分布：
N ( 2 ,
2
N (1  2 ,
2
n2

)
2
1
n1

2
2
n2
)
18
標準化と検定
• 標本平均の差 𝑥1 − 𝑥2 の分布：
2
2
1  2
N (1  2 ,

)
n1
n2
• 得られた標本平均の差を標準化すれば，標
準正規分布を用いた検定を行うことができ
る．
( x1  x2 )  ( 1   2 )
z
1
2
n1

2
2
n2
Z
X  0

n
19
帰無仮説H0： μ1= μ2
対立仮説H1： μ1 ≠ μ2 （両側検定の場合）
• 帰無仮説が正しいと仮定すると，μ1 – μ2 = 0 より，
( x1  x2 )  ( 1   2 )
x1  x2
z
1
2
n1

2
2

n2
1
2
n1

2
2
n2
• 母集団分散が未知の場合
– 大標本（目安として n1 > 25， n2 > 25）では，標本分散
で代用する．
– 小標本でも標本分散で代用するが，正規分布のかわ
りに t 分布を用いた検定を行う．（後述）
20
検定での注意
• 大標本では，２群の母集団分布が正規分布
でなくてもよい．
– 中心極限定理により，平均値に関しては正規分
布が利用できる．
• ２群のスコアは，２つの母集団から，それぞれ
独立に抽出したものでなくてはならない．
– 例：同一人物の右足の長さと左足の長さは関連
があるから（右足が短い人は左足も短い），これ
ら２変数は独立ではない．（テキストp.173）
21
例題（テキスト p.172-175）
• ２種類の電球Ａ，Ｂの寿命を，それぞれ100個
ずつテストする．
• 問題意識：２つの銘柄の間で，平均寿命に差
はあるのか？
帰無仮説H0： μ1= μ2
対立仮説H1： μ1 ≠ μ2 (両側検定)
22
P=0.025
P=0.025
両側検定で
z=-1.96
z=+1.96
• 標本平均と標準偏差
– 銘柄Ａ
x1  1160, s1  90
– 銘柄Ｂ
x2  1140, s2  80
• 検定統計量（帰無仮説が正しいと仮定）
1160 1140
20
z

 1.67  1.96
902 802 12

100 100
有意ではない
23
５．２つの割合の差の検定
• ２つの群があるとき，その母集団割合に差が
あるかどうかの検定．
– 参加者を２群に分け，異なった処置をし（異なった
薬剤，異なった教育方法など），興味ある変数
（医学的指標，テスト成績など）に関して，２群に
差があるかどうかを検定する（平均の差の検定と
同じ興味！）．
– 平均の差の検定とは異なり，「成功」と「失敗」の
ように計数を行う変数を測定する（例：投薬効果
の「あり」「なし」）．
24
割合の差の検定での帰無仮説
• ２群の標本割合を利用して，母集団での割合
に関する検定を行う．
帰無仮説H0： p1= p2
対立仮説H1： p1 ≠ p2 （両側検定の場合）
• ２群の母集団割合（ p1 および p2 ）が同一であ
るとしても，標本割合では２群間に差が生じる
ことが一般的．その差が小さければ帰無仮説
は棄却できない．
25
２つの標本
• 第１群の標本は，第１群の母集団から無作為
抽出されたと考える．
– 大きさ n1 の標本： ( x11 , x12 , , x1n )
1
– 「成功」を１，「失敗」を０．各 x1i （i = 1, 2, n1）は，い
ずれかの値をとる．
– 成功回数： k1  x11  x12    x1n
1
k1
– 標本割合： pˆ1 
n1
２項分布で学習したこと！
26
• 第２群の標本は，第２群の母集団から無作為
抽出されたと考える．
– 大きさ n2 の標本： ( x21 , x22 , , x2n )
2
– 「成功」を１，「失敗」を０．各 x2j （j = 1, 2, n2）は，い
ずれかの値をとる．
– 成功回数： k2  x21  x22    x2n
2
k2
– 標本割合： pˆ 2 
n2
27
２つの標本割合の分布
• （大）標本を抽出し，２群それぞれの標本割合
を計算することを何度も繰り返したとする．
– 第１群の標本割合の分布： N ( p , p1 (1  p1 ) )
1
n1
中心極限定理による
p2 (1  p2 )
N ( p2 ,
)
n2
• 第１群と第２群の標本割合の差の分布は？
– 第２群の標本割合の分布：
– ２つの独立な確率変数の，差の分布を考える．
28
標本割合の差の分布
• 標本割合は確率変数なので，確率変数の差
の分布に関する性質を適用できる．
– 第１群の標本割合の分布：
q1  1  p1
– 第２群の標本割合の分布：
q2  1  p2
p1q1
N ( p1 ,
)
n1
p2 q2
N ( p2 ,
)
n2
p1q1 p2 q2
– 標本割合の差の分布： N ( p1  p2 ,

