Transcript 箱の中の自由粒子

６ 箱の中の自由粒子
井戸型ポテンシャルの井戸の高さ（深さ）
領域Ⅱの波動関数は

2m(V0  E)
2
  II ( x)  0
を無限に高くする
 II  De　x
 II  Ce　x
だったので
V0
V0  
で
as V0  
無限に高いポテンシャルの壁の中には
波動関数は入り込む事ができない。

無限に高いポテンシャルの壁は剛体表面
 
周囲を剛体壁面で囲まれた直方体の中の自由粒子の運動
0
V (xyz)  

箱の中
箱の外
シュレディンガー方程式は
2  2 2 2 

 2  2  ( xyz)  E ( xyz)
2

2  x y z 
波動関数が満たさなければならない条件
一価，有限，連続
連続

箱の外側には波動関数はないので，
箱の内側表面で波動関数は０
境界条件
 (0, y, z)   (a, y, z)  0
 ( x,0, z)   ( x, b, z)  0
 ( x, y,0)   ( x, y, c)  0





６．１ 変数分離
2  2 2 2 
  2  2  2  ( xyz)  E ( xyz)
2  x y z 
y
z だけの微分
だけの微分
x だけの微分
2
xy
や
2
yz
のような
Cross term がない
 ( xyz)  X ( x)Y ( y)Z ( z)とおいて変数分離ができる
 ( xyz)  X ( x)Y ( y)Z ( z)
を
2  2 2 2 

 2  2  ( xyz)  E ( xyz)
2

2  x y z 
に代入する。
2  2 2 2 

 2  2  X ( x)Y ( y)Z ( z)  EX ( x)Y ( y)Z ( z)
2

2  x y z 
2  2 X ( x)Y ( y)Z ( z) 2 X ( x)Y ( y)Z ( z) 2 X ( x)Y ( y)Z ( z) 



2
2


2 
x
y
z2

 EX ( x)Y ( y)Z ( z)
2 X ( x)Y ( y)Z ( z)
x2
x
で偏微分するときは
を見てみよう。
Y ( y) や Z (z)
は定数と見なしてよいので
2 X ( x)Y ( y)Z ( z) 2 X ( x)

Y ( y)Z ( z)
2
2
x
x
となる。
したがって

2  2 X ( x)
2Y ( y)
2Z ( z )

Y ( y)Z ( z) 
X ( x) Z ( z ) 
X ( x)Y ( y) 
2
2
2

2  x
y
z

 E X ( x)Y ( y)Z ( z)
両辺を
X ( x)Y ( y)Z ( z) で割ると
2  2 X ( x) 1
2Y ( y) 1
2Z ( z) 1 
 


E
2
2
2

2  x
X ( x)
y Y ( y)
z Z ( z) 
 2 X ( x)
x2
を
X ' ' ( x)
と書くと
2  X ' ' Y ' ' Z ' ' 


 E

2  X
Y
Z 
つまり
 X ' '  Y ' '  Z ' '    2E


Y
Z 
2
 X
 X ' '  Y ' '  Z ' '    2E


Y
Z 
2
 X
y
x
z
だけの関数
だけの関数
だけの関数
右辺は一定だから
x



を変化させても
y, z が一定なら，この２項は一定
X ' ' ( x)
は一定でなければならない
X ( x)
すなわち
X ' ' ( x)
A
X ( x)
A, B, C
Y ' ' ( y)
B
Y ( y)
は定数。
Z ' ' ( z)
C
Z ( z)
すなわち
X ' ' ( x)  AX ( x) Y ' ' ( y)  AY ( y)
2E
A B C   2

