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データ構造とアルゴリズム
第7回
木
～ データ構造（3）～
1
解答（問1）
Push(C,S)
Push(A,S)
Enq(Pop(S),Q)
末尾
A
C
C
C
S
S
S
Enq(E,Q)
先頭
A
Q
A
E
C
S
Q
Push(Deq(Q),S)
Enq(D,Q)
A
A
C
S
E
C
Q
S
E
D
Q
Deq(Q)
A
D
C
S
Q
x
E
2
解答（問2）

以下の3つの式を，ポーランド記法および逆ポーランド記法
で 表現せよ．
中置表現
ポーランド記法
逆ポーランド記法
A+B+C
++ABC
AB+C+
A*B–C
-*ABC
AB*C-
A * B – C ÷ D + E + - * A B ÷ C D E A B * C D ÷- E +
3
解説

優先度が同じ演算子が複数ある場合は，左から順に
処理
A+B+C
ポーランド記法
+AB
逆ポーランド記法
+C
++ABC
AB+
+C
AB+C+
ABC++ではない．ABC++は
中置表現に戻すとA+(B+C) になる
4
解説
ポーランド記法
A * B – C÷D + E
*AB - ÷CD + E
逆ポーランド記法
AB* - CD÷ + E
- *AB÷CD + E
AB* CD÷ - + E
+ - *AB÷CD E
AB* CD÷ - E +
5
ポーランド記法→中置表現

「演算子 (変数または中置表現の式) (変数または
中置表現の式)」 ごとに中置表現に戻していく
+ - *AB ÷CD E
A*B C÷D
A*B - C÷D
A*B - C÷D + E
6
逆ポーランド記法→中置表現

「 (変数または中置表現の式) (変数または中置表現
の式) 演算子」 ごとに中置表現に戻していく
AB* CD÷ - E+
A*B
C÷D
A*B - C÷D
A*B - C÷D+E
7
木の走査（tree traversals）


ある決まった順番で，木のすべての節点
をもれなくたどること
木のなぞりともいう
a
b
c
d
f
e
g
i
h
8
節点に順序をつける方法

行きがけ順（先行順，前順）
preorder traversal
⇒ M-L-R

inorder traversal
⇒ L-M-R

M
通りがけ順（中間順，間順）
L
R
帰りがけ順（後行順，後順）
postorder traversal
⇒ L–R-M
※ 木が空なら，どの順序でも，結果は空
※ 木がひとつの節点だけなら，どの順序でも結果は同じ（節点自身）
9
行きがけ順
根n
木をなぞっていき，各節点
に最初に立ち寄ったときに
リストアップする
部分木T１を行きがけ順に走査
部分木T2を行きがけ順に走査
① n
部分木Tkを行きがけ順に走査
T1
T2
②
③
Tk
10
通りがけ順
木をなぞっていき，
葉の場合は1回目，
内部の節点の場合は2回目
に立ち寄ったときに
リストアップする
部分木T１を通りがけ順に走査
根n
部分木T2を通りがけ順に走査
②
n
部分木Tkを通りがけ順に走査
T1
T2
①
③
Tk
11
帰りがけ順
部分木T１を帰りがけ順に走査
木をなぞっていき，各節点に
最後に立ち寄ったときに
リストアップする
部分木T2を帰りがけ順に走査
最後
部分木Tkを帰りがけ順に走査
n
根n
T1
T2
①
②
Tk
12
ラベルつきの木
n1
n2
n4
a
ラベル
節点niに入っている
情報のこと
＊
+
n5
n3
b
n6
a
+
n7
c
ni：節点の名前
13
ラベルつきの木で数式を表現



図は，（a+b）*(a+c)を表現している
葉
：演算数
内部の節点：演算子
n2
n4
a
n1
＊
+
n5
n3
b
n6
a
+
n7
c
14
行きがけ順に走査
n1
n2
n4
a
＊
+
n5
n3
b
n6
＊ + a b + a c
a
+
n7
c
前置表現
（ポーランド記法）
になっている
15
帰りがけ順に走査
n1
n2
n4
a
a b +
＊
+
n5
n3
b
n6
a c + ＊
a
+
n7
c
後置表現
（逆ポーランド記法）
になっている 16
通りがけ順に走査
n1
n2
n4
a
＊
+
n5
n3
b
n6
a
( ( a+ b) ＊ (a + c ))
+
n7
c
中置表現
17
代表的な木構造
二分木
 完全二分木
 ヒープ
 二分探索木
 AVL木
 B木
 完全バランス木
etc…

