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電磁気学Ⅰ 担当：鳥井 寿夫（とりい よしお） 居室：１６号館224Ａ tel: 03-5454-6757 (内線46757) e-mail: [email protected] http://maildbs.c.u-tokyo.ac.jp/~torii 授業日：毎週木曜２限（１０:３０～１２:１０）、 10月7日～12月16日、1月13日、20日（計13回） 曜日振替、休講日なし 電磁気学Ⅰの基本方針 • 導体、コンデンサー、コイルなど、1年生で学 習した内容は扱わない • 電磁気学の構造や、電磁気学に登場する諸 物理（E,B,D,H,P,M,j,ρ,A,φ,S）の意味や互い の関係を系統的に理解する • 特に輻射現象や散乱現象を扱う（空が青いの はなぜか理解する） • 特殊相対性理論と電磁気学の関係を理解す る 講義計画 • • • • • • • • • • • • • 第１回：デモ実験・ベクトル解析とマクスウェル方程式の復習 第２回：波動方程式と真空中の電磁波 第３回：分極と磁化、物質中のマクスウェル方程式 第４回：電磁場のエネルギーと運動量 第５回：原子のローレンツモデル電磁波の吸収・分散 第６回：電磁波の散乱‐レイリー散乱とトムソン散乱 第７回：磁性体（常磁性、強磁性、反磁性） 第８回：電磁ポテンシャルとゲージ変換 第９回：リエナール・ヴィーヒェルトポテンシャル 第１０回：様々な電磁輻射 第１１回：特殊相対性理論 第１２回：相対論とマクスウェル方程式 （第１３回：量子論とベクトルポテンシャル） 教科書 • • • • • • 「ファインマン物理学Ⅱ 光、熱、波動」 （岩波書店） 「ファインマン物理学Ⅲ 電磁気学」 （岩波書店） 「ファインマン物理学Ⅳ 電磁波と物性」 （岩波書店） 太田浩一「電磁気学Ⅰ」「電磁気学Ⅱ」（丸善） 砂川重信「理論電磁気学」(紀伊国屋書店） 加藤正昭「電磁気学」（東大出版会） 演習書 • 加藤正昭「演習 電磁気学」（サイエンス社） ファインマン物理学Ⅲ電磁気学 第１章 電磁気学 「人類の歴史という長い眼 から、たとえば今から1万 年後の世界から眺めたら、 19世紀の一番顕著な事 件がマクスウェルによる 電磁法則の発見であった と判断されることはほとん ど間違いない」 太田浩一「電磁気学Ⅰ、Ⅱ」 晴れた空が青いのはなぜだろう― この素朴な質問の答の中に、電磁気学のエッセンスの すべてがひそんでいる（内容紹介より） 太田先生の本に書いてあること • 「磁場の変化が電場を作り、電場の変化が磁場を作 る」というのは誤解（エーテルの亡霊）。電磁波の源 は全て電荷と電流である。 • ある物理学者が電気力（クーロンの法則）は知って いても磁気力は知らなかったとする。その物理学者 はクーロンの法則と相対論だけからマクスウェル方 程式を全て導くことができる。 • B（磁束密度）でなくH（磁場）を実在とする立場は認 める訳にはいかない。 Hは便宜的に定義された物 理量である。 リエナール-ヴィーヒェルトポテンシャル （ファインマン物理学Ⅱ第3章） 輻射を表す 2 q e r r d er 1 d E e r 2 2 2 2 4 0 r c dt r c dt t r c B P e r E c r e r t r t r' c 双極子輻射パターン 放射強度の方向依存性 x sin 2 z 双極子アンテナから 放射される電気力線 http://www.eto.titech.ac.jp/contents/sub04/chapter02.html 空の偏光特性の実験 http://www.eto.titech.ac.jp/contents/sub04/chapter08_002.html 原子の双極子振動 2 px 1s 1 ＝ + 振動 2 2 px 1s E2 p E1s 1s状態と2px状態が半々に重 ね合わさった状態にある水素 原子を考える。この水素原子 が持つ振動する電気双極子の 振幅と周波数を求めよ。 ただし＜1s|-ex|2px＞=d （dは一般に複素数）とする。 