Transcript Chap52

情報数学１ 第5-2章
命題論理式の
同値変形とカルノー表
香川大学工学部 富永浩之
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概
要
■ 論理演算の同値公式
交換律・結合律・冪等律 吸収律・分配律・反転律
対合律・同一律・相補律・境界律
■ 論理式の同値変形
含意律
■ 除法定理と整除演算
リテラル
節(リテラル積)
積和形式
■ カルノー表と選言標準形
完全選言標準形
極小選言標準形
第01節 [1] 論理式の同値性
● 論理式の同値性
論理式に現れる全ての命題変数に対して、
どのように真偽値の割当を与えても、常に真偽値が等しくなるような
2つの論理式 P,Q を同値[equivalent]な論理式といい、 P ⇔ Q と表す。
● 同値な論理式
同値な論理式は、真偽値の計算において同一視できる。
2つの論理式の真偽値が一致するという関係としての同値 ⇔ と、
1つの論理式の中の論理演算としての同値 △ を混同しない。
第01節 [1] 論理式の同値性
● カルノー表と論理式の同値性
2つの論理式の同値性を調べるには、
真偽値表としてカルノー表を描いて、両者が一致することを確認すればよい。
第01節 [1] 論理式の同値変形
● 論理式の同値変形
ある論理式を、それと同値な別の論理式に置き換えることを同値変形という。
論理式の性質は、真偽値のカルノー表から調べることができるが、
命題変数の個数が増え、論理式が複雑になると、非常に煩雑な処理となる。
同値変形により、真偽値が求めやすい同値式にすれば、処理が効率化される。
● 論理式の同値変形
一般に、ある論理式中の部分式をそれと同値な論理式に
置き換えても、真偽値は全く変わらない。
すなわち、元の論理式と同値な論理式になっている。
したがって、基本的な同値変形の公式を見つけておけば、
それらを繰り返し適用することで、様々な同値変形が可能になる。
第01節 [2] 論理演算の基本的な同値公式
名称
交換律
commutative
結合律
associative
冪等律
idempotent
吸収律
absorptive
分配律
連言・恒偽
Ａ∧Ｂ ⇔ Ｂ∧Ａ
選言・恒真
Ａ∨Ｂ ⇔ Ｂ∨Ａ
Ａ∧(Ｂ∧Ｃ) ⇔ (Ａ∧Ｂ)∧Ｃ
Ａ∨(Ｂ∨Ｃ) ⇔ (Ａ∨Ｂ)∨Ｃ
括弧は省略可能
括弧は省略可能
Ａ∧Ａ ⇔ Ａ
Ａ∨Ａ ⇔ Ａ
Ａ∧(Ａ∧Ｂ) ⇔ Ａ
Ａ∨(Ａ∨Ｂ) ⇔ Ａ
Ａ∧(Ｂ∨Ｃ) ⇔ (Ａ∨Ｂ)∧(Ａ∨Ｃ)
Ａ∨(Ｂ∧Ｃ) ⇔ (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｃ)
￢(Ａ∧Ｂ) ⇔ (￢Ａ)∨(￢Ｂ)
￢(Ａ∨Ｂ) ⇔ (￢Ａ)∧(￢Ｂ)
ド・モルガン律
ド・モルガン律
distributive
反転律
inversion
対合律
￢(￢Ａ) ⇔ Ａ
involution
同一律
identity
相補律
complemental
境界律
boundary
Ａ∧⊥ ⇔ ⊥
Ａ∧Ｔ ⇔ Ａ 恒真は連言の単位元
Ａ∧(￢Ａ) ⇔ ⊥ 矛盾律
Ａ∨⊥ ⇔ Ａ 矛盾は選言の単位元
Ａ∨Ｔ ⇔ Ｔ
Ａ∨(￢Ａ) ⇔ Ｔ 排中律
￢⊥ ⇔ Ｔ
Ａ∨(￢Ａ) ⇔ Ｔ
第01節 [2] 論理演算の基本的な同値公式
● 同値変形の過程
論理式の同値変形においては、数式の等式変形と同様に、
どの部分式に着目し、どの同値公式を用いるかを間違えないようにする。
同値変形の過程を示すときは、適用した同値公式を明記する。
より詳細には、どの部分式を抜き出したか、部分式をどう置き換えたか、
結果を元の式にどう戻したか、も確認する。
また、交換律や結合律、括弧の省略と補足による同値変形も書き出してみる。
P∧Q∧(R∨P∨S)
⇔
; 交換律
Q∧P∧(P∨R∨S)
⇔
; 結合律
Q∧(P∧(P∨(R∨S)))
⇔
Q∧(P∧(P∨(R∨S)))
P∧(P∨(R∨S))
; 吸収律
P
Q∧ P
Q∧P
; 吸収律
P∧(P∨(R∨S))
A≡P, B≡R∨S
吸収律
P
とおく
A∧(A∨B) ⇔ A
A≡P に戻して
第05節 [1] 論理式の同値変形
● 標準化と標準形
命題論理式の真偽値の判定などを容易に行うため、扱い易い形式に同値変形する。
これを標準形[normal form]といい、標準形への変換を標準化[normalization]という。
標準形には、数式の展開に相当する選言標準形と、
因数分解に相当する連言標準形の2通りがある。通常は、選言標準形を考える。
さらに、完全選言標準形と極小選言標準形がある。
なお、標準形は式の意味を考える上で便利な形であり、
必ずしも最も簡単な式であるとは限らない。
論理式の標準化は、論理代数における簡単化と同等の操作である。
● カルノー表からの論理式の構成
命題変数のカルノー表が与えられたとき、
それが表す命題論理式を選言標準形で求める問題を考える。
カルノー表の矩形領域が、命題変数に対するドントケア表記に対応する
ことを利用する。
第07節 [1] 環和に対する同値性
● 環和の換言律と対角律
○ 換言律
○ 対角律
○ 含意による表現
A▽B ⇔ (A∧￢B)∨(￢A∧B)
A▽B ⇔ (A∨B)∨(￢A∨￢B)
A▽B ⇔ (A→￢B)∧(￢A→B)
● 環和の否定
○ 環和の否定
○ 環和の否定
○ 含意による表現
￢(A▽B) ⇔ (A∧B)∨(￢A∧￢B)
￢(A▽B) ⇔ (￢A∨B)∧(A∨￢B)
￢(A▽B) ⇔ (A→B)∧(B→A)
● 環和の交換律と結合律
○ 交換律
A▽B ⇔ B▽A
○ 結合律
A▽(B▽C) ⇔ (A▽B)▽C
A▽B▽C ⇔ (A∧￢B∧￢C)∨(￢A∧B∧￢C) ∨(￢A∧￢B∧C)
第07節 [2] 環和に対する同値性
● 環和と命題定数
○ 冪等律 A▽A ⇔ ⊥
○ 相補律 A▽￢A ⇔ Ｔ
○ 同一律 A▽⊥ ⇔ A
A▽Ｔ ⇔ ￢A
● 環和の否定
○ 吸収律 A▽(A▽B) ⇔ A
○ 反転律 ￢(A▽B) ⇔ ￢A▽B ⇔ A▽￢B
● 環和の交換律と結合律
○ 肯定分配律
○ 否定分配律
(A∧B)▽(A∧C) ⇔
A∧(B▽C)
(A∨B)▽(A∨C) ⇔ ￢A∧(B▽C)
A0
A1
C0 C1 C1 C0
B0
1
B1
0 1
A0
A1
C0 C1 C1 C0
B0
1 0 0
B1 1 0 0 0