5.陰関数定理と比較静学
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陰関数定理と比較静学
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モデルの連立方程式体系で表されるとき
パラメータが変化したとき
如何に変数が変化するか
至るところに出てくる
例 需要と供給
• 一つの財の市場(部分均衡)
D p,Y
S p
需 要 関 数 p, Yに 依 存
供 給 関 数 pの み に 依 存
D p , Y
p
S p
p
0,
0
D p , Y
Y
0
元の均衡
Y Y0の と き の 均 衡
D p 0 , Y0 S p 0
p 0: 元 の 均 衡 価 格
所得上昇の効果
Y Y1 Y0の と き の 均 衡
D p1 , Y1 S p1
p1: 新 し い 均 衡 価 格
均衡価格は上がり、
取引量は増える。
S
p
p1
p0
D p , Y1
D p , Y0
微分による方法
D p Y , Y S p Y
p Y : 均 衡 価 格 は 所 得 の 関 数
両辺を Yで 微分
合成関数微分でパスを通し忘れない
D p Y , Y
p
p ' Y
D p Y , Y
Y
S ' p Y
p ' Y
D p Y , Y
p
p ' Y
D p Y , Y
Y
S ' p Y
p ' Y
微 分 は ', 偏 微 分 は
D p Y , Y
p
Dp,
D p Y , Y
D p p ' D Y S ' p '
p 'に つ い て 解 く
p'
DY
S ' D p
Y
DY , p ' Y p '
所得が増えると需要が
増えるので+
p'
DY
S ' D p
需要関数は、
右下がりで-
供給関数は、
右上がりで+
p'
DY
S ' D p
0
分母は全体として+
劣等(下級)財の場合
所得が減ると需要が増
えるので-
p'
DY
S ' D p
需要関数は、
右下がりで-
供給関数は、
右上がりで+
p'
DY
S ' D p
0
例 間接税の効果
p :価格
D p
需要関数
S p
供給関数
単位あたりtの従量税がかかるとする。
pS : 供 給 者 の 受 け 取 る 価 格
pD : 需 要 者 の 支 払 う 価 格
pD pS t
需要者価格=供給者価格+従量税
均衡条件
pD pS t
S
pS
需要者価格=供給者価格+従量税
D pD
需要=供給
S
需要価格は上がり
供給価格は下がり
取引量は減少する
p
pD
p0
pS
D p
微分による方法
pD t pS t t
S pS t D pD t
tで微分する。
p D ' p S ' 1
S ' pS ' D ' pD '
p D ' p S ' 1
S ' pS ' D ' pD '
連立方程式を解く
pS '
pD '
D'
pS '
S ' D '
S'
S ' D '
D'
S ' D '
pD '
S ' 0, D ' 0
0
S'
S ' D '
0
比較静学
• 経済モデルで、複数の経済変数が同じ数の
方程式で決定される
• モデルの外で決められる変数をパラメータと
いう
• パラメータの変化の効果は、内生変数をパラ
メータの関数として、微分して、連立方程式を
解く
比較静学を微分で解くメリット
• 複雑なモデルでも機械的に解ける
• 変化の程度が、各微係数大きさから推測でき
る
• 一つの変化が複数の経路を通って効いてくる
とき、その相対的な大きさが式から出る
(例・・スルツキー方程式で所得効果と代替効
果に分かれる)
陰関数定理(implicit function
theorem)
• 比較静学を機械的に微分する数学的基礎
• 一般的な形の証明は、難しい
1変数1パラメータの場合
f
x, t : 連 続 微 分 可 能
f x *, t * 0
x *, t * を 通 る
f
x, t 0
x*
レ ベル曲線があ る
t*
x *, t * で 垂 直 で な け れ ば 、
付 近 で x t と な る 関 数 が あ る 。
x *, t * で 垂 直 で な け れ ば 、
f x x *, t * 0
付 近 で x t と な る 関 数 が あ る 。
代入する
f t , t 0
f
x, t 0
x*
微分する
f x t , t ' t ft t , t 0
f x x , t 0 x *, t * の 近 く
't
ft t , t
f x t , t
t*
例えばここは
駄目
2次元の場合
f
f
x , y , t 0, g x , y , t 0が
x *, y *, t * 0, g x *, y *, t * 0を 満 た す
x *, y *, t * の 近 傍 で
f t , t , t 0, g t , t , t 0
を 恒 等 的 に 満 た す t , t の 存 在 ?
