Transcript Optimization in Quantum Computation and Infomation

量子情報基礎
ー 線形代数によるー
今井 浩
東京大学情報理工学系研究科
コンピュータ科学専攻
ERATO今井量子計算機構プロジェクト，JST
量子情報科学のための量子力学
• 情報を内部で表現するための量子状態
– 一般形：密度行列 ー 純粋・混合状態ともに表現
– 純粋状態：ベクトルで表現可 ー ケットベクトル
• 情報を獲得するための操作：測定
– 一般的測定：POVM
– 射影測定のみ書かれている教科書も有
• 情報を変換するための操作
– 完全正写像(CP-map)：測定も同じ枠組みで扱える
– 純粋状態のみで考える際：ユニタリ変換
量子情報基礎：密度行列
• 大学学部量子力学入門
– ケット・ブラベクトル |  ,   | (ブラケット)，射影測定,…
• より一般的枠組み(有限次元：線形代数で十分)
– 量子状態： 密度行列(密度作用素)  C N  N
   *  0, Tr   1
– ランク1の密度行列⇔
正規化固有ベクトルをケットベクトルとする純粋状態
– ランク2以上の密度行列 ⇔ 混合状態(純粋状態を混合)
    v v *, 純粋状態 v を確率  で混合
i i i
i
i
量子情報基礎：密度行列(補遺)
N N

C
– 量子状態： 密度行列
   *  0, Tr   1
Hermite, 非負定値，トレース1の複素行列
N
⇔ 固有値        N  0, 非負 ,  i  1
1 2
i 1
固有値分解(対角化)
    v v *, | v | 1, v v *  0 (i  j )
i i i
i
i j
– 純粋状態：ランク1の密度行列
  1,     
1
2
N
 0,
v で表現可
1
1qubit
複素数   a  b i, 複素共役   a  b i, | |    a 2  b 2
N  2の場合 : 1qubit (quantum bit ， 量子ビット
純粋状態 v 






 













1 
0





 
 密度行列   
 















0 
1 
0  , 1   でそれぞれ


1 
0 









0 
1





2
)
2
(|  |  |  |  1)




 
; qbit とも書く







| |2


|  |2







0,1を表現 , v   として

*
v    








1qubitでの純粋状態と混合状態
0 , 1 を確率 1 で混合  混合状態 ( 密度行列  )
2







1
1

20
0  1  0




2
0
0 

0 
1












1/ 2
0
0
1/ 2







, ランク
2


 
1
1   1
1 1 
で混合  

 
を確率

 , 
2
2  1 
2 1 


1 1 / 2




2 1/ 2
1 / 2  1  1 / 2



1 / 2  2   1 / 2
 1 / 2 
1/ 2




  , 識別不能
テンソル積と部分トレース
H  C 2,K  C 2
H, K の密度行列
r 
    11
r 
21








r
  11
r
21








r
12 , 
r
22








r 
12 : H  K 上の密度行列
r 
22










12
 : H  K 上の密度行列 ,    11


21
22
部分トレース
Tr         : K 上の密度行列
11
22
H


















例
2つの独立なコイン








p
 1
0
  
















p q
1 1
0
0
0
0
0
0
0
p q
1 2
0
0
0
0
p q
2 1
0
0
q
, 1
p
0
2
















p  ( p , p ), q  ( q , q )
1 2
1 2
0
q
2








p q
2 2
















純粋状態でのテンソル積と量子もつれ
C 2 基底　| 0 







1







, |1 
0





















1
1




























0
1
1





































|  
























0






















, | |2  |  |2  1














0







1







 
 
 
 
 
 
 















0






























0
0
1
0
0
0
0
| 00  | 0 | 0 
 , | 01  , |10  
 , |11 
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
(| 00  | 01 ) | 0 
(| 0 |1 )
2
2
1
(| 00  |11 )  ??? 分解不能 , entangled
2





























一般の測定: POVM
• a quantum state via measurement information
(probabilistically obtained)
• Positive Operator-Valued Measures (POVM)
{M , , M },
1
k
M  M *  0,
l
l

M I
l
Pr( X  l )  Tr(  M ) (l  1, , k )
l
~ ~
M  M *M
l
l l
~
~
~
~
確率　Pr( X  l )で M *  M / Tr ( M *  M )に収縮
l
l
l
l
~
~
*
密度行列では ,    M  M
l
l
例
• 古典の場合(有限離散分布)：
l
  diag[ p , , p ], M  diag[ 0, ,0,1,0, ,0 ]
1
k
l

p  1, p  0
l
l
Tr(  M )  p で diag [0, ,0,1,0, ,0 ]に
l
l
(全体では  に )
• 純粋状態，射影測定 ( M l2  M l )
l
  vv *, v * v  1, M  diag[ 0, ,0,1,0, ,0 ] ( k  N )
l













v 
1 
v    C k  Pr( X  l )  | v |2  v v , v  C
v
k






l
l l l
で diag [0, ,0,1,0, ,0 ]に
(全体では diag [| v |2 , ,| v |2 ]に )
N
1






 
 




