Transcript 配送計画
配送計画を立てる • • • • • • 基本的な配送計画 特殊ケース 多種の制約 バリエーション 近傍探索 近傍探索の高速化 配送計画とは • デポ（配送基地・荷物の集積所）に荷物があり、それをト ラックで顧客に配送する際の、最適な配送の仕方（各ト ラックのルート）を求める問題 問題例１：部品配送 • ある部品工場から、他の工場へ、週に1度部品の配送を行 う。部品の量は大体一定なので、毎週同じルートで配送し ても差し支えない • 配送コストを抑えるため、配送ルートを固定してトラックの 台数と移動距離を最小化したい（一回きっちり解きたい） • 工場間距離はナビで計算か、直線距離 問題例２：宅急便 • 宅急便の集配所から、トラックでお客に荷物を配送する。 • コスト最小化のため、台数と移動距離を最小化したい。 • お客は毎日変わるので、毎日解きたい • お客が指定した時間に到着する必要がある。 11:00! 17:00! 午前中! 問題例３：乗合いタクシー • 複数のお客が乗合うタクシーの会社がある • あちこちで順番に、指定した時間にお客を拾い／降ろす （お客を拾い空港へ向かう等。乗り降りの順番はどうでもいい） • 移動距離が長いと客から文句が来る • 他の客のために大回りをすると文句が来る • 他の客の待ち時間が長いと文句が来る 問題例４：工作機械のスケジュール • 工作機械で、それぞれの製品を修理する • 製品 i を修理した後、製品 j の修理を始めるには、セット アップの時間が dij かかる • 使用する機械の数を少なく、総セットアップ時間を短くしたい お客が沢山いると難しい • 小さい問題は人手で簡単に解けるが、客が増えると、とり あえずのルートを見つけるだけでも大きな手間がかかる 基本的な配送計画 入力： 顧客の集合と、顧客間・顧客デポ間の移動距離 各顧客でのサービス時間 解： デポに始まりデポに終わる、トラックのルートの集合 目的関数： 運送コスト（トラックの総移動距離）、あるいはトラッ クの台数（解に含まれるルートの数）の最小化 制約条件： • 各顧客は、どれかのトラックのルートに含まれていること • 場合によっては、（トラックの台数） • 各トラックの最大移動距離（運転手の労働時間） 特殊ケース１ • トラックの台数が1台だと、巡回セールスマン問題になる。 少なくとも、巡回セールスマン問題よりは難しい 特殊ケース２ • 特殊なグラフを作り、目的関数をトラックの台数最小化にす ると、ビンパッキングになる (ai+aj)/2 aj/2 各大きさ ai 大きさ b ai/2 長さ b その他の制約 • 実際の問題を解こうとすると、いろいろな制約が必要 最大積載量： 各トラックについて顧客に届ける荷物の総重量 が、最大積載量を超えないこと 時間指定： トラックの、顧客への到着時間に、 （ある範囲の） 指定がある トラックの大きさ： トラックに種類がある場合（10t、2tなど）、各 顧客にサービスできるトラックの種類の限定（狭い道に面す る顧客には大型トラックは使えない、など） 到着の順序： ある顧客をサービスしてから、ある顧客へ行くこ と、などのルート内の順序 ドライバーの労働時間のばらつき： 長いルートと短いルートが あるのは、良くない バリエーション１ • デポが複数の場合 • 顧客は、どのデポのトラックがサービスしても良い 顧客対デポの制約： ある顧客をサービスできるデポの制限 バリエーション２ • トラックルートの、始点と終点のデポが異なっても良い場合 始点と終点が異なるトラックの台数制約 始点と終点の組みに対する禁止制約 バリエーション３ • 回転（一度デポに戻ること）をゆるす場合 乗合いタクシー問題 • 荷物を降ろす顧客と、荷物を積み込む顧客がある 顧客対デポの制約： 「顧客Aを乗せる」と「顧客Aを降ろす」 は同じトラックでサービス 問題の難しさ • NP-hard と呼ばれる、難しい問題のクラスに属する • 01 整数計画問題として定式化できる ただし、整数計画ソルバーで解いても、効率が悪い • 近似解法・発見解法を使うのが普通 • 実用上十分な精度の解が得られる （そもそも人手で解くより、はるかに短時間、手間もかからな い。