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論理回路基礎
4. 組み合わせ回路の構成法
五島 正裕
論理回路基礎
今日の内容
1. 導入問題
2. 論理関数の標準形
3. カルノー図による簡単化
4. 今日のまとめ
論理回路基礎
導入問題
論理回路基礎
例題
 Q.
 3つの入力 x，y，z に対して，以下のいずれかの条件が成立したとき 1，そ
れ以外は 0 となる論理関数 F を求めよ．
1.
x と y がともに 1．
2.
x と z がともに 1．
3.
x と y が等しくなく，かつ，y と z が等しい．
 A.
 F = xy + xz + (x != y) · (y == z)

ただし，· は省略，!= は XOR，== は XNOR
論理回路基礎
例題
 A. (cont)
 F = xy + xz + (x != y) · (y == z)
…………①
= xy + xz + (xy’ + x’y) · (yz + y’z’)
= xy + xz + xy’yz + xy’z’ + x’yz + x’yy’z
（展開）
= xy + xz + 0 + xy’z’ + x’yz + 0
∵ x · x’ = 0
= xy + xz + xy’z’ + x’yz
∵x+0=x
= xy (z + z’) + x (y + y’) z + xy’z’+ x’yz
∵ x (y + y’) = x · 1 = x
= xyz + xyz’ + xyz + xy’z + xy’z’ + x’yz
∵x+x=x
= xyz + x’yz + xyz’ + xy’z’ + xy’z
…………②
= xyz + x’yz + xyz’ + xy’z’ + xyz + xy’z
∵x+x=x
= (x + x’) yz + x (y + y’) z’ + x (y + y’) z
∵ x (y + y’) = x · 1 = x
= yz + xz’ + xz
∵ x (y + y’) = x · 1 = x
= yz + x (z + z’)
∵ x (y + y’) = x · 1 = x
= x + yz
…………③
論理回路基礎
例題
x
y
F
x
y
z
F
z
①
x
y
z
F
②
③
論理回路基礎
組み合わせ回路の簡単化
 物理的な最終目標：
 回路の遅延時間を短くする．
 回路の面積を小さくする．
 組み合わせ回路の簡単化の目標：
 論理ゲートの個数を少なくする．
 論理ゲートへの入力の数を少なくする．
 工学的目標：
 その系統だった方法を見つける．
論理回路基礎
論理関数の標準形
論理回路基礎
標準形
 標準形 (canonical (normal) form)
 論理関数 F を一意に表現する論理式
 F1 と F2 の標準形が同じ ⇔ F1 と F2 は同じ
論理回路基礎
用語の定義
 リテラル (literal)
 x に対して，x または x’
 積項 (product term)／和項 (sum term)：
 リテラルの論理積／論理和
 n 変数の論理関数の最小項 (minterm)／最大項 (maxterm)：
 n 種のリテラルからなる積項／和項
 例：3変数 (x, y, z) の論理関数の場合：
 リテラル： x, x’, y, y’, z, z’
積 項 ：
xy, yz, zx, xyz, x’yz’, …
和 項 ：
x + y, y’ + z, x + y + z, x’ + y + z’, …
 最小項 ： x’y’z’, x’y’z, x’yz’, x’yz, xy’z’, xy’z, xyz’, xyz
 最大項 ： x + y + z, x’ + y + z’, …
論理回路基礎
用語の定義
 加法標準形
 加法標準形 (disjunctive canonical (normal) form)
 積和標準形 (canonical sum-of-products form)
 最小項表現 (minterm expression)
 最小項の論理和
 乗法標準形
 乗法標準形 (conjunctive canonical (normal) form)
 和積標準形 (canonical product-of-sums form)
 最大項表現 (maxterm expression)
 最大項の論理積
論理回路基礎
例題
 A. (cont)
 F = xy + xz + (x != y) · (y == z)
…………①
= xy + xz + (xy’ + x’y) · (yz + y’z’)
= xy + xz + xy’yz + xy’z’ + x’yz + x’yy’z
（展開）
