8.包絡線定理とその応用
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Transcript 8.包絡線定理とその応用
包絡線
• 「ほうらくせん」と読む。包括線や包路線では
ない
• 一連の曲線の一番外側を覆う曲線
f x, t x0
f x, t x1
g x
x0
x1
f x, t
x:変数、t:パラメータ
g x
:各 x ごとの
f x, t の最小値
g x mint f x, t
g x mint f x, t
t x
各xごとに最小値を与えるt
g x f x, t x f x, t
各関数がすべて微分可能として、xに
ついて微分
f x, t x f x, t x
g ' x
t ' x
x
t
f x, t x f x, t x
g ' x
t ' x
x
t
最小化の必要条件
f x, t x
0
t
f x, t x
g ' x
x
f x, t x
g ' x
x
f x, t x0
f x, t x1
右図になる
傾きが等しい
g x
包絡線
x0
x1
包絡線定理について
•
•
•
•
毎回制約を微分するなどすれば出る
重要な応用がある
ラグランジュ乗数の意味
シェファードの補題、ホテリングの補題、Roy
の法則(中級ミクロ経済学の主要命題)
制約を含むときの包絡線定理
max f x1,..., xn , t
st
g1 x1,..., xn , t 0
.....
gm x1 ,..., xn , t 0
各制約がパラメータtに依存しているとする。
行儀がよくて、各tに対して、ラグランジュ乗数法で一意の解
x1 * t ,..., xn * t , 1 * t ,..., m * t
が存在し、微分可能だとする。
x1 * t ,..., xn * t , 1 * t ,..., m * t
をラグランジュアンに代入すると
L x1 * t ,..., xn * t ; 1 * t ,..., m * t , t
f x1 * t ,..., xn * t , t 1 * t g1 x1 * t ,..., xn * t , t
.... m * t gm x1 * t ,..., xn * t , t
微分すると、合成関数微分でパスに注意すると次のスライド
dL x1 * t ,..., xn * t ; 1 * t ,..., m * t , t
dt
f x1 * t ,..., xn * t , t
g1 x1 * t ,..., xn * t , t
1 * t
t
t
gm x1 * t ,..., xn * t , t
.... m * t
t
f x1 * t ,..., xn * t , t
g1 x1 * t ,..., xn * t , t
1 * t
x1
x1
結局ここが残
る
gm x1 * t ,..., xn * t , t dx1 * t
.... m * t
x1
dt
ラグランジュ乗
数法により0
...
f x1 * t ,..., xn * t , t
g1 x1 * t ,..., xn * t , t
1 * t
xn
xn
gm x1 * t ,..., xn * t , t dxn * t
.... m * t
xn
dt
d 1 * t
d * t
g1 x1 * t ,..., xn * t , t .... m
gm x1 * t ,..., xn * t , t
dt
dt
制約により0
dL x1 * t ,..., xn * t ; 1 * t ,..., m * t , t
dt
f x1 * t ,..., xn * t , t
g x * t ,..., xn * t , t
1 * t 1 1
t
t
gm x1 * t ,..., xn * t , t
.... m * t
t
と
L x1 * t ,..., xn * t ; 1 * t ,..., m * t , t
f x1 * t ,..., xn * t , t
1 * t g1 x1 * t ,..., xn * t , t
.... m * t gm x1 * t ,..., xn * t
制約により0
f x1 * t ,..., xn * t , t
から次のスライドの式が成立する
df x1 * t ,..., xn * t , t dL x1 * t ,..., xn * t ; 1 * t ,..., m * t
dt
dt
f x1 * t ,..., xn * t , t
g1 x1 * t ,..., xn * t , t
1 * t
t
t
gm x1 * t ,..., xn * t , t
.... m * t
t
限界的なパラメータの変化が、目的関数の変化に与え
る影響
x1 * t ,..., xn * t , 1 * t ,..., m * t
の変化を通じた間接的な効果が無視できる。
制約のないときと制約にパラメータが入らないときは
df x1 *t ,..., xn * t , t f x1 * t ,..., xn * t , t 経済学的に有用
dt
t
制約のないときと制約にパラメータが入らないとき
df x1 *t ,..., xn * t , t f x1 * t ,..., xn * t , t
dt
t
積分する
f x1 * t1 ,..., xn * t1 , t1 f x1 * t0 ,..., xn * t0 , t0
t1
t0
f x1 * t ,..., xn * t , t
dt
t
ミルグロムのオークションの本で繰り返し使われる
パラメータが複数のとき
t1,..., t p
ti
f x1*,..., xn *, t1,..., t p
g1 x1 *..., xn *, t1,..., t p
1 *
ti
ti
gm x1*,..., xn *, t1,..., t p
.... m *
ti
制約のないときと制約にパラメータが入らないとき
t1,..., t p f x1*,..., xn *, t1,..., t p
ti
ti
ラグランジュ乗数の意味
max f x1,..., xn
の代わりに
max f x1,..., xn
を考える
st
g1 x1 ,..., xn 0,
.....