)
n1
n2
29
標準化と検定
• 標本割合の差の分布：
p1q1 p2 q2
N ( p1  p2 ,

)
n1
n2
• 得られた標本割合の差を標準化すれば，標
準正規分布を用いた検定を行うことができ
る．
( pˆ  pˆ )  ( p  p )
z
1
2
1
2
p1q1 p2 q2

n1
n2
30
• 帰無仮説（ p1 = p2 ）が正しいと仮定すると，
p1 = p2 = p, q = 1 - p として，
1 1
p1q1 p2 q2 pq pq



 pq  
n1
n2
n1 n2
 n1 n2 
( pˆ 1  pˆ 2 )  ( p1  p2 )
z

p1q1 p2 q2

n1
n2
pˆ 1  pˆ 2
1 1 
pq  
 n1 n 2 
31
• 母集団割合が未知の場合
– 大標本（目安として n1 > 25， n2 > 25）では，標本
割合で代用する．ただし，２群を合併して母集団
割合を推定する（下の式）．
– 小標本の場合は分割表の検定（第10章） にす
る．
k1  k 2
pˆ 
n1  n2
z
pˆ 1  pˆ 2
k1  k 2  k1  k 2  1 1 
1 
  
n1  n2  n1  n2  n1 n2 
32
例題（テキスト p.176-177）
• ２種類の薬Ａ，Ｂの効果を，それぞれ200人ず
つに投与してテストする．
– 効果は「あり」か「なし」のいずれかで測定．
• 問題意識：２つの薬の間で，効果に差はある
のか？
帰無仮説H0： p1= p2 （母集団では，効果「あり」の
割合は等しい）
対立仮説H1： p1 ≠ p2
33
P=0.025
P=0.025
z=-1.96 z=+1.96
• 標本割合と母集団割合（推定値）
– 薬Ａ： pˆ 1  152  0.76
200
– 薬Ｂ： pˆ 2  132  0.66
200
母集団割合の推定値
152  132
pˆ 
 0.71
200  200
• 検定統計量（帰無仮説が正しいと仮定）
0.76  0.66
0.10
z

 2.22  1.96
1  0.045
 1
0.71 0.29 


有意である
 200 200
34
１標本での平均値の検定（小標本法）
• 特定の母平均に関する検定
 H0： μ = μ0
 H1： μ ≠ μ0 （両側検定の場合）
• 標本平均の標準化 Z  X  0 n