デモ実験 • セロテープの光物性 （複屈折性および分散特性） • 磁気浮上（アーンショーの定 理は破れたか？） http://www.ru.nl/hfml/research/levitation/diamagnetically/ マクスウェル方程式の復習 古典物理（～1905）の全て ファインマン物理学Ⅲ 電磁気学 第18章「マクスウェル方程式」p229 ファインマン物理学Ⅰ「力学」 マクスウェル方程式の解 ファインマン物理学Ⅲ 電磁気学 第20章「電流と電荷のある場合の マクスウェル方程式の解」p264 ファインマン物理学Ⅲ電磁気学 第20章 ｐ263 「われわれはマクスウェル方程式を解いた。ど んな電荷、電流があっても、上の積分によりポ テンシャルが直接に分かり、微分して場が求め られる。これでマクスウェル方程式は終わりで ある。（中略）電磁気の世界の中心はここにあ る。電気、磁気、光の完全な理論－動く電荷の 作る場の完全な記述など－それはすべてここ にある。力と美の点で完成された、マクスウェル のうち建てた建造物がここにある。これは恐らく 物理学の最大の成功の一つである」 マクスウェル方程式の特徴 • 電荷保存則を含んでいる • 発散と回転で表現されている（ヘルムホルツ の定理より解が一意的に求まる） • 時間に依存しない場合（静電磁気の場合）は、 クーロンの法則とビオ・サバールの法則と同 値である • 時間に依存する場合でも解はわかっている • ローレンツ不変性を満たしている（方程式が 座標系に依存しない） ベクトル場の微分公式 その① とりあえずこの３つは必ず覚えよう！ A 0 0 A A A 2 以下は公式ではなくラプラシアンの定義 2 A 2 A A 2 2 2 2 2 2 x y z ベクトル場の微分公式 その② 以下は覚えなくてよい。いつでも導出できる A ( ) A ( A ) A ( ) A ( A ) A B B ( A ) A ( B ) A B ( B ) A B ( A ) A ( B ) ( A ) B A B ( B ) A B ( A ) ( A ) B A ( B ) 覚えるべきは、通常のベクトル公式 A ( B C ) ( A C ) B ( A B )C A B B A A ( B C ) C ( A B ) B (C A ) ベクトル場の積分公式 ガウスの定理（Gauss’ Theorem）←物理法則（law）ではない A dS S ( A ) dV V ストークスの定理（Stokes’ Theorem） ←物理法則（law）ではない C A dr A d S S ヘルムホルツの（分解）定理 任意のベクトル場Xは、スカラー場の勾配とベクトル場 の回転で表現できる X A 無限遠でXが1/r2より早くゼロに収束するならば、 (r ) A(r ) 1 4 1 4 X ( r ) r r dV X ( r ) r r dV ヘルムホルツの定理からの帰結 任意のベクトル場は、その発散と回転が与えら れれば、一意的に定まる 回転のないベクトル場は、スカラー場の勾配で表わせる E 0, E / 0 E 1 4 0 静電場のクーロンの法則 ( r ) r r dV 1 4 0 ( r )( r r ) r r 3 dV 発散のないベクトル場は、ベクトル場の回転で表わせる B 0, B 0 j B A 0 4 静磁場のビオ・サバールの法則 j ( r ) r r dV 0 4 j ( r ) ( r r ) r r 3 dV 表記法（notation） （例）電荷密度が与えられたときに、クーロンの法則と重ね合わせの原理 から、任意の位置における電場を求める式 この講義 E (r ) 1 4 0 (r ' ) r r' e r r ' dV ' 2 (r ) d V r r 太田流 E (x) 1 4 0 ( x ) x x' x x' 3 dV ' r r ファインマン流 E (1) 1 4 0 ( 2 ) e 12 2 12 r O dV 2 デルタ関数を使おう！ ＜3次元デルタ関数δ(r - r’)の定義＞ ・ r = r’での値は無限大、それ以外ではゼロ 0 ( r r ) ( r r ) ( r r ) ・ r = r’ を含む体積積分の値は１、含まなければゼロ 1 ( r r ) dV 0 V ( r r を含む ) ( r r を含まない ) デルタ関数の例 ( r r ) lim 0 ( r r ) 1 4 ( r r ) 1 4 ヘヴィサイド関数 3 4 ( r r ) r r 3 0 ( x 0) ( x) 1 ( x 0 ) r r 2 3 1 r r 1 r r r r r r 3 真空中の電磁場 マクスウェル方程式（微分形） 0 E E B t E B 0 j 0 t B 0 基本的に、これだけ知っていればいい （いつでも（物質中でも）正しい） 真空中のマクスウェル方程式 E 0 E B B 0 B t 1 E c 2 t c 0 0 1 波動方程式の導出① E B の両辺に左から∇をかけると t 左辺＝ E E E E B 1 E 右辺＝ B 2 t t t c t 1 E 2 c 2 t 2 1 E 2 したがって E c 2 t 2 ←3次元波動方程式 波動方程式の導出② B 1 E c の両辺に左から∇をかけると t 2 左辺＝ B B B B 右辺＝ 1 c 2 E t 1 c 2 1 B E 2 t c t t 1 B 2 c 2 t 2 1 B 2 したがって B c 2 t 2 ←3次元波動方程式 波動方程式の解 1 E (r , t ) 2 E (r , t ) c 2 t 2 成分をあからさまに書けば x 2 y 2 2 2 E x (r , t ) 2 1 E y (r , t ) 2 2 2 z c t E ( r , t ) z 2 E x (r , t ) E y (r , t ) E (r , t ) z 電場はy軸方向を向いている（y軸方向に偏光している）とする 2 2 2 x 2 y 2 z 2 2 1 E y (r , t ) 2 E y (r , t ) 2 c t E x (r , t ) E z (r , t ) 0 ところで、マックスウェル方程式 E (r , t ) 0 より x E x (r , t ) y E y (r , t ) z E z (r , t ) 0 であるので、これと E x (r , t ) E z (r , t ) 0 より、必然的に y E y (r , t ) 0 となる。したがって、y軸方向を向いた電場の波は、y軸方向には 空間依存性がない。つまり、電場の波はy軸方向に進行できない 電磁波は横波 電場の波は+x軸方向に進行しているとする（z軸方向の空間 依存性はないとする）と、波動方程式は１次元に帰着できる 2 x 2 E y (x ,t ) 1 c 2 t 2 2 E y (x ,t ) 一般的な解の形はE y ( x ct ) と表せるが、振動する解は E y ( x , t ) E cos( kx t ) ただし c k 2 k f ：波数 2 f ：角周波数 （λ：波長、 f ：周波数） 対応する磁場の解は B z ( x , t ) B cos( kx t ) ただし B E / c ＋x方向に進行する電磁波 http://web.mit.edu/8.02t/www/ ダイポールアンテナによる電磁場の 発生（「高等学校物理Ⅱ」（啓林館）p180） E, B, kの関係 E ( r , t ) E 0 cos( k r t ) Re[ E 0 e E B ( r , t ) B 0 cos( k r t ) Re[ B 0 e i k r t i k r t k：波数ベクトル （wave vector） B E 0 より k E 0 B より k Ε B E t したがって、 k Ε B , E 0 cB 0 TEM（Transverse Electromagnetic） wave ] ] 色々な電磁波 物質中の電磁場 分極（ベクトル場）の定義 分極ベクトルPは、単位体積あたりの 双極子モーメントp = q の和 + P Np - N: 双極子モーメントの密度 - dS - P dS + - + - + - + - + - + - + - + - + + - ++- - + + + P d S Nq δ d S Nq dS cos 面素dSを通過した電荷の量 分極電流密度 分極の時間微分は、電流密度の定義そのものである （分極電流密度） P t jP この分極電流は、アンペールの法則のjに含めなけれ ばなければならない E B 0 j 0 t P t も含める 分極電荷 （分極）電荷の保存則より j dS d dt S P t dV S V 代入 P d dt P s t dS S dt P dS P dV V d dt S P dS d P dV V P dV P P V 分極電荷密度 この分極電荷密度は、ガウスの法則の に含めなければならない。 