2次元の場合(続き)
t , t が 存 在 す る と し て
f t , t , t 0, g t , t , t 0
微分する
f x ' t f y ' t f t 0, g x ' t g y ' t g t 0
' t と ' t に つ い て 解 く ( f x g y f y g x 0 )
't
g y ft f y gt
fxg y fygx
, ' t
f x gt g x ft
fxg y fygx
一般的な場合
f1 , ..., f n
変 数 x1 , ..., x nと パ ラ メ ー タ t1 , ..., t mの
連続微分可能な 実数値関数
x1 , ..., x n x1 *, ..., x n * ,
t1 , ..., t m t1 *, ..., t m * で
f 1 x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m * 0
.......
f n x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m * 0
x1 1 t1 , ...., t m
....
x n n t1 , ...., t m
が存在し
x1 * 1 t1 *, ...., t m * , ...., x n * n t1 *, ...., t m *
f 1 1 t1 , ...., t m , ..., n t1 , ...., t m , t1 , ..., t m 0
.......
f n 1 t1 , ...., t m , ..., n t1 , ...., t m , t1 , ..., t m 0
を恒等的に満たすとする。
と
f 1 1 t1 , ...., t m , ..., n t1 , ...., t m , t1 , ..., t m 0
.......
f n 1 t1 , ...., t m , ..., n t1 , ...., t m , t1 , ..., t m 0
両 辺 を t iで 微 分 し 、
t1 , ..., t m t1 *, ..., t m * で 評 価 す る
f1 1
x1 t i
f1 2
x 2 ti
....
f1 n
x n ti
f1
ti
0
.......
f n 1
x1 t i
fn 2
x 2 ti
....
fn n
x n ti
fn
ti
0
中の 変数、 パラ メ ータ は省略
。
f1 1
x1 t i
f1 2
x 2 ti
....
f1 n
x n ti
f1
ti
0
.......
f n 1
x1 t i
fn 2
x 2 ti
....
fn n
x n ti
fn
ti
0
行列を使った表現
f1
f1
x1
x2
f 2
f 2
x1
x2
f n
f n
x1
x2
f1
xn
f2
xn
f n
x n
1
f1
ti
ti
f2
2
ti ti
n
fn
t
t i
i
ヤコビ行列また
は、ヤコビアン
f1
f1
x1
x2
f 2
f 2
x1
x2
f n
f n
x1
x2
f1
xn
f2
xn
f n
x n
1
f1
ti
ti
f2
2
ti ti
n
fn
t
t i
i
他のパラメータについての微分も並べる
f1
f1
x1
x2
f2
f2
x1
x2
fn
f n
x1
x2
f1
xn
f2
xn
f n
x n
1
1
t1
t2
2
2
t1
t2
n
2
t1
t2
1
f1
tm
t
1
f2
2
t m t1
n
f n
t
t m
1
f1
t2
f2
t2
f 2
tn
f1
tm
f2
tn
f n
t m
f1
f1
x1
x2
f2
f2
x1
x2
fn
f n
x1
x2
f1
xn
f2
xn
f n
x n
1
1
t1
t2
2
2
t1
t2
n
2
t1
t2
1
f1
tm
t
1
f2
2
t m t1
n
f n
t
t m
1
f1
t2
f2
t2
f 2
tn
f1
tm
f2
tn
f n
t m
ベクトルや行列を使って纏めて書く
f ξ t , t 0
f ξ t * , t ξ t *
x
t
f ξ t * , t
t
上の式
f ξ t * , t ξ t *
x
t
f ξ t * , t
t
f ξ t * , t *
x
f1
f1
f1
x1
x2
xn
f2
f 2
f 2
x1
x2
xn 0
f n
f n
f n
x1
x2
xn
ならヤコビ行列の逆行列が存在し
1
1
t1
t2
2
2
t1
t2
n
2
t1
t2
1
f1
tm
x
1
f2
2
t m x1
n
fn
x
t m
1
ξ t f ξ t , t
t
x
1
f1
x2
f2
x2
fn
x2
f ξ t * , t
t
f1
xn
f2
xn
fn
x n
1
f1
f1
t1
t2
f2
f2
t1
t2
f n
f2
t1
tn
f1
tm
f 2
tn
f n
t m
陰関数定理
f
f1 , ...,
fn が 以 下 の 条 件 満 た す と き 、
t1 *, ..., t m * の あ る
近傍で定義さ れた
関 数 1 t1 , ...., t m , ..., n t1 , ...., t m が 存 在 し
f 1 1 t1 , ...., t m , ..., n t1 , ...., t m , t1 , ..., t m 0
.......
