Transcript 第4回授業（8月31日第4時限）

第１日目第４時限の学習目標
 基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数について学
ぶ。
（１）相関係数の定義とその特性
（２）相関係数の計算方法
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１）
 例えば、１０名の生
徒の数学の成績を横
軸に、国語の成績を
縦軸にとると、右の
図のよう な散布図
(scat-ter diagram)が
描けたとしよう。
 この図から、国語と
数学の間には、およ
そどんな関係が読め
るか。
国語
Y
●
●
●
●
●
●
●
●
●
数学
X
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（２）
 ピアソンの相関係数に限らず、一般に定量的２変
量間の任意の関係を調べるための最も単純な方法
は、既に午前中にホームページで紹介したような
散布図を描くことである。
 一般に、定量的２変量（間隔尺度レベル以上の尺
度）間には直線的な関係から、複雑な曲線的な関
係まで、いろいろな関係があり得る。
 次の例は、それらのうちの幾つかを示したもので
ある。
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（３）
U 字型の曲線的関係
複雑な曲線的関係
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（４）
右下がりの直線的関係
右上がりの直線的関係
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（５）
 ２変数間に直線的な関係があるかどうかを
簡単に数値で表すのが、相関係数
(Pearson’s product-moment coefficient of
correlation、略して correlation) であり、
つぎのように定義される：
共分散
rxy 
s xy
sx s y
２つの標準偏差の
積
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（６）
 ここで、共分散の定義は、つぎのようにな
る：
1
s xy  ( x1  x )( y1  y )    ( xN  x )( y N  y )
N
1 N
  ( xi  x )( yi  y )
N i 1
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（７）
ただし、上記共分散のミスの少ない（手計算
による）計算方法は、つぎの関係を利用するこ
とである：
1 N
s xy   ( xi  x)( yi  y ),
N i 1
1
 x1 y1  x2 y2    xN y N   x y.
N
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（８）
つぎに、共分散の性質を調べてみよう。定義より、
共分散は個々のサンプル i について
( xi  x )( yi  y )
なる量をすべて足して平均したものである。
そこで、この量が正となるサンプルが多け
れば、共分散も正となり、この量が負になる
サンプルが多ければ、共分散は負となる。
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（９）
y
( xi  x )( yi  y )  0
y
●
●
●
●
● i●
●
●
( xi  x )( yi  y )  0
x
( xi  x )( yi  y )  0
● ●
●
( xi  x )( yi  y )  0
x
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１０）
(１) 相関係数は、マイナス １ の値からプラス
１ の値
までの範囲の値を取る：
 1  rxy  1
（２）相関係数の符合と共分散の符号は同一である。
rxy 
s xy
sx s y
分母は常に正
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１１）
 相関係数が、負の場合負の相関、ゼロの場合無
相関、正の場合正の相関がある、という。
・・ 。
・
・
・
・
・
・
負の相関
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
無相関
・ ・
・
・
・
・
・ ・
・
正の相関
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１２）
 定量的２変数データが、つぎの５名の
被験者の (x, y)=（抑うつ性、気分の
変化）の得点であるとする：
 (18, 15), (3, 5), (10, 13), (12, 8), (8, 7)
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１３）
上記５名の（抑うつ性、気分の変化）データ
(18, 15), (3, 5), (10, 13), (12, 8), (8, 7) で、
まず、抑うつ性の平均値は、
x  (18  3  10  12  8) / 5  10.2
また、気分の変化の平均値は、
y  (15  5  13  8  7) / 5  9.6
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１４）
抑うつ性の得点の分散は、
s x2  (182  32  10 2  12 2  82 ) / 5  10.2 2 ,
 128.2  104.04,
 24.16
そこで、標準偏差は、
sx 
24.16  4.92
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１５）
気分の変化の得点の分散は、
s  (15  5  13  8  7 ) / 5  9.6 ,
2
y
2
2
2
 106.4  92.16,
 14.24
そこで、標準偏差は、
s y  14.24  3.77
2
2
2
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１６）
最後に、両変数の共分散は、上記データ
(18, 15), (3, 5), (10, 13), (12, 8), (8, 7)
から、まず得点の積和の平均を計算すると、
1
x1 y1  x2 y2    xN y N 
N
1
 (18 15  3  5  10 13  12  8  8  7)
5
1
 (576)  113.4
5
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１７）
つぎに、２変数の平均値の積を計算すると、
x  y  10.2  9.6  97.92
そこで、２変数の共分散は、
s xy
1
x1 y1  x2 y2    xN y N   x y

N
 113.4  97.92
 15.48
基本的な２変量統計量－２
（ピアソンの）相関係数（１８）
そこで、相関係数は、２変数の標準偏差が
s x  4.92,
s y  3.77
であったことに注意すれば、
rxy 
s xy
sx s y
15.48
15.48


 0.83
4.92  3.77 18.55
演習（４）
 つぎの１０名の２変量データセットに１つを用
いて、相関係数を計算してみよう。また、散布
図を描いてみよう：
（データセット１）：
（４１，３８）、（２４，２４）、（２
０，１５）、（２１，２６）、
（１５，１０）、（２６，２２）、（１
９，１４）、（２３，２９）、
（４０，３７）、（２６，２９）
演習（４）続き
（データセット２）：
（２２，１８）、（１４，９）、（２９，
２６）、（３７，３４）、
（２９，３４）、（２６，２９）、（２
２，２０）、（３２，３２）、
（７，８）、（１６，１２）