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富山大学知能情報工学科
「統計学」第3回
第２章 標本データの記述（２）
高 尚策 （コウ ショウサク） 准教授
Email: [email protected]
前回の復習
• 母集団と標本
• データの分類
– 度数分布表
– ヒストグラム
• 算術的記述
– 代表値（average）＝位置（location）の測度
平均値（mean）
中央値（median）
最頻値（mode）
平均値（算術平均）・中央値・最頻値の特徴
今日の内容
• 算術的記述
– 散布度（dispersion）＝変動（variation）の測度
分散（variance），標準偏差（standard deviation）
範囲（range）
四分位範囲（interquartile range）
• 実践
– エクセルを用いた各種統計量（平均値、最大値、
最小値、範囲、分散，標準偏差、最頻値、中央値、
四分位範囲）の求め方
– 分類されたデータからの分散の計算
なぜ散布度を考えるのか？
• 分布の中心だけでなく，そのまわりにどれぐら
いの変動があるのかを考慮しなければならな
いことが多い．
– リスクの評価（「平均で１万円もうかる」だけでは
困る．変動の大きさを知りたい）
– テスト得点の比較（平均が50点の２つのテスト．
70点の価値は分布の広がりによる）
• 人はしばしば変動を無視してしまう（例：血液
型性格診断）
血液型別の性格特性
何
ら
か
の
性
格
特
性
の
程
度
平均値（仮想）の位置を図示
AB
A
B
O
血液型別の性格特性
何
ら
か
の
性
格
特
性
の
程
度
平均値の位置に加え，
個人差を図示
AB
A
B
O
血液型による差よりも，個人差がずっと大きいと，
性格診断には役立たない．
朝日新聞2012年12月5日 「温度差 各党も党内も」
朝日新聞2012年12月5日 「温度差 各党も党内も」
分散
• 平均値とペアで用いる．
• 平均からの偏差平方和（sum of square
deviation）を，測定値の数（n）あるいは測定
値の数から１を引いた数（n-1）で割る
n
1
2
s2 
(
X

X
)

i
n 1 i 1
1
2
2
2

{( X1  X )  ( X 2  X )   ( X n  X ) }
n 1
• 偏差平方和を測定値の数（n）で割った分散
は，「偏差の２乗の平均」である．
平均
1 n
2

Xi  X 

n i 1
平方
偏差
和
式は言葉で読むとよい．次のスライドも参照．
• 分散は，平均値のまわりでの，測定値のちら
ばりを表す．
– 直感的には，ヒストグラムの横幅
– 例１：データ {4, 5, 6}


1
2
2
2
2
4  5  5  5  6  5 
3
3
– 例２：データ {0, 5, 10}


1
50
2
2
2
0  5  5  5  10  5 
3
3
• 偏差平方和を測定値の数（n）で割った分散
は，次のように式変形できる．
1 n
1 n 2
2
2