= xy + xz + 0 + xy’z’ + x’yz + 0
∵ x · x’ = 0
= xy + xz + xy’z’ + x’yz
∵x+0=x
= xy (z + z’) + x (y + y’) z + xy’z’+ x’yz
∵ x (y + y’) = x · 1 = x
= xyz + xyz’ + xyz + xy’z + xy’z’ + x’yz
∵x+x=x
= xyz + x’yz + xyz’ + xy’z’ + xy’z
…………② 加法標準形
= xyz + x’yz + xyz’ + xy’z’ + xyz + xy’z
∵x+x=x
= (x + x’) yz + x (y + y’) z’ + x (y + y’) z
∵ x (y + y’) = x · 1 = x
= yz + xz’ + xz
∵ x (y + y’) = x · 1 = x
= yz + x (z + z’)
∵ x (y + y’) = x · 1 = x
= x + yz
…………③
論理回路基礎
例題
x
y
F
x
y
z
F
z
①
x
y
z
F
③
②
加法標準形
論理回路基礎
標準形と真理値表
#
x
y
z
F
x+y+z
0
0
0
0
0
x + y + z’
1
0
0
1
0
x + y’+ z
x’yz
 加法標準形
F = x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
= m3 + m4 + m5 + m6 + m7
2
0
1
0
0
3
0
1
1
1
= S (3, 4, 5, 6, 7)
 乗法標準形
xy’z’
4
1
0
0
1
xy’z
5
1
0
1
1
xyz’
6
1
1
0
1
xyz
7
1
1
1
1
F = (x + y + z) (x + y + z’) (x + y’+ z)
= M0 M1 M2
= P (0, 1, 2)
論理回路基礎
加法標準形 と 乗法標準形
 加法標準形 と 乗法標準形
 人間には，加法標準形の方が分かりやすい
 数学的には「双対」 (dual)
 説明は，加法標準形で
 乗法標準形に変換することは容易

AND ⇔ OR，0 ⇔ 1 に替えればよい
論理回路基礎
簡単化 (1)
～カルノー図～
論理回路基礎
簡単化のキーポイント
 xy + xy’ = x
 xy + xy’ = x (y + y’) = x · 1 = x
論理回路基礎
2次元超立方体による表現
F = S (2, 3) = m2 + m3 = xy +xy’ = x (y + y’) = x ·1 = x
y
xy
(0, 1)
(1, 1)
0
1
1
#
x
y
F
0
0
0
0
1
0
1
0
2
1
0
1
3
1
1
1
x
(0, 0)
O
(1, 0)
x
0
1
1
xy’
ハミング距離が 1 のノード間にエッジ
論理回路基礎
3次元超立方体による表現
F = x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz = x + yz
yz
z
1
x’yz
1
xz
1
xy’z
xyz
xy
1
0
y
x
0
1
1
xy’
x
O
0
1
1
 主項 (prime implicant)
 これ以上大きくはできない積項

x と yz
xy’z’
xz’
xyz’
論理回路基礎
4次元超立方体による表現
論理回路基礎
カルノー図
 カルノー図（Karnaugh Map）
 真理値表の1種
 ハミング距離が 1 のノード：図上で隣接している！
zw
xy
y
x
0
1
x
yz
00
01
11
10
00
01
11
00
0
0
01
1
1
11
10
2入力
3入力
4入力
10
論理回路基礎
カルノー図
x
y
z
F
F = x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz = x + yz
M0
0
0
0
0
M1
0
0
1
0
M2
0
1
0
0
yz
x
m3
0
1
1
1
m4
1
0
0
1
m5
1
0
1
1
m6
1
1
0
1
m7
1
1
1
1
00
01
0
1
11
10
1
1
1
1
1
論理回路基礎
多入力のカルノー図
Ｅ＝1
BA
DC
00
01
11
10
00
○
○
○
○
BA
DC
00
00
01
11
10
Ｅ＝０
○ BA ○00 ○01 ○11
10
DC
01
○
○
○
○
01
○00 ○○ ○○ ○○
○
11
○
○
○
○
11
○01 ○○ ○○ ○○
○
10
○
○
○
○
10
○11 ○○ ○○ ○○
○
４入力
10
○
○
○
５入力
○
論理回路基礎
カルノー図の表現法
