Transcript 7.条件付最適化
条件付最適化
• 経済学の基本的な問題は、希少な資源を、
如何に用いて、なんらかの目的を達成する
か
• 希少な資源は、ある種の制約に対応
• 目的の達成は、最適化に対応
• 経済学で多くの問題が、制約付の最適化問
題に帰着
ラグランジュ乗数法
f x1,..., xn
n変数の実数値関数
を
m個の等式制約
g1 x1 ,..., xn 0,
.....
g m x1 ,..., xn 0
の下で最大化
m n
制約だけで、変数が決まらない
ラグランジュ乗数法のレシピ
1.ラグランジュアンを作る
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m f x1 ,..., xn
1 g1 x1 ,..., xn .... m g m x1 ,..., xn
1 ,..., m
ラグランジュ乗数
2.ラグランジュアンを各変数で(偏)微分して0とおく
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m f x1 ,..., xn
1 g1 x1 ,..., xn .... m g m x1 ,..., xn
微分して0とおく
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m
x1
f x1 ,..., xn
.....
x1
1
g1 x1 ,..., xn
x1
.... m
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m
xn
f x1 ,..., xn
xn
1
g1 x1 ,..., xn
xn
.... m
g m x1 ,..., xn
x1
g m x1 ,..., xn
xn
0
0
3.方程式を解くか解釈する
f x1 ,..., xn
g1 x1 ,..., xn
gm x1 ,..., xn
1
.... m
0
x1
x1
x1
.....
f x1 ,..., xn
g1 x1 ,..., xn
gm x1 ,..., xn
1
.... m
0
xn
xn
xn
n本の式
m個の等式制約とあわせ
n+m個の変数
x1,..., xn , 1,..., m が決まる
ラグランジュ乗数法の説明(2変数1制約)
max f x, y st g x, y 0
レベル曲線(無差別曲
線) を描く
a0 a1 a2 a3
y
ここは、もっと
大きいが制約
を満たさない
f x, y a3
f x, y a2
C
制約を描くfの値が大きくなる
D
f x, y a1
f x, y a0
A
B
制約の下では、ここが最大
g x, y 0
fの値が大きくなる
x
y
f x, y a3
f x, y a2
制約の下では、ここが最大
f x, y a1
f x, y a0
A
傾きが等しい
g x, y 0
レベル曲線の傾きを求める
x
f x, y x a1
両辺を微分
f x x, y x f y x, y x y ' x 0
f x x, y
y ' x
f y x, y
レベル曲線の傾きを求める
f x, y x a1
両辺を微分
f x x, y x f y x, y x y ' x 0
同様に
f x x, y
y ' x
f y x, y
g x, y 0 に対応するレベル曲線の傾きは
g x x, y
g y x, y
傾きが一致する
f x x, y g x x, y
f y x, y g y x, y
f x x, y f y x, y
g x x, y g y x , y
f x x, y f y x, y
g x x, y g y x , y
ラグランジュ乗数法の結果と比べる
L f x, y g x, y ラグランジュアン
xとyで(偏)微分して0とおく
L
f x x, y g x x, y 0
x
L
f y x, y g y x , y 0
y
分母が0のときは、入れ替える
両方とも0だと困る
f x x, y gx x, y
f y x, y g y x, y
ラグランジュ乗数法の説明(一般的な場合)
記法は重たいがチェックは難しくない
max f x1,..., xn
st
g1 x1 ,..., xn 0,
.....
g m x1 ,..., xn 0
仮定
g1
x1
g1
x2
g1
xm
g 2
x1
g 2
x2
g 2
xm 0
g m
x1
g m
x2
g m
xm
必要ならば変数の
順番を入れ替える
どう並べ替えてもつぶ
れるケースは厄介
二変数で一制約で、双方の
偏導関数が0の場合が対応
陰関数定理を適用
g1 1 xm1 ,..., xn ,..., m xm1 ,..., xn , xm1 ,..., xn 0,
.....
g m 1 xm1 ,..., xn ,..., m xm1 ,..., xn , xm1 ,..., xn 0
を最初の点の近傍で満たす 1 xm1,..., xn ,..., m xm1,..., xn
が存在
g1 1 xm1 ,..., xn ,..., m xm1 ,..., xn , xm1 ,..., xn 0,
.....
