5.陰関数定理と比較静学

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陰関数定理と比較静学
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モデルの連立方程式体系で表されるとき
パラメータが変化したとき
如何に変数が変化するか
至るところに出てくる
例 需要と供給
• 一つの財の市場(部分均衡)
D  p, Y 
需要関数 p, Yに依存
S  p
供給関数 pのみに依存
D  p, Y 
D  p, Y 
 0,
0
p
Y
S  p 
0
p
元の均衡
Y  Y0のと き の均衡
D  p0 , Y0   S  p0 
p0: 元の均衡価格
所得上昇の効果
Y  Y1  Y0のと き の均衡
D  p1, Y1   S  p1 
p1: 新し い均衡価格
均衡価格は上がり、
取引量は増える。
S  p
p1
p0
D  p, Y0 
D  p, Y1 
微分による方法
D  p Y  , Y   S  p Y 
p Y  : 均衡価格は所得の関数
両辺を Yで微分
合成関数微分でパスを通し忘れない
D  p Y  , Y 
p
p ' Y  
D  p Y  , Y 
Y
 S '  p Y   p ' Y 
D  p Y  , Y 
p
p ' Y  
D  p Y  , Y 
 S '  p Y   p ' Y 
Y
微分は ', 偏微分は
D  p Y  , Y 
p
 Dp ,
D  p Y  , Y 
Dp p ' DY  S ' p '
p 'について解く
DY
p' 
S ' D p
Y
 DY , p ' Y   p '
所得が増えると需要が
増えるので+
DY
p' 
S ' D p
供給関数は、
右上がりで+
DY
p' 
0
S ' Dp
需要関数は、
右下がりで-
分母は全体として+
劣等(下級)財の場合
所得が減ると需要が増
えるので-
DY
p' 
S ' D p
供給関数は、
右上がりで+
DY
p' 
0
S ' Dp
需要関数は、
右下がりで-
例 間接税の効果
p : 価格
D  p
S  p
需要関数
供給関数
単位あたりtの従量税がかかるとする。
pS : 供給者の受け取る 価格
pD : 需要者の支払う 価格
pD  pS  t
需要者価格=供給者価格+従量税
均衡条件
pD  pS  t 需要者価格=供給者価格+従量税
S  pS   D  pD  需要=供給
S  p
需要価格は上がり
供給価格は下がり
取引量は減少する
pD
p0
pS
D  p
微分による方法
pD t   pS t   t
S  pS t   D  pD t 
tで微分する。
pD '  pS ' 1
S ' pS '  D ' pD '
pD '  pS ' 1
S ' pS '  D ' pD '
連立方程式を解く
D'
pS ' 
S ' D '
S'
pD ' 
S ' D '
D'
pS ' 
0
S ' D '
S'
pD ' 
0
S ' D '
S '  0, D '  0
比較静学
• 経済モデルで、複数の経済変数が同じ数の
方程式で決定される
• モデルの外で決められる変数をパラメータと
いう
• パラメータの変化の効果は、内生変数をパラ
メータの関数として、微分して、連立方程式を
解く
比較静学を微分で解くメリット
• 複雑なモデルでも機械的に解ける
• 変化の程度が、各微係数大きさから推測でき
る
• 一つの変化が複数の経路を通って効いてくる
とき、その相対的な大きさが式から出る
(例・・スルツキー方程式で所得効果と代替効
果に分かれる)
陰関数定理(implicit function
theorem)
• 比較静学を機械的に微分する数学的基礎
• 一般的な形の証明は、難しい
1変数1パラメータの場合
f  x, t  : 連続微分可能
f  x*, t *  0
f  x, t   0
x*
 x*, t *を通る レベル曲線がある
t*
x*, t *で垂直でなければ、
付近で x    t と なる 関数がある 。
x*, t *で垂直でなければ、
f x  x*, t *  0
付近で x    t と なる 関数がある 。
代入する
f  x, t   0
f  t  , t   0
x*
微分する
f x  t  , t   ' t   ft  t  , t   0
f x  x, t   0   x*, t *の近く
 ' t   
f t   t  , t 
f x   t  , t 
t*
例えばここは
駄目
2次元の場合
f  x, y, t   0, g  x, y, t   0が
f  x*, y*, t *  0, g  x*, y*, t *  0を満たす
 x*, y*, t *の近傍で
f   t  ,  t  , t   0, g   t  ,  t  , t   0
を 恒等的に満たす   t  ,  t  の存在 ?
2次元の場合(続き)
 t  , t が存在する と し て
f  t  , t  , t   0, g  t  , t  , t   0
 微分する
f x ' t   f y ' t   ft  0, gx ' t   g y ' t   gt  0
  ' t と  ' t について解く( f x g y  f y gx  0)
g y f t  f y gt
f x gt  g x f t
 ' t  
, '  t  
f x g y  f y gx
f x g y  f y gx
一般的な場合
f1 ,..., fn
変数x1 ,..., xnと パラ メ ータ t1 ,..., tmの
連続微分可能な実数値関数
 x1 ,..., xn    x1*,..., xn * ,
 t1 ,..., tm    t1*,..., tm * で
f1  x1*,..., xn *, t1*,..., tm *  0
.......
f n  x1*,..., xn *, t1*,..., tm *  0
x1  1  t1 ,...., tm 
....
xn   n  t1 ,...., tm 
が存在し
x1*  1 t1*,...., tm * ,...., xn *  n t1*,...., tm *
f1 1  t1 ,...., tm  ,...,  n  t1 ,...., tm  , t1 ,..., tm   0
.......
f n 1  t1 ,...., tm  ,...,  n  t1 ,...., tm  , t1 ,..., tm   0
を恒等的に満たすとする。
と
f1 1  t1 ,...., tm  ,...,  n  t1 ,...., tm  , t1 ,..., tm   0
.......
f n 1  t1 ,...., tm  ,...,  n  t1 ,...., tm  , t1 ,..., tm   0
両辺を tiで微分し 、
 t1 ,..., tm    t1*,..., tm * で評価する 。
f1  1 f1  2
f  f