f n 1 t1 , ...., t m , ..., n t1 , ...., t m , t1 , ..., t m 0
1
f 1 x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m * 0
.......
f n x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m * 0
2連続微分可能
3 x1 *, ..., x n *, t1 *, ..., t m * で ヤ コ
ビ 行列がつぶれな い
f 1 1 t1 , ...., t m , ..., n t1 , ...., t m , t1 , ..., t m 0
.......
f n 1 t1 , ...., t m , ..., n t1 , ...., t m , t1 , ..., t m 0
微分して、ヤコビ行列を逆転
ξ t f ξ t , t
t
x
1
f ξ t * , t *
x
f ξ t , t
t
0 近傍で
f ξ t , t
x
0
陰関数定理について
• 存在するのは、関数より近傍
• 近傍の大きさが簡単に指定できないので、ブ
ラウアーの不動点定理(ゲームや一般均衡の
存在証明)や縮小写像定理(ルーカスの貨幣
の中立性)より、存在定理としては弱い
• 応用では、普通ややこしいことは考えない
比較静学の実際
• 内生変数とパラメータを区別
• 内生変数をパラメータの関数とする
• パラメータについて微分すると連立方程式が
出る
• これを内生変数のパラメータについての偏微
分で解く
• 内生変数の数と式は、等しい
• ヤコビ行列がつぶれると分母が0になる
– 価格についての0次同次性などを見落としている
可能性
例 無差別曲線の傾き
u x, y : 効 用 関 数
x :ビ ー ル の 消 費 量
y :焼肉の 消費量
各 uに 対 し
y
u x , y uを 満 た す
x, y が 無 差 別 曲 線
u 0 u1 u 2 u 3
u x, y u3
u x, y u2
u x , y u1
u x, y u0
x
u x , y u 1に 対 す る 無 差 別 曲 線 を y1 x
y
u x , y1 x u 1
両辺を微分
u x x , y1 x u y x , y1 x y 1 ' x 0
u x, y u3
u x, y u2
u x , y u1
u x, y u0
x
y1 ' x
u x x , y1 x
u y x , y1 x
y1 ' x
u x x , y1 x
y
u y x , y1 x
限界代替率
u x, y u3
u x x, y
u y x, y
u x, y u2
: x, y で の 無 差 別 曲 線 の 傾 き
u x x, y
u y x, y
u x , y u1
u x, y u0
x
:限界代替率
h u x , y1
効用の序数性
x h h u
1
1
h : 厳密な 増加関数
両辺を微分
h ' u x , y1 x
y1 ' x
u x , y
x
1
x u y x , y1 x y1 ' x 0
u x x , y1 x
u y x , y1 x
限 界 代 替 率 は hに 依 存 し な い
無差別曲線が依存しないことの帰結
効用でなく選好(preference)が基本概念
例 ISとLM
Y
国民所得
C
消費
I
投資
G
政府支出
Y C I G
Y C I G
C C Y
C 'Y
消費関数
0
限界消費性向は正
I I r
投資関数
I ' r 0
利子率が上がると投資が減る
Y C Y I r G
財市場の均衡
貨幣市場 の均衡
貨幣供給
M
L r,Y
貨幣需要関数
L r , Y
r
L r , Y
0
Y
