Transcript 資料No2 - 思考と言語研究室

人工知能特論2009
No.2
東京工科大学大学院
担当教員：亀田弘之
ここまでの復習
知能・知性の中枢は「思考と言語」
 論理学は「思考の形式」を探求する学問

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
2
さまざまな論理体系

論理
古典論理
 非古典論理

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
3
さまざまな論理体系

論理

古典論理
命題論理
 述語論理（高階論理） など


非古典論理
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
4
さまざまな論理体系

論理

古典論理
命題論理
 述語論理（高階論理） など


非古典論理
様相論理 (modal logic)
 時相論理 (temporal logic)
 多値論理 (multi-value logic)
 Fuzzy 論理 (fuzzy logic)
 線形論理 など

現在ではさまざまな
論理体系が提案され
ており、分類はそんな
には単純ではない。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
5
参考文献

Transactions on Computational Logic,
ACM.
（さまざまな論理体系が今も提案され続け
ている）
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
6
本日の内容

命題論理
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
7
本日の内容

命題論理（もっとも基礎的な論理体系）

論理式の定義
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
8
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
9
１．１基本概念
1.
2.
3.
4.
5.
あの山の上に雲がかかるとやがて雨が降
り出す。
整数１２３４５６７は素数である。
円周率πを小数展開すると、その中に１か
ら９までの数字がこの順に並んで現れる。
風が吹くと桶屋が儲かる。
真？
クレタ人はみな嘘つきである。
偽？
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
10
問題：真か偽か述べよ。理由は？
1.
2.
3.
4.
5.
あの山の上に雲がかかるとやがて雨が降
り出す。
整数１２３４５６７は素数である。
円周率πを小数展開すると、その中に１か
ら９までの数字がこの順に並んで現れる。
風が吹くと桶屋が儲かる。
真？
クレタ人はみな嘘つきである。
偽？
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
11
問題：真か偽か述べよ。理由は？
1.
2.
3.
4.
5.
あの山の上に雲がかかるとやがて雨が降
り出す。
１２７×９７２１
整数１２３４５６７は素数である。
円周率πを小数展開すると、その中に１か
ら９までの数字がこの順に並んで現れる。
風が吹くと桶屋が儲かる。
真？
クレタ人はみな嘘つきである。
偽？
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
12
問題：真か偽か述べよ。理由は？
1.
2.
3.
4.
5.
５×３＝１５
平成の前は昭和である。
円の面積は半径の二乗に円周率πを掛け
合わせたものである。
真？
フランスの首都はパリである。
木星はガスでできており、月よりも軽い。
偽？
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
13
真偽を決めがたい文もある。
窓を開けてもいいですか？
 そんなこと言わないでください。
 これはすごい！

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
14
命題
真偽を決定することのできる文を、“命題”と
いい、命題論理学ではこれを研究の対象と
する。
 また、命題とともに、
“かつ” “または” “ならば” “でない”
なども併せて考察の対象とする。

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
15
命題の例
A = パリはフランスの首都である。 真
 B = ボンはドイツの首都である。 偽
 C = ロンドンはイギリスの首都である。

真
A,B,Cは命題である。
“A かつ B” 命題論理の考察対象である。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
16
命題論理に出てくる記号は、…
論理定数
 命題記号
 結合子
 括弧

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
17
定義（命題論理の字母）

命題論理の字母は以下の記号から構成
される。
1.
2.
3.
アトムの集合(非空集合)：
アトムはP, Q, …と表記する。
添え字を付けてP1, P2 などとも書く。
結合子（５種類）： ～,∧, ∨, →, ↔
括弧（２種類）：
（, ）
命題論理の論理式はこれらの記号のみで書かれる。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
18
疑問：次のものは論理式？
PQRS
 P∧～∧∧Q
 ((～(P∧P2)) → P3)
 ）P1∨Q3（

記号を適当に並べればよい訳
ではない！ 並べ方には規則
（統語構造規則）がある。
シンタックスの定義が必要！
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
19
定義（論理式のシンタックス）

論理式とは以下で定義されるものである。
1.
2.
3.
アトムは論理式である。
任意の論理式Fに対して、～F も論理式
である。
FとGが任意の論理式のとき、次のものは
いずれも論理式である。
(F∧G), (F∨G) , (F → G), (F↔G)
この規則に則った論理式は、
well-formed であるという。
このような定義方法を、
帰納的定義という。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
20
～F はFの“否定”と呼ぶ。
 （F∧G)はFとGの“論理積”と呼ぶ。
 （F∨G)はFとGの“論理和”と呼ぶ。
 FがGの部分であるとき、
FはGの“部分式”と呼ぶ。