 ....  1 n  1  0
x1 ti x2 ti
xn ti ti
.......
f n 1 f n  2
f n  n f n

 .... 

0
x1 ti x2 ti
xn ti ti
中の変数、 パラ メ ータ は省略
f1  1 f1  2
f  f

 ....  1 n  1  0
x1 ti x2 ti
xn ti ti
.......
f n 1 f n  2
f n  n f n

 .... 

0
x1 ti x2 ti
xn ti ti
行列を使った表現
 f1
 x
 1
 f 2
 x
 1


 f n
 x
 1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
f1  1 
 f1 
 t 
xn  ti 


 i
 f 2 
f 2   2 

 t 
xn 

t


 i 
 i








f n   n 
 f n 

 t 
xn 
 ti 
 i
ヤコビ行列また
は、ヤコビアン
 f1
 x
 1
 f 2
 x
 1


 f n
 x
 1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
f1  1 
 f1 
 t 
xn  ti 


 i
 f 2 
f 2   2 

 t 
xn 

t


 i 
 i








f n   n 
 f n 

 t 
xn 

t
 i 
 i
他のパラメータについての微分も並べる
 f1
 x
 1
 f 2
 x
 1


 f n
 x
 1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
f1  1
xn  t1

f 2   2
xn 
 t1


f n   n
xn 
 t1
1
t2
 2
t2
 2
t2
1 
 f1
 t
tm 

 1
 f 2
 2 
tm     t1




 n 
 f n
 t
tm 
 1
f1
t2
f 2
t2
f 2
tn
f1 
tm 

f 2 
tn 


f n 
tm 
 f1
 x
 1
 f 2
 x
 1


 f n
 x
 1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
f1  1
xn  t1

f 2   2
xn 
 t1


f n   n
xn 
 t1
1
t2
 2
t2
 2
t2
1 
 f1
 t
tm 

 1
 f 2
 2 
tm     t1




 n 
 f n
 t
tm 
 1
f1
t2
f 2
t2
f 2
tn
f1 
tm 

f 2 
tn 


f n 
tm 
ベクトルや行列を使って纏めて書く
f ξ  t  , t   0
f  ξ  t * , t  ξ  t *
x
t

f  ξ  t * , t 
t
上の式
f  ξ  t * , t  ξ  t *
x
t

f  ξ  t * , t 
t
f  ξ  t * , t *
x
f1
x1
f1
x2
f1
xn
f 2
 x1
f 2
x2
f 2
xn  0
f n
x1
f n
x2
f n
xn
ならヤコビ行列の逆行列が存在し
 1
 t
 1
  2
 t
 1