M L r,Y
0
利子が上がると貨
幣需要は減る
国民所得が増え
ると貨幣需要が増
える
貨幣市場の均衡
ISとLM
Y C Y I r G
財市場の均衡
Investment(投資)=Saving(貯蓄)なのでIS
M L r,Y
貨幣市場の均衡
Liquidity(流動性)=Money(貨幣)なのでLM
両市場の均衡でYとrが決まる
rIS Y
Y
IS曲線
C Y I r G
を満たすYとrの組合せ
Y C Y I rIS Y
G
両辺を微分
1 C ' Y I ' rIS Y
0 C ' Y
rIS ' Y
1
1 C 'Y
I ' rIS Y
rIS ' Y
限界消費性向は正で1より小
IS曲線は右下がり
0
投資は、利子が上がると減るので-
LM曲線
rL M Y
M L r,Y
を満たすYとrの組合せ
M L rL M Y , Y
両辺を微分
0
L rL M Y , Y
r
rL M ' Y
L rL M Y , Y
rL M ' Y
Y
L rL M Y , Y
r
L rL M Y , Y
貨幣需要は、利子が上がると
Y増えるので+
LM曲線は右上がり
0 貨幣需要は、利子が上がる
と減るので-
IS-LM図(ヒックス・ハンセン図)
r
LM
IS
Y
政府支出増加の効果
Y C Y I r G
M L r,Y
両辺をGで微分
Y
G
0
C ' Y
L r , Y
r
Y
G
r
G
I ' r
r
G
L r , Y
Y
1
Y
G
Y
G
0
C ' Y
L r , Y
r
Y
I ' r
G
r
G
G
I ' r
Y
G
連立方程式を解く
L r , Y
Y
r
1 C ' Y
L r , Y
r
G
I ' r
1
G
L r , Y Y
L r , Y
Y
r
L r , Y
Y
L r , Y
r
Y
1 C ' Y
L r , Y
r
L r , Y
Y
G
I ' r
L r , Y
Y
分子は-
r
1 C ' Y
L r , Y
全体は+
r
分母は-
L r , Y
r
G
I ' r
L r , Y
Y
分子は+
Y
1 C ' Y
L r , Y
r
全体は符号
も入れて+
分母は-
政府支出が増えると、国民所得が増え、利子が上がる
r
M
0,
Y
M
0
も同様に出る
M L r,Y
Gは入っていないのでLM曲線は
動かない
Y C Y I rIS Y , G G
rIS Y , G
IS曲線
両辺をGで微分
I ' rIS Y , G
rIS Y , G
G
rIS Y , G
G
r
LM
1 0
1
I ' rIS Y , G
0
ISは上にシフト
IS
Y
行列つぶれる例
F K,L K L
p
p
F K , L
K
F K , L
L
1
p K
コッブ・ダグラス生産関数
1 1
L
r
資本に対する価値限界生産物 =資本賃料
p 1 K L
w
労働に対する価値限界生産物 =賃金率
p
p
F K , L
p K
K
F K , L
1 1
r
L
p 1 K L
L
w
対数を取る
ln p ln 1 ln K 1 ln L ln r
ln p ln 1 ln K ln L ln w
両辺をrで微分
1 K
K
K
K r
r
1 L
L
L
L r
r
0
1
r
1 K
r
K
K
K r
1 K
K r
,
L
L
L r
1 L
L r
1
1 L
r
0
1
0
??
1
r
r
1 K
K r
1 L
L r
に対するヤコビ行列式は
1
つぶれる
1 1 0
p
p
F K , L
K
F K , L
L
p K
1 1
L
r
p 1 K L
二つの式は、
K
w
のみの関数
L
1
w
p 1
p 1
L
r
K
1
の と き の み解が あ っ て 、 無限に あ る 。
一次同次のシステムでは、比を変数として、正規化する必要
がある