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コンピュータアーキテクチャI #2
論理数学の基礎
平成２７年4月１７日
教科書p.12～p.23
本日の講義内容


2進数と10進数（復習）
論理とは？
– 組み合わせ論理，順序論理，２値論理

論理表現と演算
– 真理値と真理値表

基本的な論理演算
– 論理和，論理積，否定
– ベン図による論理の表現
– 双対性

まとめ
2進-10進変換

10進数→2進数
– 2で割って余りを求める
– これを余りが０か１になるまで続ける
– 最後に求めた余りから最初の方に向かって余り（０か１）
を並べれば変換終了

2進数→10進数
– 2進数の第𝑘桁目は2𝑘 を表す
– 𝑘桁目の値𝑎𝑘 に2𝑘 をかけた値を各桁で求める
– これをすべて加えれば変換終了
論理とは

ろんり（logic）＜広辞苑＞
– 思考の形式・法則。また、思考の法則的なつながり。
– 実際に行われている推理の仕方。論証のすじみち。
– 比喩的に、事物間の法則的なつながり。

「論理回路」の世界では，論理変数と論理演算を組み
合わせ，「命題」を表現する手立て．
命題(Proposition)

正しいか，正しくないかの判定ができる文章や数
式のこと
–
–
–
–


「２０１４年度セントラルリーグ優勝はタイガースだった」
「２０１４年度セントラルリーグ優勝チームは？」
「赤い色の果物はイチゴである」
「いちごは赤い色の果物である」
ある命題が正しい： 真（True，１）
ある命題が正しくない： 偽（False，０）
論理変数


ある物事を表すのに用いる「変数」．2値しかとりえな
い変数を用いるときは「2値論理」と呼ぶ．
(例)論理変数X：そば粉が使われている
– 「そば」や「そばがき」など：𝑋 = 1
– 「うどん」や「パスタ」など：𝑋 = 0

(例）論理変数Y：海苔がのっている
– 「ざるそば」，「親子丼」など：𝑌 = 1
– 「ハンバーグ」など：𝑌 = 0
独立変数と従属変数

独立変数
– 他に束縛されることなく値を決定できる
– 先の例では論理変数𝑋, 𝑌が該当する

従属変数
– 他の論理変数の値により，値が決まる変数
– 「ざるそば」を論理変数𝑃とすれば，𝑃は従属変数であり，以
下のように表される
𝑃 =𝑋∩𝑌
– 「もりそば」を論理変数𝑄とすれば，𝑄は従属変数であり，以
下のように表される
𝑄 =𝑋∩𝑌
真理値と真理値表

すべての独立変数がとりうる値に対して，従属変数が
どのような値をとるかを一覧表にしたもの
– 変数𝑋：そば粉
– 変数𝑌:海苔
– 変数𝑃:ざるそば

論理変数がとる値
– 論理値と呼ぶ
𝑋
𝑌
𝑃
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
例題：真理値表を作ってみる
1. ２つの２進数１桁を加算したときの和と桁上がりの
関係
2. 講義が休講であり，霧島，秋月，雪風の急速修理
が完了していれば遠征に出す
3. 宮崎県内で畜養された黒毛和牛肉であり，等級が
A5かA4以上であれば，「宮崎牛」である
命題の否定

ある論理変数𝑋に対し，その値を否定（反転）すること
– 論理変数𝑋の否定：𝑋
𝑋
𝑈
𝑋
𝑋 = 1のとき𝑋 = 0
𝑋 = 0のとき𝑋 = 1
論理積

ある命題𝑋と𝑌があり，ともに｢真」のときのみ成り立つ
命題𝑍
–
–
–
–
𝑍は𝑋と𝑌の「論理積」である，という
𝑍 = 𝑋 ⋅ 𝑌 = 𝑋𝑌
𝑋
𝑍 =𝑋∩𝑌
𝑋
⋅
𝑌
𝑍 = 𝑋 𝑎𝑛𝑑 𝑌
0
𝑌
𝑍
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
𝑈
𝑋
𝑌
論理和

ある命題𝑋と𝑌があり，どちらか一方が｢真」であれば
成り立つ命題𝑍
–
–
–
–
𝑍は𝑋と𝑌の｢論理和」である，という
𝑍 =𝑋+𝑌
𝑋
𝑍 =𝑋∪𝑌
𝑋
+
𝑌
𝑍 = 𝑋 𝑜𝑟 𝑌
0
𝑌
𝑍
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
𝑈
𝑋
𝑌
2変数のAND,OR,NOTと真理値表

論理変数𝑋, 𝑌によるAND，OR，𝑌に対するNOT演
算をまとめて書きなさい
𝑋
𝑌
AND
OR
𝑁𝑂𝑇 𝑌
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
３変数のAND,ORと真理値表

論理変数𝐴, 𝐵, 𝐶に対するANDとORをまとめて書き
なさい
𝐴
𝐵
𝐶
AND
OR
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
論理式（関数）とは