g m 1 xm1 ,..., xn ,..., m xm1 ,..., xn , xm1 ,..., xn 0
両辺を微分
g1
x
1
g 2
x
1
g m
x
1
g1
x2
g 2
x2
g m
x2
g1 1
xm xm 1
g 2 2
xm
xm 1
g m m
xm
xm 1
1
xm 2
2
xm 2
m
xm 2
1
g1
x
xn
m 1
g 2
2
xn xm 1
m
g m
x
xn
m 1
g m
g1 1 g1 2
g1
... m
0
x1 xm1 x2 xm1
xm xm1 xm1
g1
xm 2
g 2
xm 2
g m
xm 2
などを纏めたもの
g1
xn
g 2
xn
g m
xn
極大(小)条件は
f 1 xm1,..., xn ,..., m xm1,..., xn , xm1,..., xn
の条件無し最適化
微分して0
f
x1
f
x2
1
x
m 1
2
f
xm 1
xm
m
x
m 1
1
xm 2
2
xm 2
m
xm 2
1
xn
2
f
xn
xm 1
m
xn
f 1
f 2
f m
f
...
0
x1 xm1 x2 xm1
xm xm1 xm1
f
xm 2
などを纏めたもの
f
xn
f
x1
f
x2
f
1 2
xm
g1
x
1
g 2
m x1
g m
x
1
最適化の条件から
f
xm 1
f
xm 2
f
f
xn
x1
f
x2
g1
x2
g 2
x2
g m
x2
1
x
m 1
2
f
xm 1
xm
m
x
m 1
g1
xm
g 2
xm
g m
xm
1
xm 2
2
xm 2
m
xm 2
となる
1 2
が存在
1
xn
2
xn
m
xn
m
f
xm 1
f
xm 2
f
f
xn
x1
f
x2
f
x1
1 2
g1
x
1
g 2
m x1
g m
x
1
g1
x2
g 2
x2
g m
x2
1
x
m 1
2
f
xm 1
xm
m
x
m 1
f
x2
1
xm 2
2
xm 2
m
xm 2
f
1 2
xm
g1 1
xm xm 1
g 2 2
xm
xm 1
g m m
xm
xm 1
1
xm 2
2
xm 2
m
xm 2
1
xn
2
xn
m
xn
g1
x
1
g 2
m x1
g m
x
1
1
xn
2
xn
m
xn
g1
x2
g 2
x2
g m
x2
g1
xm
g 2
xm
g m
xm
f
xm 1
f
xm 2
f
1 2
xn
g1
x
1
g 2
x
1
g m
x
1
1 2
g1
x
m 1
g 2
m xm 1
g m
x
m 1
g1
x2
g 2
x2
g m
x2
g1
xm 2
g 2
xm 2
g m
xm 2
g1
x
1
g 2
m x1
g m
x
1
g1 1
xm xm 1
g 2 2
xm
xm 1
g m m
xm
xm 1
g1
xn
g 2
xn
g m
xn
g1
x2
g 2
x2
g m
x2
1
xm 2
2
xm 2
m
xm 2
g1 1
xm xm 1
g 2 2
xm
xm 1
g m m
x
xm
m 1
1
g1
x
xn
m 1
g 2
2
xn xm 1
m
g m
x
xn
m 1
1
xm 2
1
xn
2
xn
m
xn
2
xm 2
m
xm 2
g1
xm 2
g 2
xm 2
g m
xm 2
g1
xn
g 2
xn
g m
xn
f
x1
f
x2
f
1 2
xm
と
f
xm 1
は
f
xm 2
f
1 2
xn
g1
x
1
g 2
m x1
g m
x
1
g1
x
m 1
g 2
m xm 1
g m
x
m 1
g1
x2
g 2
x2
g m
x2
g1
xm 2
g 2
xm 2
g m
xm 2
g1
xm
g 2
xm
g m
xm
g1
xn
g 2
xn
g m
xn
g m
g 2
f g1
1
2
... m
0, i 1,..., n
xi xi
xi
xi
と同じ
g m
g 2
f g1
1
2
... m
0, i 1,..., n
xi xi
xi
xi
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m
f x1 ,..., xn 1 g1 x1 ,..., xn .... m g m x1 ,..., xn
を 各 xi , i 1,..., n について微分して0
ラグランジュ乗数法
極大化の二階(十分)条件
縁付のヘッセ行列についての行列式についての条件
0
0
g1
x
1
g1
x
2
g1
x
n
0
g1
x1
g1
x2
0
g m
x1
g m
x2
g
m
x1
2 L
x12
2 L
x1x2
g m
x2
2
L
x2 x1
L
x2 2
g
m
xn
2 L
xn x1
2 L
xn x2
2
g1
xn
g m
xn
2
L
x1xn
2
L
x2 xn
2 L
xn 2
縁付のヘッセ行列
0
0
g1
x1
0
0
g m 0
x1
g
1
x1
g
m
x1
0
0
かつ
2 L
x12
g1
x1
g m
x1
調べてわかればOK
0
0
g1
x1
g1
x2
g1
xn
0
0
g m
x1
g m
x2
g m
xn
g1
x2
g m
x2 ,
0
0
g
1
x1
g
m
x1
2 L
x12
2 L
x1x2
g
1
x2
g
m
x2
2 L
x2 x1
2 L
x2 2
g1
,
x1
g
m
x1
2 L
x12
2 L
x1x2
2 L
x1xn
g
1
x2
g
m
x2
2 L
x2 x1