X

X

X

X


i
i
n i 1
n i 1
「分散は，２乗の平均－平均の２乗」のように，
式は言葉で読むとよい．
なぜ平方（２乗）和なのか？
• 平均からの偏差（deviation）を単純に加算す
ると，ゼロになってしまう．（章末問題17）
n
( X  X )  0
i 1
i
• 偏差の絶対値を取って加算平均をしてもよい
が，絶対値は扱いにくいことがある．
n
| X  X |
i 1
i
平均偏差（mean deviation）
なぜn-1で割るのか？
• 測定値の数（n）で割るのは，「偏差平方の平均」
なのでわかりやすい．
– 各測定値が，平均の周りに，「平均して」どれくらい広
がっているかを表す
• しかし，母集団の分散を推定するという立場では，
n-1で割る方が望ましい性質を持つ（テキスト第６
章３節「不偏推定値」）．
• テキストでは「標本分散」（sample variance）と呼
んでいるが，これは n で割った方を指すことも．
誤解の心配がない表現は「不偏分散」（unbiased
variance）
標準偏差
• 分散の，正の平方根
• 標準偏差の単位はもとの測定値の単位と同
じ
– 「平均175センチ」という表現はOK
– 「分散25センチ」はだめ
– 「標準偏差5センチ」はOK
標準偏差と分布の広がり
• 正規分布（第５章）をしている母集団からの，
大きな標本では，
– 「平均±１標準偏差」の範囲に全測定値のおよそ
68%（偏差値40～60）
– 「平均±2標準偏差」の範囲に全測定値のおよそ
95%（偏差値30～70）
Chart Title
約６８％
0.45
0.4
0.35
約９５％
0.3
0.25
Series1
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
範囲
• 最大の測定値と最小の測定値の差
• 他の測定値と著しく異なる値であるはずれ値
（outlier）の影響を受けやすい．
四分位数
• 四分位数（quartile）：測定値を大きさの順に並べ，
等しく４分割するときの分割点となる数
• 下から順に，第１四分位数，第２四分位数，第３
四分位数と呼ぶ．
• 第２四分位数は中央値のこと．
• 分割点が２つの測定値の間に落ちるときは，そ
れら２つの測定値の中点をとる．
• データをヒストグラムに分類した後では，ヒストグ
ラムの全面積を４分割する点（例題１，例題２）
四分位数の求め方は複数ある
• 「測定値を等しく４分割する点」とはどこか、の
解釈の違いにより，四分位数の計算方法は
いくつかある．
• この違いにより，四分位数の値も異なったも
のになる．
比較的簡単な四分位数の求め方
【測定値の数が偶数のとき】
– 測定値を大きさの順に並べ，中央値の位置で半分に
分ける．
– 小さい方の測定値グループでの中央値が第１四分位
数，大きい方のグループでの中央値が第３四分位数
となる．
【測定値の数が奇数のとき】
– 両方のグループに中央値を含めて，あとは偶数の場
合と同様に求める．
（どちらのグループにも中央値を含めない方法もあ
る）
エクセルのQuartile関数
測定値 n 個，第１四分位数 Q1 は k 番目の測定値とする
1
k  (n 1) 1
4
0
1
n-1
n
「1 と n の間を 1:3 に分割する点」
＝「0 と n-1 を 1:3 に分割する「数」に，１を加えた所」
• k が整数でない時，k の整数部分を q として
（小数部分はk-q）， q 番目の測定値 Dq と q+1
番目の測定値 Dq+1 の間に四分位数があると
考える．
• 補間により四分位数を求める．
Q1  Dq  (k  q)(Dq1  Dq )
測定値 n 個，第１四分位数 Q1 は k 番目の測定値とする
(k  q)(Dq1  Dq )
Dq
Dq＋１
Q1  Dq  (k  q)(Dq1  Dq )
例題：第１四分位数
• 0, 1, 4, 5, 6, 8, 9 という，７つの測定値の第１四分
位数 Q1 は？
手順１：第１四分位数となる k 番目の測定値
1
1
k  (n 1)  1  (7 1)  1  2.5
4
4
手順２：２番目の測定値は１，次は４．
Q1  Dq  (k  q)(Dq1  Dq )
 1  (2.5  2)(4 1)  2.5
参考：Excel 関数に対する変更
• Excel 2010 からは，QUARTILE 関数のかわり
に，QUARTIEL.INC あるいは QUARTILE.EXC 関
数を用いる．
– QUARTILE 関数もまだ使える
– QUARTILE 関数と QUARTILE.INC 関数は，戻り値を
０とすると最小値，４とすると最大値を返す．
QUARTILE.EXC 関数ではエラーになる．
四分位範囲
• 中央値とペアで用いる．（cf. 平均値と分散）
• 第３四分位数から第１四分位数を引いた値
• 四分位範囲を２で割った数値を，四分位偏差
（quartile deviation）と呼ぶことがある．
ヒストグラムでの四分位数
テキスト例題１での第１四分位数を例に
第1四分位数 17 19
人数（度数ｆ）
20
15
11 12 12
10
5
6 7
2 1 2 1
9
0 0 1
0
11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53
週あたり労働時間
 測定値１あたり，面積１の正方形を積み上げてヒストグラムを作
ると考える．
 第１四分位数 = 左側の面積が25となる点
 24.5～27.5時間という階級までで面積19（あと６）
 次の階級の面積は 11 だから，ここを縦に11分割して６つ分
 階級の幅は３時間だから，境界値 27.5 時間に3 * (6/11) を加え
れば，これが第１四分位数
ヒストグラムでの四分位数
第1四分位数＝２９．１
6
Q1  27.5  3  29.1
11
11:6
27.5時間
階級幅３時間
スコアの変換（章末問題21）
• 測定値全体に定数 c を加える
– 平均も c を加えた値になる
– 分散，標準偏差は変化しない（山を平行移動した
だけなら，広がりは変化しない）
• 測定値を a 倍する
– 平均は a 倍される
– 分散は a2 倍される
– 標準偏差は a 倍される
スコアの変換（+ c）と平均値
n
1 n
1 n
( X i  c)  ( X i   c)

n i 1
n i 1
i 1
n
1
1
  X i  nc
n i 1
n
 X c
上のようなシグマを使った計算がわからなかったら，
要素を具体的に書き並べてみること！
スコアの変換（a倍）と平均値
n
n
1
1
aX i  a   X i

n i 1
n i 1
 aX
スコアの変換（+ c）と分散
1
2

( X i  c)  ( X  c)

n 1 i 1
1 n
2

(
X

X
)

i
n 1 i 1
n
平均に c が加えられていることに注意
スコアの変換（a倍）と分散
n
1 n
1
2
2

(aX i  aX ) 
a( X i  X )