  n
 t
 1
1
t2
 2
t2
 2
t2
1 
 f1
 x
tm 

 1
 f 2
 2 
tm     x1




 n 
 f n
 x
tm 
 1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
ξ  t   f  ξ  t  , t   f  ξ  t * , t 




t

x
t


1
f1 
xn 

f 2 
xn 


f n 
xn 
1
 f1
 t
 1
 f 2
 t
 1


 f n
 t
 1
f1
t2
f 2
t2
f 2
tn
f1 
tm 

f 2 
tn 


f n 
tm 
陰関数定理
f   f1 ,..., f n  が以下の条件満たすと き 、
 t1*,..., tm *のあ る 近傍で定義さ れた
関数1  t1 ,...., tm  ,...,  n  t1 ,...., tm が存在し
f1 1  t1 ,...., tm  ,...,  n  t1 ,...., tm  , t1 ,..., tm   0
.......
f n 1  t1 ,...., tm  ,...,  n  t1 ,...., tm  , t1 ,..., tm   0
f1  x1*,..., xn *, t1*,..., tm *  0
1 .......
f n  x1*,..., xn *, t1*,..., tm *  0
 2 連続微分可能
3 x1*,..., xn *, t1*,..., tm *でヤコ ビ行列がつぶれない
f1 1  t1 ,...., tm  ,...,  n  t1 ,...., tm  , t1 ,..., tm   0
.......
f n 1  t1 ,...., tm  ,...,  n  t1 ,...., tm  , t1 ,..., tm   0
微分して、ヤコビ行列を逆転
ξ  t   f  ξ  t  , t   f  ξ  t  , t 




t

x
t


1
f  ξ  t * , t *
x
 0  近傍で
f  ξ  t  , t 
x
0
陰関数定理について
• 存在するのは、関数より近傍
• 近傍の大きさが簡単に指定できないので、ブ
ラウアーの不動点定理(ゲームや一般均衡の
存在証明)や縮小写像定理(ルーカスの貨幣
の中立性)より、存在定理としては弱い
• 応用では、普通ややこしいことは考えない
比較静学の実際
• 内生変数とパラメータを区別
• 内生変数をパラメータの関数とする
• パラメータについて微分すると連立方程式が
出る
• これを内生変数のパラメータについての偏微
分で解く
• 内生変数の数と式は、等しい
• ヤコビ行列がつぶれると分母が0になる
– 価格についての0次同次性などを見落としている
可能性
例 無差別曲線の傾き
u  x, y  : 効用関数
x :ビ ールの消費量
y : 焼肉の消費量
各uに対し
y
u  x, y   uを 満たす
 x, y が無差別曲線
u0  u1  u2  u3
u  x, y   u3
u  x, y   u2
u  x, y   u1
u  x, y   u0
x
u  x, y   u1に対する 無差別曲線を y1  x 
y
u  x, y1  x    u1
両辺を微分
ux  x, y1  x   uy  x, y1  x  y1 '  x   0
u  x, y   u3
u  x, y   u2
u  x, y   u1
u  x, y   u0
x
y1 '  x   
ux  x, y1  x  
u y  x, y1  x  
y1 '  x   
ux  x, y1  x  
y
u y  x, y1  x  
限界代替率
u  x, y   u3
ux  x, y 

:  x, y  での無差別曲線の傾き
u y  x, y 
ux  x, y 
: 限界代替率
u y  x, y 
u  x, y   u2
u  x, y   u1
u  x, y   u0
x
効用の序数性


