5.陰関数定理と比較静学
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陰関数定理と比較静学
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モデルの連立方程式体系で表されるとき
パラメータが変化したとき
如何に変数が変化するか
至るところに出てくる
例 需要と供給
• 一つの財の市場(部分均衡)
D p, Y
需要関数 p, Yに依存
S p
供給関数 pのみに依存
D p, Y
D p, Y
0,
0
p
Y
S p
0
p
元の均衡
Y Y0のと き の均衡
D p0 , Y0 S p0
p0: 元の均衡価格
所得上昇の効果
Y Y1 Y0のと き の均衡
D p1, Y1 S p1
p1: 新し い均衡価格
均衡価格は上がり、
取引量は増える。
S p
p1
p0
D p, Y0
D p, Y1
微分による方法
D p Y , Y S p Y
p Y : 均衡価格は所得の関数
両辺を Yで微分
合成関数微分でパスを通し忘れない
D p Y , Y
p
p ' Y
D p Y , Y
Y
S ' p Y p ' Y
D p Y , Y
p
p ' Y
D p Y , Y
S ' p Y p ' Y
Y
微分は ', 偏微分は
D p Y , Y
p
Dp ,
D p Y , Y
Dp p ' DY S ' p '
p 'について解く
DY
p'
S ' D p
Y
DY , p ' Y p '
所得が増えると需要が
増えるので+
DY
p'
S ' D p
供給関数は、
右上がりで+
DY
p'
0
S ' Dp
需要関数は、
右下がりで-
分母は全体として+
劣等(下級)財の場合
所得が減ると需要が増
えるので-
DY
p'
S ' D p
供給関数は、
右上がりで+
DY
p'
0
S ' Dp
需要関数は、
右下がりで-
例 間接税の効果
p : 価格
D p
S p
需要関数
供給関数
単位あたりtの従量税がかかるとする。
pS : 供給者の受け取る 価格
pD : 需要者の支払う 価格
pD pS t
需要者価格=供給者価格+従量税
均衡条件
pD pS t 需要者価格=供給者価格+従量税
S pS D pD 需要=供給
S p
需要価格は上がり
供給価格は下がり
取引量は減少する
pD
p0
pS
D p
微分による方法
pD t pS t t
S pS t D pD t
tで微分する。
pD ' pS ' 1
S ' pS ' D ' pD '
pD ' pS ' 1
S ' pS ' D ' pD '
連立方程式を解く
D'
pS '
S ' D '
S'
pD '
S ' D '
D'
pS '
0
S ' D '
S'
pD '
0
S ' D '
S ' 0, D ' 0
比較静学
• 経済モデルで、複数の経済変数が同じ数の
方程式で決定される
• モデルの外で決められる変数をパラメータと
いう
• パラメータの変化の効果は、内生変数をパラ
メータの関数として、微分して、連立方程式を
解く
比較静学を微分で解くメリット
• 複雑なモデルでも機械的に解ける
• 変化の程度が、各微係数大きさから推測でき
る
• 一つの変化が複数の経路を通って効いてくる
とき、その相対的な大きさが式から出る
(例・・スルツキー方程式で所得効果と代替効
果に分かれる)
陰関数定理(implicit function
theorem)
• 比較静学を機械的に微分する数学的基礎
• 一般的な形の証明は、難しい
1変数1パラメータの場合
f x, t : 連続微分可能
f x*, t * 0
f x, t 0
x*
x*, t *を通る レベル曲線がある
t*
x*, t *で垂直でなければ、
付近で x t と なる 関数がある 。
x*, t *で垂直でなければ、
f x x*, t * 0
付近で x t と なる 関数がある 。
代入する
f x, t 0
f t , t 0
x*
微分する
f x t , t ' t ft t , t 0
f x x, t 0 x*, t *の近く
' t
f t t , t
f x t , t
t*
例えばここは
駄目
2次元の場合
f x, y, t 0, g x, y, t 0が
f x*, y*, t * 0, g x*, y*, t * 0を満たす
x*, y*, t *の近傍で
f t , t , t 0, g t , t , t 0
を 恒等的に満たす t , t の存在 ?
2次元の場合(続き)
t , t が存在する と し て
f t , t , t 0, g t , t , t 0
微分する
f x ' t f y ' t ft 0, gx ' t g y ' t gt 0
' t と ' t について解く( f x g y f y gx 0)
g y f t f y gt
f x gt g x f t
' t
, ' t
f x g y f y gx
f x g y f y gx
一般的な場合
f1 ,..., fn
変数x1 ,..., xnと パラ メ ータ t1 ,..., tmの
連続微分可能な実数値関数
x1 ,..., xn x1*,..., xn * ,
t1 ,..., tm t1*,..., tm * で
f1 x1*,..., xn *, t1*,..., tm * 0
.......
f n x1*,..., xn *, t1*,..., tm * 0
x1 1 t1 ,...., tm
....
xn n t1 ,...., tm
が存在し
x1* 1 t1*,...., tm * ,...., xn * n t1*,...., tm *
f1 1 t1 ,...., tm ,..., n t1 ,...., tm , t1 ,..., tm 0
.......
f n 1 t1 ,...., tm ,..., n t1 ,...., tm , t1 ,..., tm 0
を恒等的に満たすとする。
と
f1 1 t1 ,...., tm ,..., n t1 ,...., tm , t1 ,..., tm 0
.......
f n 1 t1 ,...., tm ,..., n t1 ,...., tm , t1 ,..., tm 0
両辺を tiで微分し 、
t1 ,..., tm t1*,..., tm * で評価する 。
f1 1 f1 2
f f
.... 1 n 1 0
x1 ti x2 ti
xn ti ti
.......
f n 1 f n 2
f n n f n
....
