Computer Vision: Motion
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Transcript Computer Vision: Motion
Aperture problemを解決しよう(続き3)
画像ノイズの影響を減らし、安定した解を得るために、
動きを計算したい画素を中心とする 5x5の画素 の動きが
全部同じとすれば、下記の25個の方程式が得られる
I x ( p1 )u I y ( p1 )v I ( p1 )
I ( p )u I ( p )v I ( p )
x 2
y
2
2
I x ( p25 )u I y ( p25 )v I ( p25 )
ここで、
I
I x x
I
I y
y
Aperture problemを解決しよう(続き4)
2個の未知数u,vが25個の方程式を満たすことはできない。
ここで、u,vが与えられたときの各方程式の2乗誤差の和を考
えよう。
E (u, v ) I x ( pi )u I y ( pi )v I ( pi )2
25
i 1
Eを最小になるu,vは、以下の条件式を満たす必要がある。
E
u 0
E
0
u
Aperture problemを解決しよう(続き5)
E (u, v ) I x ( pi )u I y ( pi )v I ( pi )2
25
i 1
Eを最小にする条件式を展開すると、
25
E
u 2 I x ( pi )u I y ( pi )v I ( pi ) I x ( pi ) 0
i 1
E
25
2 I x ( pi )u I y ( pi )v I ( pi ) I y ( pi ) 0
u
i 1
Aperture problemを解決しよう(続き6)
E
0 を次のように書き換えることができる。
u
I x ( p1 )u I y ( p1 )v I ( p1 )
E
2I x ( p1 ) I x ( p25 )
u
I x ( p25 )u I y ( p25 )v I ( p25 )
I x ( p1 )
E
2
u
I x ( p25 )
T
I x ( p1 ) I y ( p1 )
I ( p1 )
u
0
v
I
(
p
)
I
(
p
)
I
(
p
)
x
25
y
25
25
Aperture problemを解決しよう(続き7)
E
0
従って、 u
は次のようになる。
E
0
u
I x ( p1 )
E
2
u
I x ( p25 )
T
I y ( p1 )
E
2
v
I y ( p25 )
I x ( p1 ) I y ( p1 )
I ( p1 )
u
0
v
I
(
p
)
I
(
p
)
I
(
p
)
x
25
y
25
25
T
I x ( p1 ) I y ( p1 )
I ( p1 )
u
0
v
I
(
p
)
I
(
p
)
I
(
p
)
x
25
y
25
25
Aperture problemを解決しよう(続き8)
I x ( p1 )
E
2
u
I x ( p25 )
T
I x ( p1 ) I y ( p1 )
I ( p1 )
u
0
v
I ( p25 )
I x ( p25 ) I y ( p25 )
T
I x ( p1 ) I y ( p1 )
I ( p1 )
u
0
v
I
(
p
)
I
(
p
)
I
(
p
)
x
25
y
25
25
I y ( p1 )
E
2
v
I y ( p25 )
この2個の式を合併すると、次のようになる。
I x ( p1 ) I y ( p1 )
2
I x ( p25 ) I y ( p25 )
T
I x ( p1 ) I y ( p1 )
I ( p1 )
0
u
0
v
I
(
p
)
I
(
p
)
I
(
p
)
x
25
y
25
25
Aperture problemを解決しよう(続き9)
I x ( p1 ) I y ( p1 )
I ( p1 )
u
A
, X , B
v
I x ( p25 ) I y ( p25 )
I ( p25 )
とすると、方程式
I x ( p1 ) I y ( p1 )
2
I x ( p25 ) I y ( p25 )
T
I x ( p1 ) I y ( p1 )
I ( p1 )
0
u
0
v
I
(
p
)
I
(
p
)
I
(
p
)
x
25
y
25
25
次のようになる。
AT AX AT B
Aperture problemを解決しよう(続き10)
AT AX AT B を展開すると、
25
2
I x ( pi )
25 i 1
I ( p )I ( p )
x
i
y
i
i 1
25
I x ( pi ) I y ( pi )
I x ( pi )I ( pi )
u
i 1
i 1
25
25
2 v
I ( p )I ( p )
I y ( pi )
y
i
i
i 1
i 1
25
問題を解ける条件
25
2
I x ( pi )
25 i 1
I ( p )I ( p )
x
i
y
i
i 1
25
I x ( pi ) I y ( pi )
I x ( pi )I ( pi )
u
i 1
i 1
25
25
2 v
I ( p )I ( p )
I y ( pi )
y
i
i
i 1
i 1
25
解ける場合
T
A
A の逆行列は存在する
•
• A T A はある程度大きい
T
⇒ A Aの二つの固有値 l1と l2 微小ではない
T
• A A の良い状態: l1/ l2 は極端に大きくない
(l1 は大きいほうの固有値)
これは 良い画像特徴である条件
ATAの固有ベクトル
(x,y) がエッジ上にあるとすると、ATAは?
• エッジ上の点に勾配は強くて、方向も揃っている
• エッジから離れる勾配は弱い
•
は固有値
と対応している固有ベクトルである
• ATAのもう一個の固有ベクトルは?
– Nは
と垂直のベクトルとする
– N は0の固有値と対応する固有ベクトルである。
– ATAの固有ベクトルはエッジの方向と強度に依存する
Edge
AT A
– 勾配は大きいが、一様である
– large l1, small l2
Low texture region
– 勾配は小さい
– small l1, small l2
High textured region
– gradients are different, large magnitudes
– large l1, large l2
考察
オプティカルフローの推定問題は二つの画像間の問題です
が、
• 一枚の画像を見るだけで、解の安定性がわかる!
• それはどの画素が追跡しやすく、どの画素が追跡しに
くいかを教えてくれる
– 特徴追跡を行うときに大変役立つ...