• 母集団分散 σ2 が未知の場合には，標本分散
で置き換える．この検定統計量の分布は自
由度 n-1 の t 分布である．
X  0
t
s
n
35
例題（テキスト p.178-179）
• ミサイルの新しい推進燃料を，10個の実験用
ミサイルでテストする．
– 平均飛行距離を測定
• 問題意識：新しい推進燃料での平均飛行距
離は，これまでの燃料での平均飛行距離
（340マイル）よりも長いのか？
帰無仮説H0： μ= 340
対立仮説H1： μ > 340（片側検定）
36
• 標本平均と標本（不偏）分散
– 標本平均：
– 標本分散：
x  360
s  400 (s  20)
2
• 検定統計量
x
360  340
t
n
10  3.16
s
20
帰無仮説が正しいとき，自由度 9 の t 分布に従う．
有意水準５％，片側検定での棄却限界値は t = 1.833
したがって，有意である．
t分布（自由度m=n-1=9）
面積＝P{t≧1.833}=0.05
1.833
37
６．小標本法
• 平均値の差の検定での検定統計量 z
z
( x1  x2 )  ( 1   2 )
1
2
n1

2
2
n2

x1  x2
1
2
n1

2
2
n2
• 小標本で母集団分散が未知の場合，標本分
散を使う．ただし，単なる置き換えでは t 分布
にならないため（ベーレンス－フィッシャー
[Behrens-Fisher]問題），２つの母分散が等し
いと仮定してその推定を行う．
38
母集団平均が等しいと仮定したときの，
標準化された２つの平均の差
x1  x2
z
 12
n1

 22
n2
において，２つの母集団分散が等しい（σ12 = σ22 = σ2）と
さらに仮定すると，
z
x1  x2

2
n1


2
n2

x1  x2
1 1
   
 n1 n2 
2
この σ2 を，標本から計算された２つの分散
s12 および s22 を用いて推定する．
39
２群それぞれにおける平均からの偏差平方和の，
和の期待値を計算する．
E[(n1  1) s1  (n2  1) s2 ]
2
2
 (n1  1) E[ s1 ]  (n2  1) E[ s2 ]
2
2
 (n1  1) 1  (n2  1) 2
2
2
σ12 = σ22 = σ2 のとき，
 (n1  n2  2) 2
したがって，
(n1  1)s1  (n2  1)s2
n1  n2  2
2
2
は，母集団分散 σ2 の不偏推定量である．
40
仮定０：２群の母平均が等しい（検定の帰無仮説）
仮定１：２群の母分散が等しい
z
x1  x2
2
n1

2
n2

x1  x2
1 1
   
 n1 n2 
2
仮定２：母集団の分布は正規分布
（t 分布を利用するために必要な仮定）
t
x1  x2
(n1  1) s1  (n2  1) s2  1 1 
  
n1  n2  2
 n1 n 2 
2
2
テキストp.179
公式（６）
は，自由度 n1 + n2 – 2 の t 分布に従う．
41
検定での注意
• 小標本での，２つの平均値の差についての，
t 分布を利用した検定（ t 検定 と呼ぶ）では，
２つの前提条件が満たされている必要がある．
1. 母集団分布は正規分布
2. 母集団分散が等しい
• 前提条件１は確認しないことが多いが，前
提条件２は確認する（次のスライド）．
42
• 等分散の検定：小標本での平均値の差の検
定では，t 検定を実行する前に，２つの母集
団分散が等しいかどうかの検定を行う．
– 標本分散の差をとって F 検定（F 分布を使用）．
– テキストでは省略されている．
• ２つの母集団分散が等しいという検定におい
て，帰無仮説（ σ12 = σ22 ）が棄却されてしまっ
たときには，ウェルチ（Welch）の検定と呼ば
れる検定を行うことが多い．
43
例題（テキスト p.179-180）
• パイプまたは葉巻喫煙者１１人と，紙巻きタバ
コの喫煙者３９人で，肺に吸い込む煙の量を
比較する．
– 血液中のCOHb濃度を測定
• 問題意識：パイプまたは葉巻喫煙者と，紙巻
きタバコの喫煙者で，肺に吸い込む煙の量に
違いはあるのか？
帰無仮説H0： μ1= μ2
対立仮説H1： μ1 ≠ μ2 （両側検定）
44
t検定統計量 t 
x1  x2
2
2
(n1  1) s1  (n2  1) s2  1 1  ~ 𝑡(𝑛1 + 𝑛2 − 2)
  
n1  n2  2
 n1 n 2 
• 標本平均と標本（不偏）分散
– パイプまたは葉巻： x1  2.3, s1  1.0
– 紙巻きたばこ： x2  5.2, s2  2.7
• 検定統計量
t (48) 
2.3  5.2
101.0  38 2.7  1 1 
  