 トーラス状に表した４入力のカルノー図
XY=11
XY=10
(1 0)
(1 4 )
(1 1 )
(1 5 )
XY=00
(8 )
(2 )
XY=01
ZW =10
(6 )
(0 )
(4 )
ZW =00
(9 )
(3 )
(1 )
(5 )
ZW =01
(7 )
ZW =11
論理回路基礎
カルノー図による簡単化
1. カルノー図の上で隣接した「1」を探し，主項を求める．
 縦横ともに 2 のべき乗の大きさ．
 できる限り大きく．
2. 「1」をすべてカバーする，最小の主項の組み合わせを求める．
 重なってもよい．
 はみ出してはいけない．
 ループを大きくする：
 AND ゲートの入力数を減らす
 ループを少なくする：
 AND ゲートの数を減らす
 OR ゲートの
論理回路基礎
カルノー図による簡単化の例（1）
zw
xy
00
00
01
11
1
1
10
zw
xy
01
11
00
01
01
11
11
10
10
x’y’w
00
10
1
1
y’zw’
論理回路基礎
カルノー図による簡単化の例（2）
zw
xy
00
01
11
10
zw
xy
00
1
00
01
1
01
11
1
11
10
1
10
z’w
00
01
11
10
1
1
1
1
x’y
論理回路基礎
カルノー図による簡単化の例（3）
zw
xy
00
01
11
00
10
zw
xy
00
01
11
10
00
01
1
1
01
1
1
1
1
11
1
1
11
1
1
1
1
10
10
yw
y
論理回路基礎
カルノー図による簡単化の例（4）
BA
DC
00
01
00
1
1
10
BA
DC
00
01
11
00
1
01
01
1
1
11
11
1
1
10
1
10
1
1
CB
†
11
10
CA+BA†
cf. CBA+BA
ループは重なっても良いから大きくとる
論理回路基礎
問題
 以下の問いに答えよ．答えは、ブール代数の式と MIL 記法の回路図の両方で記せ．
1. 下記の３入力関数を簡単化せよ．
1. S (0, 1, 5, 6, 7)
2. S (0, 1, 2, 3, 5, 7)
3. S (0, 1, 2, 4, 7)
2. 下記の４入力関数を簡単化せよ．
1.
2.
3.
S (0, 1, 5, 7, 8, 10, 14, 15)
S (1, 5, 6, 7, 10, 12, 13, 15)
S (0, 2, 8, 10, 14)
3. 0 以上 15 以下の整数を 4 ビットの 2 進数として入力し，それが以下の条件を満たすならば 1
を，満たさないならば 0 を返す回路を書け．
1. 素数
2. フィボナッチ数
4. 3. で，入力が 1 以上 9 以下ならどうか．
論理回路基礎
カルノー図を用いた簡単化
 カルノー図
 真理値表
 ハミング距離が 1 の積項は，図上でも隣接する．
 メリット
 直感的
 ディメリット
 入力が多いと描きにくい
 直感的，発見的
 クワイン・マクラスキー法 (Quine-McCluskey)
 アルゴリズムとして定式化したもの
論理回路基礎
簡単化 (2)
～クワイン・マクラスキー法～
論理回路基礎
クワイン・マクラスキー法
 ポイントは，カルノー図と同じ
 xy + xy’ = x
 そうできるところを網羅する方法
 カルノー図より，システマティック
 他入力にも対応可能
 プログラムにしやすい
論理回路基礎
クワイン・マクラスキー法
x
y
z
F
F = x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz = x + yz
M0
0
0
0
0
M1
0
0
1
0
M2
0
1
0
0
m3
0
1
1
1
m4
x
y
z
1
0
0
1. 最小項を抜き出す
2. 「1」の数でソート
m4
1
0
0
1
m3
0
1
1
m5
1
0
1
1
m5
1
0
1
m6
1
1
0
1
m6
1
1
0
m7
1
1
1
1
m7
1
1
1
論理回路基礎
クワイン・マクラスキー法
F = x’yz + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz = x + yz
⇒
x
y
z
m4
1
0
m3
0
m5
⇒
x
y
z
0 ☑
S (4, 5) 1
0
* ☑
1
1 ☑
S (4, 6) 1
*
0 ☑
1
0
1 ☑
S (3, 7) *
1
1
m6
1
1
0 ☑
S (5, 7) 1
*
1 ☑
m7
1
1
1 ☑
S (6, 7) 1
1
* ☑
x
y
z
S (4, 5, 6, 7)
1
*
*
S (4, 5, 6, 7)
1
*
*
論理回路基礎
今日のまとめ