gm x1 ,..., xn 0
st
g1 x1 ,..., xn T1,
.....
gm x1 ,..., xn Tm
max f x1,..., xn
ラグランジュアン
st
g1 x1 ,..., xn T1,
.....
gm x1 ,..., xn Tm
L x1 ,..., xn ; 1,..., m ; T1,..., Tm
f x1 ,..., xn
1 g1 x1 ,..., xn T1 .... m gm x1,..., xn Tm
L x1 ,..., xn ; 1,..., m ; T1,..., Tm
f x1 ,..., xn
1 g1 x1 ,..., xn T1 .... m gm x1,..., xn Tm
包絡線定理を用いてT1 について、微分する
df x1,..., xn dL x1,..., xn ; 1,..., m ; T1,..., Tm
dT1
dT1
L x1 ,..., xn ; 1,..., m
T1
m gm x1,..., xn Tm
f x1,..., xn 1 g1 x1 ,..., xn T1
....
T1
T1
T1
各ラグランジュ乗数は、制約が限界的に変化
1
したとき、目的関数が、限界的に如何に変化
するかを示す
例 所得の限界効用とロワのルール
家計問題
max u x1,..., xn
st p1x1 .... pn xn I
ラグランジュアン
L u x1,..., xn p1x1 .... pn xn I
行儀がよければ、
x1,..., xn で微分した式と予算制約から
最大値を与える一意の x1 ,..., xn , がある。
最大値を与える一意の
p1,..., pn , I
x1,..., xn ,
がある。
が決まると決まる(変化すると変化する)
x1 p1,..., pn , I ,..., xn p1,..., pn , I
需要関数
効用関数に代入
v p1 ,..., pn , I
u x1 p1 ,..., pn , I ,..., xn p1,..., pn , I
間接効用関数
L u x1,..., xn p1x1 .... pn xn I
包絡線定理を用いてIについて、微分する
v p1 ,..., pn , I du x1 p1,..., pn , I ,..., xn p1,..., pn , I
I
dI
u x1 ,..., xn p1x1 .... pn xn I
I
ラグランジュ乗数の意味と同じ計算
予算制約のラグランジュ乗数は、所得の限界効用
L u x1,..., xn p1x1 .... pn xn I
包絡線定理を用いてp1について、微分する
v p1,..., pn , I du x1 p1,..., pn , I ,..., xn p1,..., pn , I
p1
dp1
L u x1,..., xn p1x1 .... pn xn I
p1
p1
x1
v p1,..., pn , I
I
x1 p1,..., pn , I
v p1,..., pn , I
p1
v p1,..., pn , I
I
v p1,..., pn , I
x1
p1
v p1,..., pn , I
p1
ロワのルール
ロワのルールの意味
v p1,..., pn , I
pi
xi p1,..., pn , I
, i 1,..., n
v p1,..., pn , I
I
• 一本しかない間接効用関数が
n個の需要関数の情報をすべて含んでいる
間接効用関数は選好に関する情報をすべて含
んでいる
家計の双対問題
2財のと き
max x1 ,x2 u x1, x2 s.t. p1x1 p2 x2 I
主問題
予算制約の下での効用の最大化
双対問題
minx1,x2 p1x1 p2 x2 s.t. u x1, x2 u
一定の効用を確保する と き の最小所得
I
I'
A
H
B
max x1 ,x2 u x1, x2 s.t. p1x1 p2 x2 I
minx1,x2 p1x1 p2 x2 s.t. u x1, x2 u
一般の場合の双対問題
max x1,x2 ,...., p1x1 .... pn xn s.t. u x1,..., xn u
解は補償需要関数
xi Di p1,...., pn , u , i 1,..., n
最小値は支出関数
Ei p1,...., pn , u
p1 D1 p1,...., pn , u ... pn Dn p1,...., pn , u
シェファードの補題
Ei p1,...., pn , u p1 D1 p1,...., pn , u ... pn Dn p1,...., pn , u
制約 u x1,..., xn u にp1,...., pnが入っていない