11 39  2
 11 39 
2
2
 3.5
帰無仮説が正しいとき，自由度 48 の t 分布に従う．
有意水準５％，両側検定での棄却限界値（左側）は t = -2.0
したがって，有意である．
45
本日のまとめ（１）
• ２つの平均値の差の検定
注意：２群のスコアは，２つの母集団から，そ
れぞれ独立に抽出したものでなくてはならな
い．
定理：標本平均の差 𝑥1 − 𝑥2 の分布： N (1  2 ,
z
( x1  x2 )  ( 1   2 )
 12
n1

 22
12
n1

 22
n2
)
①標準正規分布を用いた両側検定
~𝑁(0,1)
n2
標準化
P=0.025
z=-1.96
P=0.025
z=+1.96
②標準正規分布を用いた片側検定
１）母集団分散𝜎1 , 𝜎2 が既知の場合、そのまま代入
２）母集団分散が未知の場合
 大標本（目安として n1 > 25， n2 > 25）では，
P=0.05
標本分散(𝑠12 , 𝑠22 )で代用する．
 小標本でも標本分散で代用するが，
46
正規分布のかわりに t 分布を用いた検定を行う（ｔ検定）
z=+1.64
本日のまとめ（２）
• ｔ検定
仮定０：２群の母平均が等しい（検定の帰無仮説）
仮定１：２群の母分散が等しい
仮定２：母集団の分布は正規分布
t検定統計量
t
x1  x2
(n1  1) s1  (n2  1) s2  1 1 
  
n1  n2  2
 n1 n 2 
2
2
~ 𝑡(𝑛1 + 𝑛2 − 2)
面積＝有意水準
t分布（自由度m=n-1）
棄却限界値
47
本日のまとめ（３）
• ２つの標本割合の差の検定
p1q1 p2 q2
定理：標本割合の差 𝑝1 − 𝑝2 の分布： N ( p1  p2 ,

)
n1
n2
( pˆ1  pˆ 2 )  ( p1  p2 )
z
p1q1 p2 q2

n1
n2
①標準正規分布を用いた両側検定
~𝑁(0,1)
P=0.025
標準化
k k
pˆ  1 2
n1  n2
１）母集団割合𝑝1 , 𝑝2 が既知の場合、そのまま代入
２）母集団割合が未知の場合
 大標本（目安として n1 > 25， n2 > 25）では，
𝑘 +𝑘
２群を合併して母集団割合𝑝 = 𝑛1+𝑛2 で代用する．
1
 小標本では分割表の検定（第10章）
z=-1.96
P=0.025
z=+1.96
②標準正規分布を用いた片側検定
P=0.05
2
z=+1.64
48
演習課題
• （章末問題36）
１標本での平均値の検定
49
注意点：
１．エクセルにデータを入力し、答えを求めよ。
２．得られたエクセルの表を印刷して、レポート用紙に貼ってください。仮説検
定の結果と結論などはレポート用紙に書いてください。
３．レポートに表紙を付けてください。
名前と学籍番号をご記入のうえ、レポート用紙（A4）を提出する。
提出先：工学部大学院棟７階
締め切り時間：
NO.７７０８室のドアのポストに入れてください
来週月曜日（７月20日） 午後５時まで
尚、講義用パワーポイントは
http://www3.u-toyama.ac.jp/tanglab/content51/content51.html か ら ダ ウ ン
ロードできる。(ダウンロードパスワードは“2015SS” です)
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