h u  x, y1  x    h1  h  u1 
h : 厳密な増加関数
両辺を微分



h ' u  x, y1  x   ux  x, y1  x    u y  x, y1  x   y1 '  x   0
y1 '  x   
ux  x, y1  x  
u y  x, y1  x  
限界代替率はhに依存し ない
無差別曲線が依存しないことの帰結
効用でなく選好(preference)が基本概念
例 ISとLM
Y
国民所得
C
消費
I
投資
G
政府支出
Y  C  I G
Y  C  I G
C  C Y 
消費関数
C ' Y   0
I  I r 
I 'r   0
限界消費性向は正
投資関数
利子率が上がると投資が減る
Y  C Y   I  r   G
財市場の均衡
貨幣市場 の均衡
M
貨幣供給
L  r, Y 
L  r , Y 
0
貨幣需要関数
r
L  r , Y 
0
Y
M  L  r, Y 
利子が上がると貨
幣需要は減る
国民所得が増え
ると貨幣需要が増
える
貨幣市場の均衡
ISとLM
Y  C Y   I  r   G
財市場の均衡
Investment(投資)=Saving(貯蓄)なのでIS
M  L  r, Y 
貨幣市場の均衡
Liquidity(流動性)=Money(貨幣)なのでLM
両市場の均衡でYとrが決まる
IS曲線
rIS Y  Y  C Y   I  r   G
を満たすYとrの組合せ
Y  C Y   I  rIS Y   G
両辺を微分
1  C ' Y   I '  rIS Y  rIS ' Y 
0  C ' Y   1
rIS ' Y  
1  C ' Y 
I '  rIS Y  
限界消費性向は正で1より小
IS曲線は右下がり
0
投資は、利子が上がると減るので-
LM曲線
rLM Y 
M  L  r, Y 
を満たすYとrの組合せ
M  L  rLM Y  , Y 
両辺を微分
0
L  rLM Y  , Y 
r
rLM ' Y  
L  rLM Y  , Y 
rLM ' Y   
L  rLM Y  , Y 
Y
貨幣需要は、所得が上がると
増えるので+
LM曲線は右上がり
Y
 0 貨幣需要は、利子が上がる
と減るので-
L  rLM Y  , Y 
r
IS-LM図(ヒックス・ハンセン図)
r
LM
IS
Y
政府支出増加の効果
Y  C Y   I  r   G
M  L  r, Y 
両辺をGで微分
Y
Y
r
 C ' Y 
 I 'r 
1
G
G
G
L  r , Y  r L  r , Y  Y
0

r
G
Y
G
Y
Y
r
 C ' Y 
 I 'r 
1
G
G
G
L  r , Y  r L  r , Y  Y
0

r
G
Y
G
連立方程式を解く
Y

G
L  r , Y 
r
L  r , Y 
L  r , Y 
I 'r 
 1  C ' Y  
Y
r
r

G
L  r , Y 
Y
L  r , Y 
L  r , Y 
I 'r 
 1  C ' Y  
Y
r
Y

G
r

G
L  r , Y 
r

分子は-
L  r , Y 
L  r , Y 
I 'r 
 1  C ' Y  
Y
r




分母は-
L  r , Y 
Y
分子は+
全体は+
全体は符号
も入れて+
L  r , Y 
L  r , Y 
I 'r 
 1  C ' Y  
Y
r
分母は-
政府支出が増えると、国民所得が増え、利子が上がる
r
Y
 0,
0
M
M
も同様に出る
M  L  r, Y 
Gは入っていないのでLM曲線は
動かない
Y  C Y   I  rIS Y , G   G
rIS Y , G 
IS曲線
両辺をGで微分
r
rIS Y , G 
I '  rIS Y , G  
1  0
G
rIS Y , G 
1

0
G
I '  rIS Y , G  
ISは上にシフト
LM
IS
Y
行列つぶれる例
F  K , L  K L
 1
コッブ・ダグラス生産関数
F  K , L 
 1 1
p
 p K L  r
K
資本に対する価値限界生産物 =資本賃料
F  K , L 
 
p
 p 1    K L  w
L
労働に対する価値限界生産物 =賃金率
F  K , L 
p
 p K  1 L1  r
K
F  K , L 
 
p
 p 1    K L  w
L
対数を取る
ln p  ln    1 ln K  1    ln L  ln r
ln p  ln 1     ln K   ln L  ln w
両辺をrで微分
1   K 1   L 1



K r
L r r
 K
K r

 L
L r
0
1   K 1   L 1



K r
L r r
 K

 L
0
1
0
r
1 K 1 L

K r L r
K r L r
1 K 1 L
,
に対するヤコビ行列式は
K r L r
 1    1  


つぶれる
 1      1      0
??
F  K , L 
p
 p K  1 L1  r
K
F  K , L 
 
p
 p 1    K L  w
L
K
二つの式は、 のみの関数
L
K  p 


L  r 
1
1
1


w
 

 p 1    
のと き のみ解があっ て、 無限にある 。
一次同次のシステムでは、比を変数として、正規化する必要
がある