n 1 i 1
n 1 i 1
n
1
2
 a2 
(
X

X
)

i
n 1 i 1
 a2  s2
平均が a 倍されていることに注意
1. エクセルを用いた各種統計量の求め方
2. 分類されたデータからの分散の計算
実践１：エクセルを用いた各種統計量の求め方
例題２のデータで，エクセルを用いて，平均値、最大値、最小値、範
囲、分散，標準偏差、最頻値、中央値、四分位範囲を求める．
① 元のデータから平均を求める方法は，AVERAGE 関数を用いる．
②
最大値はMAX関数，最小値はMIN関数を用いる．
実践１：エクセルを用いた各種統計量の求め方
③ 範囲を求める関数は存在しない．最大値から最小値を引いて求める．
④
分散を求めるにはVAR関数を用いる．この関数はテキストp.20に説明さ
れている標本分散（sample variance）を計算する．
2
平均からの偏差平方和 ( X i X ) を，n-1でなくnで割った分散を求めるに
は，VARP関数を使う．

実践１：エクセルを用いた各種統計量の求め方
⑤ 標準偏差を求めるにはSTDV関数を用いる．この関数はテキストp.20に
説明されている標本分散（sample variance）の，正の平方根である．VARP関
数で求めた分散の正の平方根として標準偏差を求めるならば，STDEVP関数
を用いる．
⑥
最頻値を求める関数はMODEである．
実践１：エクセルを用いた各種統計量の求め方
⑦ 中央値はMEDIAN関数で求める．この関数は，測定値を大きさの順に並
べ，その中央にある値を返す．
⑧
四分位範囲を求めるために，第１四分位数と第３四分位数を求める．こ
れにはQUARTILE関数を用いる．この関数は，データが入力されたセル範囲
の指定にくわえ，「戻り値」という値を指定する．０は最小値，１は第１四分位
数，２は第２四分位数（中央値），３は第３四分位数，４は最大値を返す．第３
四分位数と第１四分位数を求めたら，引き算して四分位範囲を求める．
戻り値
実践２：分類されたデータからの分散の計算
章末問題28のデータを用いて，度数分布表に分類されたデータから分散
の計算を行う方法を説明します．
Step 1 総度数を記録しておきます．数値を入力してもよいです
が，下図では度数分布表での各階級の度数を合計しています．
実践２：分類されたデータからの分散の計算
章末問題28のデータを用いて，度数分布表に分類されたデータから分散
の計算を行う方法を説明します．
Step 2 分散の計算には平均からの偏差平方和が必要です．その
ため，最初に平均を計算しておきます．分類されたデータでは，
各階級に属する測定値は，すべてその階級値をとったものと考
えます．たとえば，最初の階級では，血圧が95の人が2人いたと
考えます．そこで，階級値と度数の積を計算します．
実践２：分類されたデータからの分散の計算
章末問題28のデータを用いて，度数分布表に分類されたデータから分散
の計算を行う方法を説明します．
Step 3 階級値と度数の積をすべての階級にわたって合計します．
実践２：分類されたデータからの分散の計算
章末問題28のデータを用いて，度数分布表に分類されたデータから分散
の計算を行う方法を説明します．
Step 4 いま求めた合計値を，総度数で割ります．これが，分類
されたデータから求めた平均値になります．
実践２：分類されたデータからの分散の計算
章末問題28のデータを用いて，度数分布表に分類されたデータから分散
の計算を行う方法を説明します．
Step 5 各階級での，平均からの偏差の２乗を求めます．測定値
は階級値に置きかえられていますので，階級値から平均値を引
いて２乗します．その値に階級の度数をかけます．そして偏差
平方和を求めます．
実践２：分類されたデータからの分散の計算
章末問題28のデータを用いて，度数分布表に分類されたデータから分散
の計算を行う方法を説明します．
Step 6 各差平方和を，総度数から１を引いた数（ここでは49）
で割ると，分散が求められます．整数で測定されたデータでは，
統計量（平均，分散，標準偏差など）は小数点以下第1位まで求
めてください．この問題では287.0です．
演習課題
（２）章末問題２９のデータを用いて，度数分布表に分類されたデー
タから分散の計算を行おう。
レポート内容：
 課題（１）の答えを解答用紙（１）に書いてください。
 課題（２）の答えを解答用紙（２）に書いてください。
名前と学籍番号をご記入のうえ、解答用紙（A4）を提出する。
提出先：工学部電子情報実験研究棟５階
締め切り時間：
NO.5506室のドアのポストに入れてください
再来週月曜日（５月１１日） 午後５時まで
尚、講義用パワーポイントは
http://www3.u-toyama.ac.jp/tanglab/content51/content51.htmlからダウンロードできる。