0
x1 ti x2 ti
xn ti ti
中の変数、 パラ メ ータ は省略
f1 1 f1 2
f f
.... 1 n 1 0
x1 ti x2 ti
xn ti ti
.......
f n 1 f n 2
f n n f n
....
0
x1 ti x2 ti
xn ti ti
行列を使った表現
f1
x
1
f 2
x
1
f n
x
1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
f1 1
f1
t
xn ti
i
f 2
f 2 2
t
xn
t
i
i
f n n
f n
t
xn
ti
i
ヤコビ行列また
は、ヤコビアン
f1
x
1
f 2
x
1
f n
x
1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
f1 1
f1
t
xn ti
i
f 2
f 2 2
t
xn
t
i
i
f n n
f n
t
xn
t
i
i
他のパラメータについての微分も並べる
f1
x
1
f 2
x
1
f n
x
1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
f1 1
xn t1
f 2 2
xn
t1
f n n
xn
t1
1
t2
2
t2
2
t2
1
f1
t
tm
1
f 2
2
tm t1
n
f n
t
tm
1
f1
t2
f 2
t2
f 2
tn
f1
tm
f 2
tn
f n
tm
f1
x
1
f 2
x
1
f n
x
1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
f1 1
xn t1
f 2 2
xn
t1
f n n
xn
t1
1
t2
2
t2
2
t2
1
f1
t
tm
1
f 2
2
tm t1
n
f n
t
tm
1
f1
t2
f 2
t2
f 2
tn
f1
tm
f 2
tn
f n
tm
ベクトルや行列を使って纏めて書く
f ξ t , t 0
f ξ t * , t ξ t *
x
t
f ξ t * , t
t
上の式
f ξ t * , t ξ t *
x
t
f ξ t * , t
t
f ξ t * , t *
x
f1
x1
f1
x2
f1
xn
f 2
x1
f 2
x2
f 2
xn 0
f n
x1
f n
x2
f n
xn
ならヤコビ行列の逆行列が存在し
1
t
1
2
t
1
n
t
1
1
t2
2
t2
2
t2
1
f1
x
tm
1
f 2
2
tm x1
n
f n
x
tm
1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
ξ t f ξ t , t f ξ t * , t
t
x
t
1
f1
xn
f 2
xn
f n
xn
1
f1
t
1
f 2
t
1
f n
t
1
f1
t2
f 2
t2
f 2
tn
f1
tm
f 2
tn
f n
tm
陰関数定理
f f1 ,..., f n が以下の条件満たすと き 、
t1*,..., tm *のあ る 近傍で定義さ れた
関数1 t1 ,...., tm ,..., n t1 ,...., tm が存在し
f1 1 t1 ,...., tm ,..., n t1 ,...., tm , t1 ,..., tm 0
.......
f n 1 t1 ,...., tm ,..., n t1 ,...., tm , t1 ,..., tm 0
f1 x1*,..., xn *, t1*,..., tm * 0
1 .......
f n x1*,..., xn *, t1*,..., tm * 0
2 連続微分可能
3 x1*,..., xn *, t1*,..., tm *でヤコ ビ行列がつぶれない
f1 1 t1 ,...., tm ,..., n t1 ,...., tm , t1 ,..., tm 0
.......