2 L
x2 2
2 L
x2 xn
g
1
xn
g
m
xn
2 L
xn x1
2 L
xn x2
2 L
xn 2
プラスとマイナスが一階おきに現れれば極大、すべてマイナスな
らば、極小
例1 家計の理論
n 財の数
x1 ,..., xn
各財の消費量
u x1,..., xn
連続微分可能
x ,..., x u x ,..., x u が
1
n
1
各
u0
n
0
について凸集合
uは準凹関数
家計の問題
u x1,..., xn
I
を
所得
p1 ,..., pn
を与えられたものとして
予算制約
p1 x1 .... pn xn I
で最大化
2財の場合
u x, y を px qy I
無差別曲線(レベル曲線の一種)
各
u0
に対して
を満たす
u x, y u0
x, y
の組合せ
の制約で最大化
無差別曲線の傾き
y x, u0
u0に対応する無差別曲線
u x, x, u0 u0
恒等式
両辺をxで微分
x, u0
ux x, x, u0 u y x, x, u0
0
x
x, u0 u x x, x, u0
x
u y x, x, u0
限界代替率
x, u0 u x x, x, u0
x
u y x, x, u0
限界的にxの消費を減らしたときに
効用を一定にするために、必要な、
yの増加量
第2財の第1財で計った限界代替率
無差別曲線の傾き
x, y u x, y u
0
が凸集合だと右の形
消費者選択
予算制約
px qy I
I
q
の下での効用最大化
B
D
予算線と無差別曲線の接点Aが解
A
予算線と無差別曲線の傾きが等しい
C
I
p
I p
y x
q q
x, u0 ux x, y p
x
u y x, y q
消費者選択(ラグランジュ乗数法)
限界代替率=価格比が機械的に出る
max u x, y
ラグランジュアン
st px qy I
L u x, y px qy I
ux x, y p
u y x, y q
両辺をxとyで微分して0とおく
L u x, y
p 0
x
x
L u x, y
q 0
y
y
ux x, y p
uy x, y q
消費者選択(n財のケース)
max u x1,..., xn
限界代替率=価格比
st p1 x1 .... pn xn
ラグランジュアン
が任意のペアにつ
I いて成立
L u x1,..., xn p1x1 .... pn xn I
x1 ,...., xn で微分して0とおく
L u x1 ,..., xn
pi 0
xi
xi
u x1 ,..., xn
ui x1 ,..., xn pi
xi
ui x1 ,..., xn pi
u j x1 ,..., xn p j
例2消費者選択(Cobb Douglas 効用関数)
max u x, y x y
st px qy I
1
ラグランジュアン
1
Lx y
px qy I
xとyで微分して0とおく
L
1 1
x y p 0
x
L
1 x y q 0
y
x
p
1 1
y
1 x
y
q
x
1 1
y
1 x
x
p
y
x y
1
x y
px qy I
代入
1
x y
I
I px
1 I qy
px
1
1
x
y qy
q y
1
α、1-αは支出割合
n財のケース
max x1 x2 ....xn i 1 xi
Σが和でΠは積
st p1 x1 .... pn xn I
1
n
2
n
i
ラグランジュアン
L x1 x2 ....xn p1x1 .... pn xn I
x1 ,...., xn で微分して0とおく
1
n
2
L
j x j 1
x j
j xj
1
n
i
x
i1 i p j 0
n
x
i 1 i
i
p
j
j xj
1
n
x
i
i 1 i
p
j
j
x j
j 1 j
n
x
n
i
i 1 i
j 1 p j x j I
n
i
x
i1 i
n
代入
j I pj xj
i
x
i1 i p j x j
n
I
n
j 1
j 1
i
x
i 1 i
n
例3 効用関数の序数性
max u x1,..., xn
st p1 x1 .... pn xn I
の解を
1
n
とし
を厳密な増加関数とすると
x ,..., x は
1
x ,..., x
n
max u x1,..., xn
st p1 x1 .... pn xn I
の解
対数線形効用関数
1
2
n
max x1 x2 ....xn
と
1
2
st p1 x1 .... pn xn I
max ln x1 x2 ....xn
n
n
i 1
i ln xi
st p1 x1 .... pn xn I
は同じ
max i 1 i ln xi
n
st p1 x1 .... pn xn I
ラグランジュアン
L i 1 i ln xi p1 x1 .... pn xn I
n
x1 ,...., xn
L i
pi 0
xi xi
で微分して0とおく
i pi xi
1 i 1 i i 1 pi xi I
n
このほうが簡単に出る
n
i I pi xi
1
I
経済学へのラグランジュ乗数法の適用
• 前のスライドのように明確に解ける例は、少
ない
• 「家計は、限界代替率と価格比を等しくする」
というタイプの命題
• ありがたみが理解しにくい。
一階の条件と比較静学
• 目的関数と制約がパラメータに依存し、その
変化によって変わるというとき、最適解が如
何に変化するか
max f x1,..., xn ,1,..., k
st
g1 x1 ,..., xn , 1 ,..., k 0,
.....