ソーティングアルゴリズム
などでよく使用される
サーチアルゴリズム
などでよく使用される
18
二分木(binary tree)

(p.46)
各節点が，2個以下の子（節点または葉）をもつ木
n1
n2
n4
n3
n5
n6
19
完全二分木


本によって異
なる定義をし
ている場合有
葉を除くすべての節点が必ず2個の
子をもつ
すべての葉の深さが等しい
高さを k とすると葉の数 L = 2k
 節点の総数 P は
P = 1+21+22+…+2k = 2k+1-1= 2L-1
 高さ k は
k = log2(P + 1)-1
n2
 葉以外の節点数Qは
Q = P – L = 2k -1
 枝の総数Hは
n4
n5
H=P-1

n1
n3
n6
n7
20
ヒープ(heap)

すべての節点において，親の節点の値（ラベル）が子の節点
の値以上の二分木．根に最大値が格納される．
n1
n2
n4
1
7
n5
10←最大値
n3
5
9
n1> n2, n3
n2> n4, n5
21
二分探索木

「左の子の値＜親の値＜右の子の値」の関係がある
二分木
n1 10
n2
最小値
n4
1
7
n5
n3
最大値
13
8
n4<n2<n5<n1< n3
22
バランス木(balanced tree, 平衡木)

木の形が変わるとき，すなわち挿入，削除が行わ
れるたびに，木の形を変形させて左右の部分木の
バランスがとれるようにした木
バランス木の種類
 B木
 AVL木
 完全バランス木
etc...
23
B木（B氏木，B-tree）



BayerとMcCreightの考案（1972）
根からすべての葉に至る経路長が一定の m分木
m階のB木



条件1：根は，葉であるか，2 ～ m 個の子を持つ
条件2：根，葉以外は， m / 2  ～ m 個の子を持つ
条件3：すべての葉までの深さが一定
2階のB木
3階のB木
24
AVL木


Adel'son-Verl'skii と Landis の考案(1962)
すべての節点で，左部分木と右部分木の階層の深さ
が高々１しか違わない二分木
25
完全バランス木

すべての節点で，左部分木と右部分木の節点の個数
が高々１個しか違わない二分木
26
木の実現
27
ラベル付きの木
節点番号
(ノード番号)
0
1
3
4
D
E
8
ラベル
節点に格納されて
いる情報
A
B
2
6
5 F
I
9
G
C
7
H
J
28
木のデータ構造
木を表現するのに必要な事項
 節点（および，節点に格納されている情報）
 節点のつながり方
0 A
1 B
3
4
D
E
2
6 G
5 F
8 I
9
J
C
7 H
29
親へのポインタによる木の表現

親節点の表で木を表現
0 A
1 B
3
4
D
E
2
6 G
5 F
8 I
9
J
P[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
C [5]
[6]
7 [7]
H [8]
[9]
ラベル
（ 情報 ）
A
-1
B
0
C
0
D
1
E
1
F
1
G
2
H
2
I
5
J
5
根の親は
無いので
-1とする
親の節点番号
（ つながり方 ） 30
親へのポインタによる木の実現例
struct node {
char label;
int parent;
};
…
struct node P[10];
P[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
A
-1
B
0
C
0
D
1
E
1
F
1
G
2
H
2
I
5
J
5
31
実現例2(typedefを使用した例)
typedef宣言
型に対する別名を宣言する
typedef struct {
char label;
int parent;
} NODE;
…
NODE P[10];
P[0]
[1]
構造体タグはつけて [2]
[3]
もつけなくても良い
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
型に対する別名
[9]
A
-1
B
0
C
0
D
1
E
1
F
1
G
2
H
2
I
5
J
5
32
長所と短所(親へのポインタによる表現)

