Transcript 発表資料
ハラリィの一般化三並べの変種
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共喰い動物ゲーム
Jean Cardinal, Sebastien Collette, 伊藤大雄 , Matias Korman, Stefan Langerman, 堺谷光 , Perouz Taslakian
今回の流れ
• • • • ハラリィの一般化三並べについて 共喰い動物ゲームについて 研究の結果分かった戦略 まとめ
ハラリィの一般化三並べ 目標 • 無限に広い盤面で行う 裏返し・ 回転は同一 • 二人ゲーム • 目標の動物（＝ポリオミノ）を 決める • 先手，後手は交互に １マスずつ置く • • これを交互に繰り返す 先に目標の動物を作った プレイヤーの勝ち
ハラリィの一般化三並べ 目標 裏返し・ 回転は同一 • ２人とも最善をつくすと 1.
2.
先手が勝つ 両者とも目標の動物を 作れない • 先手が勝つ動物 → 勝ち型 • 両者とも目標の動物を 作れない動物 → 負け型
ハラリィの一般化三並べ 勝ち型 未解決 負け型 その他の動物
共喰い動物ゲーム 目標 裏返し・ 回転は同一 • • • • • • • 無限に広い盤面で行う 二人ゲーム 目標の動物を決める 先手は１マスずつ置く 後手は目標の動物を置く これを交互に繰り返す 先手が目標の動物を 作れれば，先手の勝ち • 後手の目標は先手の妨害
共喰い動物ゲーム 目標 裏返し・ 回転は同一 • ２人とも最善をつくすと 1.
2.
先手が勝つ ゲームが終わらない • 先手が勝つ動物 → 勝ち型 • ゲームが終わらない動物 → 負け型
本研究で判明したこと • 以下の形が勝ち型であることが分かった 勝ち型 m n
本研究で判明したこと • 以下の形が負け型であることが分かった 負け型 k k n m h n 穴の位置に制限あり n w 2 × 4 を除く 2 × 4 は未解決
本研究で判明したこと • 勝ち型，負け型を証明する手法として，以下 のものを得た 負け型の証明手法 1.
2.
ペアリング戦略 穴空け補題 勝ち型の証明手法 囲い込み戦略
本研究で判明したこと • 勝ち型，負け型を証明する手法として，以下 のものを得た 負け型の証明手法 1.
2.
ペアリング戦略 穴空け補題 勝ち型の証明手法 囲い込み戦略
目標：
ペアリング戦略
• 盤面をある大きさのブロックに 分割する • 後手は先手が置いたブロックの 内部に置く • 先手が着手したブロックには必ず 後手が着手することになる • 先手は目標の動物を作ることが できない
ペアリング戦略
n n ただし、穴がどの辺からも 以上離れているもの
ペアリング戦略
k k n m
h w+1
ペアリング戦略
w 2 × 4 を除く h
ペアリング戦略
ペアリング戦略により負け型と判明した動物 k k n m h n 穴の位置に制限あり n w 2 × 4 を除く
本研究で判明したこと • 勝ち型，負け型を証明する手法として，以下 のものを得た 負け型の証明手法 1.
2.
ペアリング戦略 穴空け補題 勝ち型の証明手法 囲い込み戦略
穴あけ補題
• あるポリオミノ A から
inner piece
を取り除 いたポリオミノ A’ を考える。
A
が負け型ならば、
A’
も負け型である。
1
inner piece
2 1 4 3
inner piece
2 3 4
穴あけ補題
• あるポリオミノ A から
inner piece
を取り除 いたポリオミノ A’ を考える。
A
が負け型ならば、
A’
も負け型である。
証明
対偶を証明する。 • • • A’ が勝ち型ならば、 A も勝ち型である。 A’ は勝ち型なので、先手に必勝手順が存 在する。 A においても A’ の必勝手順と同じ手順を 踏むことで A’ を作ることができる。 A’ を作ることが出来れば一手で A を作るこ とができる。
A
証明
A’
A
証明
A’
証明
対偶を証明する。 • • • A’ が勝ち型ならば、 A も勝ち型である。 A’ は勝ち型なので、先手に必勝手順が存 在する。 A においても A’ の必勝手順と同じ手順を 踏むことで A’ を作ることができる。 A’ を作ることが出来れば一手で A を作るこ とができる。
負け型
ペアリング戦略により負け型と判明した動物 k k n m h n 穴の位置に制限あり n w 2 × 4 を除く
本研究で判明したこと • 勝ち型，負け型を証明する手法として，以下 のものを得た 負け型の証明手法 1.
2.
ペアリング戦略 穴空け補題 勝ち型の証明手法 囲い込み戦略
目標：
囲い込み戦略
盤面が有限の場合 • 後手が勝つには先手が 目標の動物を作れる場所を 0 にしなければならない • 目標の動物が長方形の場合、そ のような手には共通部分がある • 先手はそのような手を 必ず防ぐことができる • 先手が勝つことができる
・ ・ 目標： ・・・ ・・・
囲い込み戦略
・ ・ • 先手は，十分大きな領域を囲 むことができる • 領域内のゲームに帰着 できる • 領域内に先手が目標の動物 を作れる場所が 1 つでもあれ ば先手が勝つことができる • 先手は勝つことができる
n ・ ・ 目標： n ・・・ ・・・
囲い込み戦略
・ ・ • 先手は，十分大きな領域を囲 むことができる • 先手は領域内のみに着目し てゲームを進める • 領域内に先手が目標の動物 を作れる場所が 1 つでもあれ ば先手が勝つことができる • 先手は勝つことができる
囲い込み戦略
• 囲い込み戦略により、
2-Helly property
をもつ 動物はすべて勝ち型と分かった。 2-Helly property P の形をした領域の集合Ａが を満たすならば となる集合 が存在する
→ 2-Helly property
をもつ動物は長方形しか見つかっていない
囲い込み戦略
囲い込み戦略により勝ち型と判明した動物 m n
まとめと今後の課題 • まとめ 1.
2.
ハラリィの一般化三並べの拡張として，新たに共喰い動物 ゲームを提案し，その基本技術を得ることができた。 負け型の証明法として， ペアリング戦略 ・ 穴空け補題 勝ち型の証明法として， 囲い込み戦略 • 今後の課題 勝ち型か負け型か判明していない動物についての考察 （特に 2 × 4 のＵ字型）