0 E P も含める 磁化（ベクトル場）の定義 磁化ベクトルMは、単位体積あたりの 磁気モーメントm = ISn の和 M Nm m IS n pm qm δ E-B対応 E-H対応 0 m pm δ N: 磁気モーメントの密度 表面電流密度：M E-B対応 加藤正昭「電磁気学」東大出版会 E-H対応 Mが一様な場合、 Mの大きさは、 表面電流密度 （磁化の方向の 単位長さあたり の表面電流）に 対応する。 E-B対応とE-H対応の等価性 （例１）磁気モーメントが外部につくる磁場 0 m pm ビオ・サバールの法則 B B 0 4 0 1 4 r j er r 2 3 ( m e r ) e r 3 磁場のクーロンの法則（E-H対応） dV m ただし真空中 （磁性体の外部） B 0H H H 1 4 0 1 1 4 0 r 3 mer r 2 dV 3 ( p m e r ) e r pm E-B対応とE-H対応の等価性 （例２）磁気モーメントに働く力 真空中では N B 0H E-B対応とE-H対応での 磁気モーメントの単位の違い n S N I 0 m pm qm δ qm + - pm qm δ m IS n F Id l B 電流に働くローレンツ力 一致 F qm H 磁荷に働くクーロン力 磁化電流密度 ある平面Sを貫く磁化電流は、その平面 を囲む閉曲線を絡んでいる磁化電流の みが寄与する jM dS S M dr C 磁化電流密度 ところで、ストークスの定理より M d r ( M ) d S C 加藤正昭「電磁気学」東大出版会 S したがって、任意の平面Sにおいて、 S jM dS ( M ) d S j M M S ←これも、マクスウェル 方程式の j に含める （E-B対応の場合） 分極と磁化がある場合の マクスウェル方程式 代入 0 E E P B t E B 0 j 0 t P B 0 t M 代入 分極と磁化がある場合の マクスウェル方程式 P 0 E 自由 E B t B P 0 E M j自由 t 0 B 0 電束密度と磁場 次のベクトル場を便宜的に定義してみる D 0E P 電束密度 H B 0 M 磁場 （補助場by太田） すると、マクスウェル方程式は以下のように簡単になったように見える D 自由 E B 0 B t H j自由 D t 分極Pと電場Eの関係 空間依存性 空間対称性 波長依存性 線形性 均一 homogeneous 等方的 isotropic 非分散的 nondispersive 線形 linear 不均一 非等方的 Inhomogeneous anisotropic （ファイバー） (複屈折性) 分散的 非線形 dispersive nonlinear （吸収と分散） （SHGなど） 最も簡単な分極と電場の関係 Homogeneous, isotropic, nondispersive, and Linear P 0 E ：電気感受率(electric susceptibility)：無次元量 D P 0 E 0 (1 ) E E 0 (1 ) ：誘電率(electric permittivity) 誘電体中のマクスウェル方程式 Homogeneous, isotropic, nondispersive, and Linear case ( P 0 E ) E 0 E B 0 B t B 0 E t 真空中のマクスウェル方程式の0を単にに置き換えたもの 一様媒質中の電磁波（平面波） Homogeneous, isotropic, nondispersive, and Linear case (P 0 E ) E ( r , t ) E 0 cos( k r t ) Re[ E 0 e B ( r , t ) B 0 cos( k r t ) Re[ B 0 e 1 媒質中の光速： c k （位相速度） 屈折率： n c0 c 0 0 i k r t i k r t ] ] c0 1 1 1 2 典型的なガラスの分散特性 分極と電場の関係 空間依存性 空間対称性 波長依存性 線形性 均一 Homogeneous 等方的 Isotropic 非分散的 Nondispersive 線形 Linear 不均一 非等方的 Inhomogeneous anisotropic （ファイバー） (複屈折性) 分散的 非線形 Dispersive Nonlinear （吸収と分散） （SHGなど） 共鳴現象における 変位と力の位相関係 <変位が力より90度遅れている場合＞ F ( t ) F cos t x ( t ) x cos( t / 2 ) x sin t P F (t ) dx ( t ) dt 1 Fx 0 2 エネルギーを吸収 <変位が力より90度進んでいる場合＞ F ( t ) F cos t x ( t ) x cos( t / 2 ) x sin t P F (t ) dx ( t ) dt 1 Fx 0 2 エネルギーを放出 http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/rikigaku/kyousin/kyousin.html 一般的な電場と分極との線形関係 Pe i t 0 ( ) E e i t ( ) ' ( ) i ' ' ( ) ：複素電気感受率 同位相 →屈折率 正：90度遅れた位相→吸収 負：90度進んだ位相→誘導放出 D P 0 E 0 (1 ( )) E E ( ) 0 (1 ( )) ：複素誘電率 分散性媒質中の電磁波 媒質中をz軸方向に伝播する電磁波（電場）を E (r , t ) xˆ E ( z , t ) xˆ E 0 exp i ( Kz t ) と表すことにすると、マクスウェル方程式より 2 2 2 K 2 (1 ( )) k (1 ( )) k 0 c c0 0 真空中での波数 | ( ) | 1 と仮定すると、 ' ( ) ' ' ( ) K k 1 ( ) k 1 i 2 2 吸収係数と屈折率 Kの値を代入して、 ' '' E ( z , t ) E 0 exp ik 0 1 i z i 2 2 t E 0 exp z exp i k ' z t 2 電磁波のエネルギー強度 I (z) 1 2 0 cE ( z ) 2 I 0 exp z k 0 ：吸収係数 k ' k 0 1 / 2 n 1 / 2 ：屈折率 分極の調和振動子モデル （ローレンツモデル） d x 2 dt 2 2 dx dt x x ( )e x ( ) e m x 2 0 i t e m Ee i t とおいて代入すると E 2i 2 2 0 2 Ne 1 i t Pe Nex 0 2 2 0 m 2 i 0 振動子の密度 ( ) i t Ee Ne ( ) 2 1 0 m 2 i 2 2 0 0 （共鳴付近）のときは ( ) Ne 2 1 2 m 0 0 0 i ' ( ) A 2 2 ' ' ( ) A 2 2 i 0 2 2 半値半幅： ( ) Ne 2 1 0 m 2 i 2 2 0 0 , 0 （非共鳴）のときは ( ) n ( ) n 2 c0 c ( ) ( ) 1 1 Ne 2 1 m 0 2 ( ) 0 C 2 0 2 0 1 2 0 2 実部のみ（吸収なし） 1 ( ) より 2 C 2 0 2 基礎実験（ガラスの屈折率） 波長 (nm) 屈折率 579 1.7387 577 1.7398 546 1.7434 492 1.7544 435 1.7716 408 1.7839 405 1.7865 鳥井の実験ノートより転載 共鳴周波数を求める Y 0.50 n 2 ( ) 1 1 C 2 0 C 2 2 (n - 1 ) -1 Y=0.53-0.012X 0.45 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 -2 (1 0 -6 5.0 -2 nm ) 5.5 6.0 6.5 X 色々なガラスの屈折率の波長依存性 光の位相速度と群速度 P 0 E n ( ) v ph vg k k 1 ( ) c n ( ) c n (n ) 様々な群速度 http://www.falstad.com/dispersion/ 超光速の光伝播（負の群速度） http://www.rochester.edu/news/show.php?id=2544 Nature 406, 277 (2000) 17m/sまで光（の群速度）を減速 Light speed reduction to 17 metres per second in an ultracold atomic gas http://www.rochester.edu/news/show.php?id=2544 Nature 397, 