g m x1 ,..., xn , 1 ,..., k 0
ラグランジュアン
1 ,..., k
パラメーター
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m ; 1 ,..., k
f x1 ,..., xn , 1 ,..., k
1 g1 x1 ,..., xn , 1 ,..., k .... m g m x1 ,..., xn , 1 ,..., k
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m ; 1 ,..., k
f x1 ,..., xn , 1 ,..., k
1 g1 x1 ,..., xn , 1 ,..., k .... m g m x1 ,..., xn , 1 ,..., k
x1 ,..., xn で微分して0とおき一階の条件を求める
f x1 ,..., xn , 1 ,..., k
g1 x1 ,..., xn , 1 ,..., k
g m x1 ,..., xn , 1 ,..., k
1
.... m
0
x1
x1
x1
.........
f x1 ,..., xn , 1 ,..., k
g x ,..., xn , 1 ,..., k
g x ,..., xn , 1 ,..., k
1 1 1
.... m m 1
0
xn
xn
xn
f x1 ,..., xn , 1 ,..., k
g1 x1 ,..., xn , 1 ,..., k
g m x1 ,..., xn , 1 ,..., k
1
.... m
x1
x1
x1
.........
f x1 ,..., xn , 1 ,..., k
g1 x1 ,..., xn , 1 ,..., k
g m x1 ,..., xn , 1 ,..., k
1
.... m
xn
xn
xn
一階の条件(n本)
g1 x1 ,..., xn , 1 ,..., k 0,
.....
制約(m本)
g m x1 ,..., xn , 1 ,..., k 0
i について微分すると
xn 1
m
x1
,...,
,
,...,
についての nm本の連立方程式
i
i i
i
全部を
これを解くと最適化する変数に対するパラメータの変化の限界的
な効果が得られる
例 費用関数
min rK wL
st F K , L Y
生産量を一定にして、費用最小化
ラグランジュアン
rK wL F K , L Y
ラグランジュアン
rK wL F K , L Y
KとLで(偏)微分して0
r FK K , L
w FL K , L
一階の条件
FK , FL
偏導関数
rの変化の効果を見る
F K , L Y
r FK K , L
w FL K , L
rで(偏)微分
制約
一階の条件
λも変化することを
忘れないこと
K
L
FK K , L
FL K , L
0
r
r
K
L
1
FK K , L FKK K , L
FKL K , L
r
r
r
K
L
0
FL K , L FLK K , L
FLL K , L
r
r
r
K
L
FK K , L
FL K , L
0
r
r
K
L
1
FK K , L FKK K , L
FKL K , L
r
r
r
K
L
0
FL K , L FLK K , L
FLL K , L
r
r
r
K L
,
,
r r r
について解くとr (資本賃料)の上がる効果が
得られる
一般の場合はややこしい
生産関数が一次同次のときは次次章
非線形計画法とクーン・タッカー条件
max f x1,..., xn
st
g1 x1 ,..., xn 0,
.....
制約が不等号
g m x1 ,..., xn 0
この問題が非線形計画法(non linear
programming)
m<nは仮定しない⇒普通は有効な制約はnより小さい
目的と制約がすべて一次式なのは線形計画
法で、シンプレックス法で解く
ラグランジュアン
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m f x1 ,..., xn
1 g1 x1 ,..., xn .... m g m x1 ,..., xn
各変数で微分して0とおく
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m f x1 ,..., xn
x1
x1
g1 x1 ,..., xn
g m x1 ,..., xn
1
.... m
0
x1
x1
....
