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人工知能特論2011
No.５
東京工科大学大学院
亀田弘之
まずは、復習から。
論理体系構築の手順（復習）
字母の決定
（論理式を記述するための記号群を決める）
 Syntax
（記号の意味ある並びを決める。論理式であ
るための条件、論理式の表現規則を決める）
 Semantics
（論理式の意味の取り扱いを決める）
 その後、推論へと話を進める。

確認

字母
定数：
 変数:
 関数記号:
 述語記号:
 結合子:
 限量記号:
 補助記号:

a, b, c, d, …
x, y, z, w, …
f, g, h, …
P, Q, R,
~, ∧, ∨, →, ↔
∃, ∀
( ) ,
定義４．２ 項(Term)
1.
2.
3.
定数は項である。
変数は項である。
もし f が arity n （n変数）の関数記号であ
り、t1, t2,… tn が項であるならば、
f( t1, t2, … , tn )
は項である。
定義４．３ ( well-formed ) 論理式
1.
2.
3.
4.
Pはn変数の述語記号であり、 t1, t2,… tn
が項であるならば、P(t1, t2,… tn ) は論理式
である。アトムあるいは原始式と呼ぶ。
φが論理式ならば、~φは論理式。
φとψが論理式ならば、
(φ∧ψ), (φ∨ψ), (φ→ψ), (φ↔ψ)
は論理式。
φが論理式、xが変数ならば、
∃x φ , ∀x φ
は論理式。
定義４．８ pre-interpretation J
1.
2.
3.
集合D:解釈のための領域（非空集合）
定数記号に対して、Dの要素を割り当てる。
関数記号f (n変数関数)に対して、Dnから
Dへの写像を割り当てる。
つまり、集合Dに基づいて、定数記号や
関数記号の意味（実体）を決める。これが、
pre-interpretation。
定義４．９ 変数割り当てV

変数記号に領域Dの要素を割り当てる。
（variable assignment）
V: 変数記号の集合∋x → d∈D
定義４．１０ 項割り当て
定数記号に対して、pre-interpretation Jに
基づいてDの要素を割り当てる。
 変数記号に対して、変数割り当てVに基づ
いてDの要素を割り当てる。
 t1, t2, …,tn がd1, d2, … ,dn に割り当てられ
るとき、f(t1, t2, …,tn ）は、
Jf(d1, d2, … ,dn ）に割り当てられる。

定義４．１１ 解釈I

Pre-interpretation J が定められているとき、
述語記号Pに対して、Dnから{ T, F } への
写像を割り当てることを解釈という。
述語論理言語L1

字母
定数：
 変数:
 関数記号:
 述語記号:
 結合子:
 限量記号:
 補助記号:

a, b, c, d, …
x, y, z, w, …
f, g, h, …
P(arity=2), Q, R,
~, ∧, ∨, →, ↔
∃, ∀
( ) ,
論理式を表記する記号群
論理式を表記するための記号群
 記号の並べ方の規則（Syntactic Rules）
 Well-formed な論理式
 Pre-interpretation


定数記号と関数記号に意味を与える。
項の割り当て、変数の割り当て
 解釈


述語に意味を与える。
論理式の真偽が決まる
例：

論理式
P( x, a ) → Q( x )
これの真偽は？
（解釈Iを決めれば決まる）
・ 定数 a
・ 変数 x
・ 述語PとQ
解釈の例
P( x, a ) → Q( x )
解釈の領域
D = { 赤い箱R, 白い箱W, 青い円錐B }
 Pre-interpretation




定数 a = R
関数記号 なし
変数の割り当て

V(x) = W
解釈I P(x,y): x が y の上に載っている。
Q(x): x は青い円錐である。
 真偽： P( x, a ) → Q( x ) は＿＿

Prenex Conjunctive Normal Form
Skolem Standard Form