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
21
例： F = ～((A5∧A6)∨～A3)
Fは論理式。
 Fの部分式はすべて列挙すると以下の通り。

F, ((A5∧A6)∨～A3), (A5∧A6), A5, A6,
～A3, A3
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
22
アトム（例：P, Q,…）を、“原始式”あるいは
“原始文”と呼ぶことがある。
 それ以外のより複雑な論理式を“複合文”と
呼ぶことがある。(例：～P, (P∨Q) )
 Aを１つのアトムとすると、Aと～Aのことを
“リテラル(literal)”といい、特に、Aのことを
“正のリテラル(positive literal)”、～Aのこと
を“負のリテラル(negative literal)”と呼ぶ。

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
23
コメント
Well-formed な論理式だけからなる命題論
理式の集合は、１つの命題論理の言語を定
める。（という言い方をすることもある）
 ここまでで形式（見かけ）に関する準備が出
来上がった。

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
24
疑問：次のものは何を意味している？
P
 P∧Q
 （（P→Q）∧P）→Q

これらはどれもwell-formed な
論理式だけれど、…
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
25
P = パリはフランスの首都である。
 Q = いま雨が降っている。

P = パリはフランスの首都である。
P∧Q = パリはフランス首都であり、かつ、
いま雨が降っている。
真偽の判定ができる！
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
26
コメント
PやQの真偽がわかれば十分だよね！
 例えば、PとQの真偽がわかれば
P∧Q
の真偽は分かるの？
 ∧ ってどういう意味？
（∧や∨の意味も明確に定義しなければ
だめなんだ！）

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
27
定義（解釈 Intp）

Lを命題論理の１つの言語（体系）、
Aを言語Lのアトムの集合とする。
このとき、Lの解釈IntpとはAから｛T, F ｝へ
の写像のことをいい、
Intp = { x | Intp(x) = T, x ∊ A }
と表現する。
（注）T：真 F：偽
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
28
解釈の例

アトムの集合A=｛P,Q,R｝に対して、例えば、
Intp(P) = T
Intp(Q) = F
Intp(R) = T
これを簡単に表現するために、真のものだ
けを集めて Intp = ｛ P, R ｝と書くことにする。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
29
問題：真なる論理式（アトム）はどれ？

論理的設定


アトムの集合A: A = {P1,P2,Q}
解釈Intp: Inpt = {P1,P2}
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
30
定義（論理子への意味の付与）
表．結合子の定義表
P Q ～P （P∧Q）
（P∨Q） （P→Q） （P↔Q
）
T
T
T
T T
F
T
T F
F
F
T
F
F
F T
T
F
T
T
F
F F
T
F
F
T
T
これは真理値表
である。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
31
コメント

これで任意の well-formed な論理式に対し
て、真偽を判定することが可能となった。
めでたしめでたし。
よし、やったぁ
これからが
本題です。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
32
もう少し話を進めていきましょう。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
33
練習問題（確認）

1.
2.
3.
次の論理式の真理値表を示せ。
（Q∨P1）∧P1
P1→P2
(P2→（P1→Q））∧P1)→Q
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
34
（Q∨P1）∧P1 の答え
P1 Q （ Q ∨ P1 ） ∧ P1
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
F
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
35
練習問題（確認）

1.
2.
3.
次の論理式の値を求めよ。
（Q∨P1）∧P2
P1→P2
(P1→（P1→Q））∧P1)→Q
ただし、論理設定(logical settings)は、
解釈 Intp = { P1, Q }
とする。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
36
ここまでのまとめ

言語を定義するには、
アルファベット
 構文構造
 意味の割り当て

が必要。
そこで、命題論理は論理式を対象とするの
で、論理式を文とみなすと…
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
37

命題論理の字母の定義


アトム記号群、結合子記号群、括弧記号群
論理式のシンタックスの定義
アトムは論理式
 φが論理式ならば～φも論理式
 φとψが論理式ならば、
(φ∧ψ), (φ∨ψ), (φ→ψ), (φ↔ψ) も論理式


意味の割り当て

“解釈”という概念の導入
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
38
もう少しがんばろう！

目指せ、“モデル”の導入！
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
39

一般に、論理式はどのような解釈をするか
で真理値は変わってしまう。例えば、論理式
φは解釈Intp1では偽になるが、解釈Intp2な
ら真になるといった具合に。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
40
定義（モデル）