より
2
E   ( A  B  C)
2
境界条件は
X (0)  X (a)  0

Y (0)  Y (b)  0 
Z (0)  Z (c)  0 
X ' ' ( x)  AX ( x)
Z ' ' ( z)  AZ( z)
を解こう
A  0 の場合 A  2
とおける。そうすると
X ' ' ( x)  2 X ( x) だから
X ( x)  D1 e Ax  D2 e Ax
x0
のとき
xa
のとき
X (0)  D1  D2  0  D2  D1
X (a)  D1 e
Aa
 D2 e
Aa
 D1 e Aa  e Aa   0
D1も D2 も０
だから X (x)
 0  D1 e
a0
だから
は恒等的に0
A  0 の場合 境界条件を満足する解はない。
Aa
 D1 e
D1  0
Aa
0
A  0 の場合 X (x)
は２回微分すると０になる関数だから
X (x)  D1 x  D2
x0
のとき
xa
のとき
X (0)  D2  0
D1も D2 も０
X (a)  D1 a  0  D1  0
だから
X (x) は恒等的に0
A  0 の場合 境界条件を満足する解はない。
x
の１次関数
A  0 の場合 A  2 とおける。そうすると X ' ' ( x)  2 X ( x)だから
X (x)  D1 sin x  D2 cos x
x0
のとき
xa
のとき
X (0)  D2  0
X (a)  D1 sina  0  a  l
2 2
l
l

 
 A  2   2
a
a
したがって
D1
l  0,1,  2,  3,
l 0
の時は   0 となり， X (x) は恒等的にゼロ
l 0
の時は
D1 の符号を変える事と同じだから不必要
 l 
X ( x)  D1 sin x 
a 
l 1, 2,3,
は規格化することによって求められる。
規格化



1
2l
 l 
D1 sin2  x dx  D1
(1  cos
x)dx
a
a 
0
0 2
a
D12 
a
2l  D12

x
sin
x 
a 1

2  2l
a 0 2
a
| X ( x) |2dx 
0
したがって
こうして
a
a
2
D1 
a
X ( x) 
Y ( y), Z ( z)
2  l 
sin x 
a a 
を得る。
についても同様にして以下の結果を得る。
8
 l   m   n 
lmn ( xyz) 
sin x  sin
y  sin z 
abc  a   b   c 
エネルギーは
2E
A B C   2

l 22
A     2
a
2
だったので
で，
y, z
2
E   ( A  B  C)
2
についても同様に
n22
m22
B 2 C 2
c
b
したがって
22 l 2 m2 n2
E(lmn)  
( 2  2  2)
2 a
b
c
l, m, n  1, 2,3,
となり，離散的な固有値になる。
６．２ ゼロ点エネルギー
箱の中の自由粒子の状態は離散的なエネルギー固有値を持つ固有状態
だけが許される。
その固有状態は正の整数の組
例えば
(l m n) で指定される
(l  1, m  2, n  1 ) の場合
22 1 4 1
( 2  2  2)
エネルギー固有値は E(1,2,1)  
2 a b c
8
    2    
sin x  sin y  sin z 
波動関数は 121( xyz) 
abc  a   b   c 
このように量子力学的状態を指定するラベル
(l m n)
を量子数 という
固有状態のうちエネルギーが最小の状態を基底状態とよび
それ以外の状態を励起状態とよぶ。
今の場合，基底状態の量子数は l  1, m  1, n  1 でありこのときのエネルギーは
22 1 1 1
E(1,1,1)  
( 2  2  2) 0
2 a b c
となって，０ではない。
量子力学では基底状態（エネルギーが最小の状態）でも
エネルギーは０にはならない。
基底状態でも粒子は運動エネルギーをもっている。

粒子は静止しないで運動している
ゼロ点運動

このエネルギーをゼロ点エネルギーという
縮退
左の図のように，その高さがエネルギーを
表す線を エネルギー準位 という。
a  1.0, b  1.1, c  1.2 から，
a  b  1.0, c  1.2 になると，
２本のエネルギー準位が重なる
さらに a  b  c  1.0 になると
３本のエネルギー準位がかさなる。
１つのエネルギー準位に複数の異なる
状態が重なることを 縮退 と言う