それにそれなりの解の精度があれば十分） （そもそも、移動距離・サービス時間の誤差が最初からある） 近似解法１ • デポからの方角で、顧客をグループ分けする • それぞれの区画を、トラック1台で回る • それぞれの区画は巡回セールスマン問題で解く • 計算時間は、O(巡回セールスマン問題 ×顧客数) 顧客数 → +∞ のとき、最適解の2倍程度に収束する セービング法 • 最初、すべてのトラックのルートを空にする • 顧客を１つずつ、最も移動距離が増えないルート（挿入可能な ルート）に挿入する • 計算時間は O（顧客数2） 平均的に、誤差10-20%くらいに収まる 近傍探索１ • ルート内の変更 巡回セールスマンの近傍探索を使えばよい 2-opt、挿入近傍など 数：（長さ）2（台数） 近傍探索２ • ルートの組に対する変更 移動： ある顧客を、別のルートのどこかの位置に挿入 数： （長さ）2（台数）2 近傍探索３ • ルートの組に対する変更 2-exg： ２つのルートを途中で切り、後半を交換 数： （長さ）2（台数）2 近傍探索４ • ルートの組に対する変更 クロス近傍： 2つのルートの部分ルートを交換する 数： （長さ）4（台数）2 全部使うと強力。局所探索でも最適解近くまで行く 例題 • 距離は縦横に移動した数、最大積載量は10、最大移動距離は 20 4 2 3 8 3 4 2 1 4 1 2 5 例題 • 距離は縦横に移動した数、最大積載量は10、最大移動距離は 20 4 2 3 8 3 4 2 1 4 1 2 5 例題 • 距離は縦横に移動した数、最大積載量は10、最大移動距離は 20 4 2 3 8 3 4 2 1 4 1 2 5 例題 • 距離は縦横に移動した数、最大積載量は10、最大移動距離は 20 4 2 3 8 3 4 2 1 4 1 2 5 例題 • 距離は縦横に移動した数、最大積載量は10、最大移動距離は 20 4 2 3 8 3 4 2 1 4 1 2 5 例題 • 距離は縦横に移動した数、最大積載量は10、最大移動距離は 20 4 2 3 8 3 4 2 1 4 1 2 5 例題 • 距離は縦横に移動した数、最大積載量は10、最大移動距離は 20 4 2 3 8 3 4 2 1 4 1 2 5 例題 • 距離は縦横に移動した数、最大積載量は10、最大移動距離は 20 4 2 3 8 3 4 2 1 4 1 2 5 実際の計算時間 • 仮に、顧客数を1000、トラックを30台とする ルートの長さはだいたい30になる • それぞれの近傍の大きさは （長さ）2（台数）2 ≒ （顧客数）2 ≒ 100万 （長さ）4（台数）2 ≒ （長さ）2（顧客数）2 ≒ 10億 • 近傍1つの目的関数の評価に、長さ分の計算時間がかかる 全部の近傍の評価をする、300億 •パソコンは1秒で1億回くらいの計算ができる 3000秒。だいぶ遅い （局所探索でも1日かかりそう） 計算の高速化 • 近傍1つの目的関数の評価に、長さ分の計算時間がかかる ここを速くする • よく見ると、近傍の各解は、1箇所ずつ異なっている • 異なる部分についてだけ O(1) 時間で再計算する。 • ルートの距離、最大積載量など、だいたいの制約がチェック可 • 到着時間の制約も、工夫するとできる （ルートの長さ／３）倍くらいの高速化 計算の高速化２ • 改善の可能性のある近傍だけチェックする • クロス近傍は、2-exg 近傍を２回行ったもの （ルートの長さが）改善されるなら、どちらかの2-exgで改善がある • 改善のある2-exg 近傍を含むクロス近傍だけチェックする （一概には言えないが）300倍くらいの高速化 計算の高速化３ • 目的関数の計算時間の改善 ‥ ‥ 10倍 • 改善の可能性のある近傍だけチェックする ‥ ‥ 300倍 合計3000倍 一回の計算が1秒になった。 これなら、1分ぐらいで、局所探索も終わりそう 課題： 到着時間指定などの難しい制約が入っていると こう、うまくはいかない • どうしたものか まとめ • 基本的な配送計画の紹介 （入力、出力、変数、制約、目的関数の定義） • 特殊ケースと難しさ • よく使われるいろいろな制約 最大積載量、到着時間、トラックの種類、到着順 • 拡張問題 複数デポ、回転、始終点不一致、乗り降ろし • 近似解法 エリア分割、セービング法 • 近傍探索 巡回セールスマンのもの、挿入、2-exg、クロス • 近傍探索の高速化 目的関数の評価法、可能性のない候補の除外