論理式φがある解釈Intpで真となるとき、
解釈Intpをその論理式の“モデル”と呼ぶ
こととする。また、φはモデルIntpをもつ
とも言うこととする。

例：解釈Intp={P,Q} はφ = (P∧Q） のモデ
ルであるが、ψ = (P→～Q) のモデルでは
ない。φは解釈Intpをモデルとしてもつ。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
41
定義（モデル）の拡張

Σを論理式の集合とし、Intpを１つの解釈と
する。このとき、もしΣに含まれるすべての
論理式に対して解釈Intpのもとで真となると
き、解釈IntpはΣのモデルと呼ぶ。また、
Σは解釈Intpをモデルとして持つとも言う。
（今後はこの定義を採用する。）
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
42
例：
Σ= { P, ( Q∨R ), ( Q → R ) }
 Intp1 = { P, R }, Intp2={ P,Q, R },
Intp3 = { P, Q }
このとき、Intp1もIntp2もともに Σのモデルで
あるが、Intp3はΣのもでるではない。

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
43
そろそろ次の話、推論にはいりましょう。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
44
定義（論理的帰結）
Σ：論理式の集合
 φ：１つの論理式

どの論理式ψ∈Σのモデルもまた論理式φの
モデルとなっているとき、“φはΣの論理的帰
結(logical consequence)”と呼び、
Σ|= φ と書く。“Σはφを論理的に含意する”
とも言う。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
45
例：
P=私は家の外にいる。
 Q=雨が降っている。
 R=私は濡れる。

「家の外にいて、かつ、雨が降っている、な
らば、濡れる」  ( ( P∧Q ) → R )
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
46
例（続き）

「家の外にいて、かつ、雨が降っている、な
らば、濡れる」  ( ( P∧Q ) → R )
いま確かに「雨が降っている」。Q
 ということは、「いま外にいれば濡れる」こと
になる。
つまり、
( ( P∧Q ) → R ),Q |= ( P → R )

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
47
問題：次の推論が正しいことを示せ。
( ( P∧Q ) → R ),Q |= ( P → R )
つまり、 ( ( P∧Q ) → R ) と Q とから、
( P → R ) が論理的帰結として得られるこ
とを示しなさい。
ヒント： 真理値表を書いてみる。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
48
コメント（注意事項）

→ と |= とは別物です！
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
49
演繹定理（重要）

Σ∪{ φ } |= ψ iff Σ |= ( φ→ ψ )
iff: if and only if
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
50
論理的等価

φとψとが論理的に等価であるとは、
φ|=ψ かつ ψ|=φ
が成り立つことを言う。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
51
来週の予告

推論

三段論法からresolution法へ
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
52
推論の例
AならばBである。
 いま、Aである。
 したがって、Bである。

これは三段論法と呼ばれるものである。
これは別名、modus ponens という。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
53
推論の図式化
A→B A
ーーーーーーーー
B
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
54
推論の例

例えば、
( ( P∧Q ) → R ),Q |= ( P → R )
が成り立つことを統一的かつ簡単な方法で
できないだろうか？
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
55
事実１：( ( P∧Q ) → R )
 事実２：Q
 示したい事実： ( P → R )

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
56
前提１：( ( P∧Q ) → R )
 前提２：Q
 論理的帰結： ( P → R )

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
57
問題の整理

前提から帰結を得るためには、
推論を行うことになり、
その結果得られるものを
 証明という。

「推論」や「証明」といった概念（用語）を整理す
ることが必要。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
58
推論を機械的に行えないか？

Resolution という強力な方法が現在しられ
ている。次回これについて詳細します。
つぎのスライドがresolutionを適用した例で
す。
（一応目を通しておいてください。次回詳しく
説明します。理論的にはあと一息で楽にな
ります。がんばりましょう。）
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
59
問題例

論理式F=
（~B∧~C ∧ D） ∨(~B∧~D)
∨(C∧D)∨B
は常に真であることを示しなさい。
（注）常に真となる論理式を恒真式という。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
60
回答例
~Fを仮定すると矛盾が生じることを確認す
る（背理法による証明）。
 ~F= （B∨C∨~D） ∧(B∨D)
∧(~C∨~D) ∧~B
 節(clause)と節集合(clausal set)の記法に
書き換える。
 ~F={ {B,C,~D}, {B,D}, {~C,~D}, {~B} }

東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
61
{ B, C, ~D }
{ B, D }
{ ~C, ~D }
{ ~B }
{ B, ~D }
{B}
{ }
{ } が得られたということは、矛盾が検出されたということ。
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
62
おわり
東京工科大学大学院 講義資料(亀田)
63