f n 1 t1 ,...., tm ,..., n t1 ,...., tm , t1 ,..., tm 0
微分して、ヤコビ行列を逆転
ξ t f ξ t , t f ξ t , t
t
x
t
1
f ξ t * , t *
x
0 近傍で
f ξ t , t
x
0
陰関数定理について
• 存在するのは、関数より近傍
• 近傍の大きさが簡単に指定できないので、ブ
ラウアーの不動点定理(ゲームや一般均衡の
存在証明)や縮小写像定理(ルーカスの貨幣
の中立性)より、存在定理としては弱い
• 応用では、普通ややこしいことは考えない
比較静学の実際
• 内生変数とパラメータを区別
• 内生変数をパラメータの関数とする
• パラメータについて微分すると連立方程式が
出る
• これを内生変数のパラメータについての偏微
分で解く
• 内生変数の数と式は、等しい
• ヤコビ行列がつぶれると分母が0になる
– 価格についての0次同次性などを見落としている
可能性
例 無差別曲線の傾き
u x, y : 効用関数
x :ビ ールの消費量
y : 焼肉の消費量
各uに対し
y
u x, y uを 満たす
x, y が無差別曲線
u0 u1 u2 u3
u x, y u3
u x, y u2
u x, y u1
u x, y u0
x
u x, y u1に対する 無差別曲線を y1 x
y
u x, y1 x u1
両辺を微分
ux x, y1 x uy x, y1 x y1 ' x 0
u x, y u3
u x, y u2
u x, y u1
u x, y u0
x
y1 ' x
ux x, y1 x
u y x, y1 x
y1 ' x
ux x, y1 x
y
u y x, y1 x
限界代替率
u x, y u3
ux x, y
: x, y での無差別曲線の傾き
u y x, y
ux x, y
: 限界代替率
u y x, y
u x, y u2
u x, y u1
u x, y u0
x
効用の序数性
h u x, y1 x h1 h u1
h : 厳密な増加関数
両辺を微分
h ' u x, y1 x ux x, y1 x u y x, y1 x y1 ' x 0
y1 ' x
ux x, y1 x
u y x, y1 x
限界代替率はhに依存し ない
無差別曲線が依存しないことの帰結
効用でなく選好(preference)が基本概念
例 ISとLM
Y
国民所得
C
消費
I
投資
G
政府支出
Y C I G
Y C I G
C C Y
消費関数
C ' Y 0
I I r
I 'r 0
限界消費性向は正
投資関数
利子率が上がると投資が減る
Y C Y I r G
財市場の均衡
貨幣市場 の均衡
M
貨幣供給
L r, Y
L r , Y
0
貨幣需要関数
r
L r , Y
0
Y
M L r, Y
利子が上がると貨
幣需要は減る
国民所得が増え
ると貨幣需要が増
える
貨幣市場の均衡
ISとLM
Y C Y I r G
財市場の均衡
Investment(投資)=Saving(貯蓄)なのでIS
M L r, Y
貨幣市場の均衡
Liquidity(流動性)=Money(貨幣)なのでLM
両市場の均衡でYとrが決まる
IS曲線
rIS Y Y C Y I r G
を満たすYとrの組合せ
Y C Y I rIS Y G
両辺を微分
1 C ' Y I ' rIS Y rIS ' Y
0 C ' Y 1
rIS ' Y
1 C ' Y
I ' rIS Y
限界消費性向は正で1より小
IS曲線は右下がり
0
投資は、利子が上がると減るので-
LM曲線
rLM Y
M L r, Y
を満たすYとrの組合せ
M L rLM Y , Y
両辺を微分
0
L rLM Y , Y
r
rLM ' Y
L rLM Y , Y
rLM ' Y
L rLM Y , Y
Y
貨幣需要は、所得が上がると
増えるので+
LM曲線は右上がり
Y
0 貨幣需要は、利子が上がる
と減るので-
L rLM Y , Y
r
IS-LM図(ヒックス・ハンセン図)
r
LM
IS
Y
政府支出増加の効果
Y C Y I r G
M L r, Y
両辺をGで微分
Y
Y
r
C ' Y
I 'r
1
G
G
G
L r , Y r L r , Y Y
0
r
G
Y
G
Y
Y
r
C ' Y
I 'r
1
G
G
G
L r , Y r L r , Y Y
0
r
G
Y
G
連立方程式を解く
Y
G
L r , Y
r
L r , Y
L r , Y
I 'r
1 C ' Y
Y
r
r
G
L r , Y
Y
L r , Y
L r , Y
I 'r
1 C ' Y
Y
r
Y
G
r
G
L r , Y
r
分子は-
L r , Y
L r , Y
I 'r
1 C ' Y
Y
r
分母は-
L r , Y
Y
分子は+
全体は+
全体は符号
も入れて+
L r , Y
L r , Y
I 'r
1 C ' Y
Y
r
分母は-
政府支出が増えると、国民所得が増え、利子が上がる
r
Y
0,
0
M
M
も同様に出る
M L r, Y
Gは入っていないのでLM曲線は
動かない
Y C Y I rIS Y , G G
rIS Y , G
IS曲線
両辺をGで微分
r
rIS Y , G
I ' rIS Y , G
1 0
G
rIS Y , G
1
0
G
I ' rIS Y , G
ISは上にシフト
LM
IS
Y
行列つぶれる例
F K , L K L
1
コッブ・ダグラス生産関数
F K , L
1 1
p
p K L r
K
資本に対する価値限界生産物 =資本賃料
F K , L
p
p 1 K L w
L
労働に対する価値限界生産物 =賃金率
F K , L
p
p K 1 L1 r
K
F K , L
p
p 1 K L w
L
対数を取る
ln p ln 1 ln K 1 ln L ln r
ln p ln 1 ln K ln L ln w
両辺をrで微分
1 K 1 L 1
K r
L r r
K
K r
L
L r
0
1 K 1 L 1
K r
L r r
K
L
0
1
0
r
1 K 1 L
K r L r
K r L r
1 K 1 L
,
に対するヤコビ行列式は
K r L r
1 1
つぶれる
1 1 0
??
F K , L
p
p K 1 L1 r
K
F K , L
p
p 1 K L w
L
K
二つの式は、 のみの関数
L
K p
L r
1
1
1
w
p 1
のと き のみ解があっ て、 無限にある 。
一次同次のシステムでは、比を変数として、正規化する必要
がある