L x1 ,..., xn ; 1 ,..., m f x1 ,..., xn
xn
xn
g1 x1 ,..., xn
g m x1 ,..., xn
1
.... m
0
xn
xn
f x1 ,..., xn
g1 x1 ,..., xn
g m x1 ,..., xn
1
.... m
0
x1
x1
x1
....
f x1 ,..., xn
g x ,..., xn
g x ,..., xn
1 1 1
.... m m 1
0
xn
xn
xn
この一階の条件以外に、以下のスラック条件が出る
g1 x1 ,..., xn 0, 1 0, 1 g1 x1 ,..., xn 0
.....
g m x1 ,..., xn 0, m 0, m g m x1 ,..., xn 0
スラック条件
g1 x1 ,..., xn 0, 1 0, 1 g1 x1 ,..., xn 0
.....
g m x1 ,..., xn 0, m 0, m g m x1 ,..., xn 0
i 0 gi x1,..., xn 0
制約が有効
gi x1,..., xn 0 i 0 制約が無効
ラグランジュ乗数の意味と制約の有効無効
max x1 ,..., xn f x1,..., xn
st
g1 x1 ,..., xn T1 ,
.....
g m x1 ,..., xn Tm
v T1,..., Tm
最大値の値
v T1 ,..., Tm
i
Ti
v T1 ,..., Tm
i
Ti
ラグランジュ乗数は、制約が限界的にゆるんだとき
の目的関数の増加
スラック条件
i 0 gi x1,..., xn Ti 制約が有効
制約が限界的
に緩むと目的
関数が増える
制約が限界的
gi x1,..., xn Ti i 0 制約が無効
に緩んでも目
的関数は増え
ない
gi x1,..., xn Ti & i 0 の場合は、排除できないが、実際は少ない
非線形計画法について
• 一階の条件とスラック条件が必要条件であるための
条件、十分条件であるための条件は複雑
十分条件
x1 ,..., xn ; 1 ,..., m
x1 ,..., xn
必要条件
ある
x1 ,..., xn
1 ,..., m
が一階の条件とスラック条件を満たす
が解
が解
があって
x1 ,..., xn ; 1 ,..., m
が一階の条件とスラック条件を満たす
非線形計画法について
• 一階の条件とスラック条件が必要条件であるための
条件、十分条件であるための条件は複雑
• 必要条件は関数と制約が行儀がいい以外、制約想
定という付加的な条件が必要
• 微妙なときに教科書をしらべればいい。
• 例 マンガサリアンの「非線形計画法」
• 実際は複雑な場合わけ
例
max u x, y 2 x 1 2 y 1
px qy I , x 0, y 0
ラグランジュアン
2 x 1 2 y 1 px qy I x x y y
符号の向きに注意
xとyで微分して0とおく
1
p x ,
x 1
1
q y
y 1
1
1
p x ,
q y
x 1
y 1
一階の条件
スラック条件
0, x 0, y 0
xx 0, y y 0
両辺にxとyをかけて加える
px qy I 0
x
x 1
y
px qy x x y y
y 1
x
x 1
y
I
y 1
x
x 1
y
I
y 1
0 x y 0
x 0, y 0
1
1
p x ,
q y
x 1
y 1
x y 1
x 0, y 0
と矛盾
0
0
px qy I 0
px qy I
ケース1
x 0, y 0
xx 0, y y 0
x y 0
1
1
p x ,
q y
x 1
y 1
1
1
p,
q
x 1
y 1
1
1
p,
q
x 1
y 1
1
1
x 2 2 1, y 2 2 1
p
q
px qy I
p
q
1 1 1
px qy 2 2 p 2 2 q 2 p q I
p
q
p q
1 1
1
,
I pq p q
1
1
x
I p q 1, y
I p q 1
1
1
2 1
2 1
p
q
p q
p q
ケース2
I
y
q
x 0, y 0
px qy I
1
1
p x ,
q y
x 1
y 1
1
1 p x ,
q
I
1
q
1
,
I
q
1
q
p
x p 1
I
q
1
q
yy 0 y 0
p
q I q
1 0
p q I q
ケース3
対称性から
q
p I p
なら
I
y 0, x
p
まとめると
I
p q I q なら x 0, y
q
I
y 0, x
q p I p なら
p
それ以外なら
x
1
I p q 1,
1
2 1
p
p q
y
1
I p q 1
1 1
p2
p q