0


1
,
密度行列






 
 


















 







| |2


|  |2









0

0 
0


M 0 0
1 1
, M




1
2
0

0 0 
1


 確率 | |2 で 0 , 確率 |  |2 で 1
1
 


1 1 
1   1
他の正規直交基底
 

 , 


 

2 1 
2  1 




1 / 2

 1/ 2

1
/
2

1
/
2




   
M   
, M




1
2
1 / 2
 1/ 2
1/ 2 
1 / 2 

  ,  実数なら，確率


(   )
2
2
で  , 確率

(   )
2
2
で
純粋状態の部分測定(1)
M  diag[1,1,0 ,0], M  diag[0,0,1 ,1]
1
2
1/ 2 0 0

1
(| 00  |11 )(  00|  11 |) 
2















1/ 2
0
0
0
0
0
0
0
0
1/ 2
0
0
1/ 2















1
Tr(  M )  Tr(  M )  , M  M 2
1
2 2
l
l
M  M / Tr( M  M ) | 00  00 |
1
1
1
1

確率1/2で
M  M / Tr( M  M ) |1111 |
2
2
2
2















1/ 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1/ 2















純粋状態の部分測定(2)
M  diag[1,1,0 ,0], M  diag[0,0,1 ,1]
1
2
1
2
| 0  (| 0 |1 )   
 1 ( 00  01 )
2















1/ 2
1/ 2
0
0
1/2
1/ 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tr ( M )  1, Tr ( M )  0
1
2
M M  M M  M M 
1
1
2
2
1
1















左の量子ビット
を測定
純粋状態の部分測定(3)
M  diag[1,1,0 ,0], M  diag[0,0,1 ,1]
1
2
1/ 2 0 1/ 2 0
1
(| 0 |1 ) | 0   
2  1 ( 00  10 )
2















0
0
0
0
1/2
0
1/ 2
0















0
0
0
0
Tr ( M )  1 / 2, Tr ( M )  1 / 2, 確率 1 / 2で 00 , 10
1
2
1/ 2 0
0
0















0
M M  M M 
1
1
2
2
0
0
0
0
0
1/ 2
0
0
0
0
0















一般の変換：完全正写像
• CP-map (Trace-Preserving Completely Positive Map) :
a general model of a physical change
T
:C N N

C M M ,
k
k *
*
T (  )   A  A with  A A  I
l l
l l
l 1
l 1
• 例：古典のMarkov連鎖
finite distributi on
p  ( p , , p )
1
k
stochastic matrix Q  ( q )
ij
with row sum  1
probabilit y transiti on
p  pQ
  diag[ p ]
A : matrix wit h
ij
( j,i ) - element  q
ij
others 0
T (  )  diag[ pQ ]
ユニタリ変換
(UU *  U *U  I )
U : ユニタリ行列
T (  )  U  U *: CP - map
純粋状態   vv *, v  U v
量子計算
U I
,
2
n 1
2















1
0
0
0 
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0












I
2
n2
量子エントロピー
量子通信路容量
Shannonエントロピーの離散構造
• Shannonエントロピー： 
有限離散確率
 p log p
i
i
p  ( p , , p n ), p , , p n  0,  p  1
i
1
1
• Kullback-Leibler divergence:
p
D (p || q )   p log q i  0
i
i
von Neumannエントロピー
von Neumann entropy H ( )  Tr   log      log 
i
i
( : 量子状態 ( 密度行列 ),  : 固有値 )
i
    v v *, 固有値分解のとき
i i i
log    log  ( v v * )
i
量子 divergence
Petz の定理：
i i
D (  || )  Tr  (log   log  )
CP - map T , D (  || )  D (T (  ) || T ( ))
Examples
• Classical case:

  diag[ p , , p ],
1
N
p  1, p  0
l
l
H (  )  Tr   log     p log p
l
l
  diag[ q , , q ],
1
N

p
D (  || )   p log l
l
q
l
q  1, q  0
l
l
量子通信路符号化定理
量子通信チャネルのバンド
Quantum Communicat ion Channel :
CP - map  : C N  N (input)  C M  M (output)
Classical Communicat ion Channel :
stochastic matrix  proj. measuremen
N.B. : POVM is a CP - map
M  A* A ,    A  A*
l
l l
l l
t
通信路容量
H ( )   log      log 
i
i
( : quantum state,  : eigenvalue s)
i
von Neumann entropy
  {  ( , , ;  , , ) |
1
d 1
d
    , d  NN
i i
  i  1,  i  0,  i : input}
相互情報量 : I ( ,  )  H ( )    H ( )
i
i
量子通信路符号化定理
(Holevo et al.) :
量子通信路容量
C ( )  sup I ( ,  )
 
通信路容量の計算
• So far, alternating-type algorithm
(Arimoto-Blahut ’72, Nagaoka ’98)
Fixing   I ( ,  ): concave with respect to 
i
(Classical Case)  : fixed, hence Convex Pro gramming
i
(Quantum Case)
 : fixed, then Convex Pro gramming
i
 : variable  Global Optimizati on
i