ある命題を，論理変数とその演算を組み合わ
せて表現したもの
命題Z：「翌日が土曜日か日曜日であり，天気
予報が晴れであり，かつ所持金が3千円以下で
なければ海水浴にいく」
–
–
–
–
翌日が土曜日： A（真ならば１）
翌日が日曜日： B（真ならば１）
天気予報が晴れ： C（真ならば1）
所持金が3千円以下： D（真ならば１）
𝑍 = 𝐴+𝐵 ⋅𝐶⋅𝐷
真理値表と論理式
𝑍 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶

論理式
–
–
ある論理変数について，真となる条件
のみを独立変数の論理演算の形で表
したもの
真理値表が与えられたとき，
1.
2.
3.
4.
5.
6.
論理式が１となる場合の，
各場合の論理変数の値を調べ，
論理変数の値が１ならそのまま，
論理変数の値が０なら変数を否定し，
結果の論理積をとり，
すべての場合の5を論理和で結ぶ
𝐴
0
0
0
0
1
1
1
1
𝐵
0
0
1
1
0
0
1
1
𝐶
0
1
0
1
0
1
0
1
𝑍
1
0
0
1
1
0
0
1
ブール代数

ブールさん
– 論理変数に対する演算を体系化した人

ブール代数
– 論理変数に対する演算体系
– 代数構造
𝐴, +,⋅, −, 0,1 , 𝐴 ∈ 𝑈
否定
– 演算の強さ： NOT > AND > OR
ブール代数の公理（１）




𝐴, 𝐵 ∈ 𝑈を前提とする
公理1:
– (a) 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑈
– (b) 𝐴 ⋅ 𝐵 ∈ 𝑈
公理２：
– (a) 𝐴 + 0 = 𝐴となる元0が存在する
– (b) 𝐴 ⋅ 1 = 𝐴となる元１が存在する
公理３：交換則
– (a) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
– (b) 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴
ブール代数の公理（２）



公理４：（分配則）
– (a) 𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 ⋅ (𝐴 + 𝐶)
– (b) 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ⋅ 𝐵 + (𝐴 ⋅ 𝐶)
公理５：元0と元１が唯一であるとき，
∀𝐴 ∈ 𝑈, 𝐴 ⋅ 𝐴 = 0, 𝐴 + 𝐴 = 1
なる元𝐴が存在する
公理６： 𝑈には𝐴 ≠ 𝐵となる𝐴と𝐵が存在する
双対性


ある論理関係の０を１，１を０，＋を・，・を＋に置
き換えて出来る関係を｢双対｣という
双対性が成り立つ公理
–
–
–
–
公理1aと1b
公理2aと2b
公理3aと3b
公理4aと4b
閑話休題

公理
– 証明不可能であるとともに、また証明を必要とせず直接に
自明の真として承認され他の命題の前提となる根本命題。
(ｲ)ある理論領域で仮定される基本前提。この場合、公理
は自明な真理ではなく、公理系のとり方によって定まる。
従ってある公理系で公理である命題も、他の公理系におい
ては公理から証明される定理となることや、また偽となるこ
とがある。

定理
– (theorem) すでに真なりと証明された一般的命題。公理ま
たは定義を基礎として真であると証明された理論的命題。
主なブール代数の定理（１）

公理2aを満たす元０および公理2bを満たす元１は，
それぞれ唯一つ存在する

公理５を満たす元𝐴はただ1つだけ存在する

任意の元Aに対し，次のべき等則が成立する
𝐴+𝐴=𝐴
𝐴⋅𝐴=𝐴
主なブール代数の定理（３）

任意の元𝐴に対し，次の復帰則が成立する
𝐴=𝐴

任意の元𝐴, 𝐵, 𝐶に対し，次の結合則が成立する
𝐴+𝐵 +𝐶 =𝐴+ 𝐵+𝐶
𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶)
主なブール代数の定理（４）

任意の元𝐴, 𝐵に対し，次の吸収則が成立する
𝐴+𝐴⋅𝐵 =𝐴
𝐴 𝐴+𝐵 =𝐴

任意の元𝐴, 𝐵に対し，次の第２吸収則が成立する
𝐴+𝐵 ⋅ 𝐴+𝐵 =𝐴
𝐴⋅𝐵 + 𝐴⋅𝐵 =𝐴
主なブール代数の定理（５）

任意の元𝐴, 𝐵に対し，次のド・モルガンの定理が成
立する
𝐴+𝐵 =𝐴⋅𝐵
𝐴⋅𝐵 =𝐴+𝐵
練習問題
下の式をブール代数を用いて証明せよ

𝐴+𝐴⋅𝐵 =𝐴+𝐵

𝐴 𝐴+𝐵 =𝐴⋅𝐵
本日のまとめと来週の予定

論理演算の基本
–
–
–
–

命題と論理変数
真理値と真理値表
基本的な論理演算（AND, OR, NOT）
ブール代数の公理と定理
来週の予定
– ２変数論理関数とド・モルガンの法則
– 加法標準形と乗法標準形