包絡線定理を用いてp1について、微分する
Ei p1,...., pn , u
pi
D p ,...., p , u
i
1
n
タバコを100本吸っている人の支出は効用を確保し
ようとするときタバコが1円高くなると100円多くなる
スルツキー方程式の導出
行儀がいいと 、 需要=補償需要
Di p1,...., pn , u Di p1,..., pn , Ei p1,...., pn , u
Di p1,...., pn , u
p j
p jで微分
Di p1,..., pn , Ei p1,...., pn , u
p j
D p ,..., p , E p ,...., p , u E p ,...., p , u
i
1
n
i
1
n
i
1
I
n
p j
シェ ファ ード の補題
Di p1,..., pn , Ei p1,...., pn , u
p j
D p ,..., p , E p ,...., p , u D
i
1
n
i
I
1
n
j
p ,...., p , u
1
n
スルツキー方程式の導出(続き)
Di p1,...., pn , u
p j
D p ,..., p , E p ,...., p , u D p ,..., p , E p ,...., p , u D p ,...., p , u
i
1
n
i
1
n
i
p j
1
n
i
n
j
I
移項
Di Di Di
Dj
p j p j I
1
所得効果
代替効果
1
n
Di
0 : 正常財
I
Di
0 : 劣等財
I
Di
0 : 代替財
p j
Di
0 : 補完財
p j
代替効果の対称性
Di p1,...., pn , u
p j
Ei p1,...., pn , u
p j
pi
2 Ei p1,...., pn , u
Ei p1,...., pn , u
pi
p j
pi
シェファードの補題
pip j
D j p1,...., pn , u
ヤングの定理
シェファードの補題
費用関数
2 要素の例
K : 資本投入 L : 労働投入
y F K , L : 生産関数
rK wL s.t y F K , L
解は投入関数K y, r, w , L y, r, w
最小値は費用関数
C y, r, w rK y, r, w wL y, r, w
シェファードの補題
C y, r, w rK y, r, w wL y, r, w
制約 y F K, L にr, wが入っていない
包絡線定理を用いてr,wについて、微分する
C y, r, w
C y, r, w
K y, r, w ,
L y, r, w
r
w
一般の場合の費用関数
y1, y2 ,..., ym : 産出ベク ト ル
x1, x2 ,..., xn : 投入ベク ト ル
費用q1x1 q2 x2 ... qn xnを技術制約の下で最小化
解は投入関数
x1 y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn ,..., xn y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn
最小値は費用関数
C y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn
q1x1 y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn ... qn xn y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn
一般の場合のシェファード補題
最小値は費用関数
C y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn
q1x1 y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn ... qn xn y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn
技術制約に投入価格q1, q2 ,..., qnが入っていない
包絡線定理を用いてqiについて、微分する
C y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn
xi y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn
qi
シェファード補題の意味
C y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn
xi y1, y2 ,..., ym , q1, q2 ,..., qn
qi
• 生産にガソリンを10000リットル使うとき、ガソ
リンがリットルあたり1円あがると費用が
10000円弱上がる
費用関数が技術に関する情報をすべて含んで
いることを意味する
一般の利潤最大化問題
p1, p2 ,..., pm : 産出価格ベク ト ルq1, q2 ,..., qn : 投入価格ベク ト ル
y1, y2 ,..., ym : 産出ベク ト ル q1, q2 ,..., qn : 投入ベク ト ル
p1 y1 p2 y ... pm ym q1x1 ... qn xn : 利潤
net putで表す
zi yi : 産出
zi xi : 投入
p1z1 p2 z2 ... pr zr : 利潤
一般の利潤最大化問題(続き)
p1z1 p2 z2 ... pr zr : 利潤
利潤を技術的制約の下で最大化
解は産出の供給関数と 投入の需要関数
z1 p1, p2 ,..., pm , z2 p1, p2 ,..., pm ,..., zr p1, p2 ,..., pm
最大値は利潤関数
p1, p2 ,..., pm
p1z1 p1, p2 ,..., pm z2 p1, p2 ,..., pm ... pr zr p1, p2 ,..., pm
ホテリングの補題
最大値は利潤関数
p1 , p2 ,..., pm
p1 z1 p1 , p2 ,..., pm p2 z2 p1, p2 ,..., pm ... pr zr p1, p2 ,..., pm
技術制約に価格p1, p2 ,..., pnが入っていない
包絡線定理を用いてpiについて、微分する
p1, p2 ,..., pm
zi p1, p2 ,..., pm , i 1,..., r
pi
利潤関数生産技術についての情報をすべて
含んでいる
一般的なCES生産関数の例
1
n
min y qi xi , s.t. y i xi
i 1
i 1
n
ラグランジュアン
1
n
n
L qi xi i xi y
i 1
i 1
一階の条件(微分して0)
L
1
qi i xi
xi
i 1
n
1
1
i xi 1 0
L
1
qi i xi
xi
i 1
n
1
1
i xi 1 0
n
x
y
ii
i 1
1
qi y
xi 1 y1i xi 1
両辺を
qi
1
xi qi
1
1
1
y i
1
1
yi
1
1
1
乗
xi
qi
1
1
1
1
i
1
1
y
xi qi
1
1
1
1
yi
1
qi
1
1
1
1
i
1
1
y
両辺を 乗し て iを かけて加える
n
n
i 1
i 1
y i xi i qi
y
n
1
i 1
i
i 1
n
1
1
qi
1
1
1
i
1
qi
1
1
1
i
y
1
y
n
1
i 1
xj qj
j
1
1
1
1
qj
1
1
i
qi
1
n
1
1
1
i qi
i 1
1
1
1
n 11 1
i qi
i 1
1
1
1
y
j
1
1
j
y
1
1
qj
1
1
1
n 11 1
i qi
i 1
y
要素需要関数の同次性
j
1
1
q
j
1
1
1
j
1
1
qj
1
1
qj
1
1
1
n
1
1
1 q 1
i
i
i
1
1
1
1
1
1
j
y
n
1
1
1 q
i
i 1 i
1
1
1
1
n 11 1
i qi
i 1
y
j
1
1
qi
1
1
1
n 11 1
i qi
i 1
y
y
1
1
j
1
1
qj
1
1
1
1 n 11 1
i qi
i 1
y
費用関数
n
C q1 ,.., qn , y q j x j q j
j 1
1
1
n
q
j 1
j
j
qj
j 1
1
1
1
y
n
j
j 1
qj
j 1
1
y
n 11 1
i qi
i 1
j
qj
1
1
1
n
y j
j 1
qj
1
j 1
y
1
1
1
1
1
n
n 11 1
i qi
i 1
1
1
qj
1
1
1
1
1
n
n 11 1
i qi
i 1
1
1
j
n
1
1
j
qj
1
1
n 11 1
i qi
i 1
1
y
y
費用関数の同次性
n 11
C q1 ,.., qn , y j q j 1
j 1
1 n 11 1
qj
j
j
1
1
n
y j
j 1
1
1
1
y
qj
1
y
シェファードレンマ
1
n
1
C q1 ,.., qn , y
1
1
q
j
j
qi
qi j 1
1
n
1
1
1
j q j
j 1
1
1
1
i
1
1
y
1 1
qi
y
1
n 11 1 11 11
j q j
qi y xi
i
j 1
ラグランジュ乗数の意味
C q1 ,.., qn , y
j
j 1
y
n
1
1
qj
1
1