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球の体積
筑波大学大学院 教育研究科
小林
真人
ユークリッド原論

Ⅰ巻－命題４４
与えられた線分上に、与えられた三角
形に等しい平行四辺形を、与えられた直
線角に等しい角のなかにつくること
比例中項

Ⅱ巻－命題１４
与えられた直線図形に等しい正方形をつ
くること
ユークリッド原論
ⅩⅡ巻－命題２
円は互いに直径上の正方形に比例する。
 ⅩⅡ巻ー命題７
三角形を底面とするすべての角柱は三角
形を底面とする互いに等しい三つの角錐に
わけられる。
 ⅩⅡ巻ー命題１０
すべての円錐はそれと同じ底面、等しい
高さを持つ円柱の３分の１である。


前回やったように
平面図形や立体図形の大きさを比を用い
て表そうとしていた。
では，球の体積についてはどのように考え
たのだろう。
アルキメデス
（紀元前２８７頃～２１２
頃）
 シチリアのシラクサ
で生まれた。
 数学 だけではなく、
天文学 、 流体力学
など、幅広い分野に
関心をもっていた。
アルキメデス
「平面板の平衡について」

「二量は重量に反比例する距離におい
て釣り合う。」

「それぞれの重量がａ、ｂの時、点Ａ，
Ｂがそれらの重心であるとし、ＤＥは
ある長さの直線で、点Ｃにおいて分割
されて、ａ：ｂ＝ＤＣ：ＣＥになると
する。そして、ａとｂの結合された量
の重心がＣであるということであ
る。」
アルキメデス「方法」

命題2
「全ての球は、球の大円に等しい底面と、
球の半径に等しい高さを持つ円錐の4倍で
ある。」
ＭＳ、ＳＱに囲まれた長方形は、ＲＳ
上の正方形とＳＱ上の正方形との和に
等しい。

長さを文字でおいたりせずに、図形同士の
比較を用いて、証明してみよう。
ヒント
最初にやった比例中項を
思い出してみよう。
ＭＮ２：（ＲＯ２＋ＱＰ２）
 ＝直径 ＭＮの円：（直径 ＲＯの円
＋直径ＱＰの円）


AI：ＡＳ＝円柱の中の円：（球の中の
円＋円錐の中の円）
円柱： （円錐＋球）＝ ２ ： １
円錐：球：円柱＝ １：２：３