Transcript 述語論理式の構文と意味
述語論理式の構文と意味
一階述語論理式の構文
述語,限量記号
自然言語文の述語論理式表現
一階述語論理式の意味
解釈
妥当,充足不能
閉式の充足不能性
©2008 Ikuo Tahara
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述語論理
述語(predicate)の導入
命題論理による表現
「太郎は人間である」
「花子は人間である」
述語論理による表現
p
q
h(Taro)
述語
h(Hanako)
「・・・人間である」という共通する情報が欠落してしまう
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述語論理
限量記号(quantifier)の導入
a は p である:
p(a)
全称記号
すべての
ある
x は p である: x. p(x)
x は p である:
x. p(x)
存在記号
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一階述語論理の構文
語彙
個体定数(constant): a, b, c,
個体変数(variable): x, y, z,
関数記号(function symbol): f , g,
述語記号(predicate symbol): p, q,
論理記号(connective): , , ,
限量記号(quantifier): ,
補助記号(punctuation symbol): (, )
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一階述語論理の構文
項(term)の帰納的定義
(1)個体定数は項である.
(2)個体変数は項である.
(3) f が n 引数の関数記号,t1 , , tn が項
⇒ f (t1 , , tn ) は項である.
(4)項とは(1),(2),(3)を有限回繰り返し適用して得
られる記号列のみである.
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一階述語論理の構文
整式(wff)の帰納的定義
(1) p が n 引数の述語記号, t1 , , tn が項
⇒ p(t1 , , tn ) は整式(素式)である.
(2) , が整式
⇒ , , , は整式である.
(3) が整式, x が個体変数
⇒ x., x. は整式である.
(4)整式とは(1),(2),(3)を有限回繰り返し適用して
得られる記号列のみである.
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限量記号の作用
作用域(scope): Qx. の (ただし Q{, })
束縛変数(bound variable):Qx. の に現れる x
自由変数(free variable): 束縛変数以外の変数
束縛変数
束縛変数
x.[ p(x, y) x.q(x)]
自由変数
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限量記号の作用
束縛関係: Qx. の x と部分式 の自由変数
は Q に束縛されるという.
x
p(x, y) xq(x)
x.[ p(x, y) x.q(x)]
自由変数
q(x)
自由変数
閉式(closed formula): すべての変数が束縛され
ている整式で,文(sentence)ともいう.
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自然言語文→述語論理式表現
翻訳の基本パターン
すべてのものが p である.(Everything is p.)
⇒ x. p(x)
p なものが存在する.(Something is p.)
⇒ x. p(x)
すべての p は q である.(Every p is q.)
⇒ x.[ p(x) q(x)]
ある p は q である.(Some p is q.)
⇒ x.[ p(x) q(x)]
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自然言語文→述語論理式表現
なぜ 「ある p は q である」 を 「 x.[ p(x) q(x)] 」
と表現すべきなのか?
「ある p は q である」
x.[ p( x) q( x)]
否定
否定
「すべての p は q でない」
x.[ p( x) q( x)]
x.( p( x) q( x))
x.[ p( x) q( x)]
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表現の例
① 試験が難しい科目の受験者は皆喜ばない.
② 試験が難しくなければ喜ぶ受験者がいる.
③ 数学の受験者しか喜ばない.
p( x)
q( x, y)
r ( x)
m
:
:
:
:
x は試験が難しい.
x は y の受験者である.
x は喜ぶ.
数学.
① x.[ p( x) y.[q( y, x) r( y)]]
② x.[p( x) y.[q( y, x) r( y)]]
③ x.[r( x) q( x, m)]
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一階述語論理式の意味
解釈(interpretation): M ( D, )
領域(domain): D
割り当て:
(1)個体定数 c :
(2)関数記号 f :
(3)述語記号 p :
c D
f : Dn D
p : Dn {T,F}
変数割り当て:
個体変数 x に対して x D
[ x / d ] : x に d D を割り当て,x 以外には
による割り当てをする変数割り当て.
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一階述語論理式の意味
(M , ) による意味評価
cM , c
xM , x
( f (t1, , tn ))M , f (t1M , , , tnM , )
( p(t1, , tn ))M , p (t1M , , , tnM , )
()M , M ,
( )M , M , M ,
(x. )
M ,
(x. )M ,
M , [ x / d ]
T:
T for d D
F: otherwise
M , [ x / d ]
T:
T for d D
F: otherwise
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述語論理式を解釈してみよう
x[p( y) q( f ( x), a)]
(M , )
M : D {1, 2}
a 1
f (1) 2
f (2) 1
p (1) T p (2) F
q (1,1) T q (1, 2) F q (2,1) F q (2, 2) T
: x 1 y 2
T
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充足可能性
:論理式 M :解釈 :変数割り当て
(M , ) は を充足する( ‘ M , ).
M , T
を充足する (M , ) が存在する(しない).
は充足可能(不能)である.
M ,
T
任意の について
M は を充足する( ‘ M ).
M が閉式 (またはその集合 )を充足す
るとき, M を (または )のモデルという.
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妥当性
任意の解釈と任意の変数割り当てが論理式
を充足するとき, は妥当であるという( ‘ ).
は妥当である.
‘
は充足不能である.
任意の (M , ) について ‘ M ,
任意の (M , ),d D について ‘ M , [ x / d ]
任意の (M , ) について ‘ M , x.
‘ x.
閉式
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論理的帰結
:論理式の集合 :論理式
を充足する任意の解釈と任意の変数割り当
てが必ず を充足するとき, は の論理的
帰結であるという( ‘ ).
{1,, n} ‘
‘ (1 n )
‘ x.[(1 n ) ]
閉式 x.[(1 n ) ]
は充足不能である.
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閉式の充足不能性
閉式 x.[ x] の充足不能性を考える.
M : D {1,2, }
x.[ x] T
x.[ x] F
一般には決定できない
[1] [2] [i]
[1] [2] [i]
T
F
ある[i] がFであれば決定できる
[i]が恒偽な命題論理式であれば
任意の解釈 M で [i] F
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命題論理式
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閉式の充足不能性
x.[ p( x) p(a)]
M1 : D1 {1,2, }
M 2 : D2 {
, , , }
a1 2
a2
p1 (1) F
p2 () T
( p1 (1) p1 (2)) ( p1 (2) p1 (2))
( p2 () p2 ()) ( p2 () p2 ())
恒偽
恒偽
M : D {a}
a a
標準的解釈
p (a) T,F
p (a) p (a) F
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まとめると…
一階述語論理式の充足不能性
閉式の充足不能性
x.[ x] の充足不能性
充足不能であれば決定可能
標準的な解釈の存在
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