長所



表現がコンパクト(領域量の点で有利)
節点の親を一定時間で探せる
短所


子を見つけるには手間がかかる
節点 i の子を探すには、配列を最初から走査し、P[k]
の親の節点番号欄に i が記載されている k を探索する
⇒ 節点数 V に比例した計算手間 O (V )
拡張性が低い
33
子のリストによる木の表現
0 A
(方法1の例)
P[0]
[1]
2 C
B 1
[2]
子が3個
[3]
6 G 7H
3 4 5 F
[4]
D E
子が2個 [5]
8 I 9 J
[6]
[7]
 子の数が一定ではない．
[8]
⇒どう表わすか？
方法1) 子の最大個数分，配列を用意する [9]
方法2) 子の連結リストを作る
etc…
A
1
2
-1
B
3
4
5
C
6
7
-1
D
-1
-1
-1
E
-1
-1
-1
F
8
9
-1
G
-1
-1
-1
H
-1
-1
-1
I
-1
-1
-1
J
-1
-1
-1
無駄が多い34
子のリストによる木の表現(方法2)
根
S[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
label
A
B
C
1
3
6
2
4
7
8
9
方法2
5
D
E
F
G
各節点の子の（連結）リスト
H
I
各セルは「子の節点番号」と
「次の子へのポインタ」から成る構造体
J
各節点を表わす構造体の配列
header
1つの節点は，「ラベル」と「子のリストへのポ
インタ」から成る
35
実現例
struct cell {
int
child_index;
struct cell *next_child;
};
struct node {
char
label;
struct cell *header;
};
…
S[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
A
B
C
1
3
6
D
5
next_child
E
F
2
4
7
8
9
G
H
I
child_index
J
label header
struct node S[10];
36
長所と短所(子のリストによる表現)
長所
 子節点の探索が容易
短所
 親を調べにくい(計算手間 O (V) )
 拡張性が低い．


節点を固定長の配列に連続して格納しているので，
配列の要素数を越えて節点を増やせない
複数の木を連結して新しい木を生成することができ
ない．
37
長男次弟表現

節点のつながり方を「長男へのポインタ」と「弟へのポ
インタ」の2つの情報で表現
抽象的な意味でのポインタ
＝ 何かを指すもの
木T
A
B
leftmost_son
C
E
F
D
right_brother
38
長男次弟表現による木の表現1
root
2
A
B
C
E
D
F
長男、次弟を配列のインデクスで
指し示している
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
-1
F
-1
4
A
-1
-1
B
5
6
C
8
-1
E
0
-1
D
-1
leftmost_son
node
cell
right_brother
39
注
root
2
節点のデータを配列の任意の位置
に置くことが可能
• 空いている場所を利用して、複数の木の
データを1つの配列に詰めることができる
• それらの木を1つに結合したり、分離した
りしやすい
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
-1
F
-1
4
A
-1
-1
B
5
6
C
8
-1
E
0
-1
D
-1
node
leftmost_son
right_brother
cell
40
実現例
struct cell {
char node;
int leftmost_son;
int right_brother;
};
…
struct cell T[10];
int
root = 2;
root
2
T[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
-1
F
-1
4
A
-1
-1
B
5
6
C
8
-1
E
0
-1
D
-1
leftmost_son
node
right_brother
cell
41
長所と短所(長男次弟表現による表現)
長所
 子や兄弟の探索が容易
短所
 親を調べにくい（⇒親の情報が頻繁に必要であ
れば、セルの要素に親の位置を加えると良い）
42
二分木(binary tree)





0
以下の性質をもつ節点だけから成る木
 子を持たない
1


(p.46～)
左の子を一つだけもつ
右の子を一つだけもつ
左の子，右の子を1つずつもつ
3
2
4
5
6
空の木も二分木
左の子（left child）と右の子(right child)を区別する
長男次弟表現は、任意の木を2分木を用いて表現し
たものと考えられる
43
相異なる二分木
0
1
3
2
4
6
0
1
5
3
2
5
4
6
44
配列による実現
left
0 a
1 b
3 d
2 c
4 e
6 g
5 f
right
nodename
[0]
a
1
2
[1]
b
3
-1
[2]
c
4
5
[3]
d
-1
-1
[4]
e
6
-1
[5]
f
-1
-1
[6]
g
-1
-1
子は常に２個以下
45
ポインタによる実現
struct node {
nametype
nodename;
struct node *left;
struct node *right;
};
節点の名前を表す適
当なデータ型
例えば char など
…
struct node *root;
46
ポインタによる実現
left
nodename
root
a
right
b
d
a
node型の構造体
を指すポインタ
c
e
f
g
b
c
d
node型の構造体
e
f
g
47
本日の問題
(問1)図1は，配列を用いて2分木を表現している．図が表わし
ている木を描け．ただし，この木の根は[0]の位置にあるもの
とする．また，“-1”は子がないことを表わしている．
lab el
[0]
left_ ch ild
rig h t_ ch ild
a
1
3
b
-1
2
c
-1
-1
[3]
d
4
5
[4]
e
-1
-1
[5 ]
ｆ
-1
-1
[1]
[2]
48