594(1999) 屈折率の本質 （ファインマン物理学Ⅱ、6章） 分極電流から発生する電磁波 z 分極電流の作る磁場 （x=0近傍） x=0における 入射光の電場 E s E0e i t B= zˆ E c ( B xˆ ) y 入射方向 E= dz dx アンペールの法則 無視（dx→0） B dr 0 ( j 0 jP E t P t ) dS x x=0 誘電分極 P 0 E s 0 ( i ) E 0 e 0 ( i )( i ) E 0 e i t zˆ i t zˆ 入射波と2次波の重ね合わせ (x=0における電場) Es JP 入射波 （光源から） JP Bs Ba ２次波 （分極から） Ea E s E0e i t xˆ Ea 1 1 2 2 ik ( i ) dxE 0 e ik ( i ) dx E s i t xˆ 屈折率（位相の遅れ）と吸収 虚部 E Ea Ea Ea d E s E0e 1 2 ik dx E s 実部 1 2 k dx E s i t d 位相の回転方向 1 k dx 2 E (1 k ) E 0 2 2 特殊相対性理論 マイケルソン・モーレーの実験（1887） v v L 2 L c 2 http://www.aip.org/history/exhibits/gap/PDF/michelson.pdf 地球上の光速は光の進行方向に依存しなかった！ Einstein1905年論文 「運動物体の電気力学について」 Annalen der Physik 322, 891–921(1905) http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/ 誘導電流の起源① 磁石がコイルに対して動く場合 誘導起電力Vは、 F v （ストークスの定理） N S E V E dr C ( E ) d S S B dS t S 磁場が時間変化している空間には、 E B t を満たす誘導電場が生じる d dt B dS S （電磁誘導の法則） t レンツの法則 誘導電流の起源② コイルが磁石に対して動く場合 v v dS dr B F 誘導起電力Vは、 N S V 1 F dr (v B ) dr q C 運動するコイル内の電荷には ローレンツ力 F qv B が働く C B (v dr ) B dS コイルが 1 秒間に掃く 面 C d dt S B dS t レンツの法則 アインシュタインが掲げた2つの仮説 Annalen der Physik 322, 891–921(1905) （http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/ ） 特殊相対性理論 ＜二つの基本原理＞ • 物理法則はすべての慣性系に対して同じ形 で表される（相対性原理） • 真空中の光の速さは光源の運動状態に無関 係である（光速不変の原理） 特殊相対性理論からの奇妙な帰結 • ローレンツ収縮（動いている物の長さは縮む） • 時間の遅れ（動いている時計は遅れる） • 同時刻の相対性（２つの事象が同時かどうか は、観測者の運動に依存する） • 質量の増大（質量とエネルギーの等価性） すべて測定の仕方を定義して はじめて理解できる。 （例）速さvで動いている列車の長さを どのように測るか？ v 井の頭線って、どのく らい長いんだろう？ 「列車と一緒に走りながら測る」 「列車が駅に止まっているすきに測る」 「列車に乗っている人に測ってもらう」 （相対論的に）正しい測定法その１ v v 0 0 時刻t1に通過 時刻t2に通過 時計を持ってある地点で待ち構え、列車 の先端と後端が通過する時刻を測定する （列車の長さ）＝ （速さ）×（通過時間）＝v (t2-t1) （相対論的に）正しい測定法その２ v 僕が先端を 見た！ 私が後端を 見た！ 全員が時計を持ち、線路上の様々な地点 で待ち構える。同時刻に列車の先端と後端 を見た観測者（の座標）を教えてもらう。 （列車の長さ）＝ （先端の座標）ー（後端の座標） 同時刻における 二つの慣性系 y’ y S’系 S系 v O’ O z x x’ z’ S’系はS系に対してx軸正の方向に速さvで移動している 二つの慣性系（イメージ重視） y’ y 南側 （たこやきみしま） v 渋谷方面 O’ O z x x’ 吉祥寺方面 北側 （駒場キャンパス） z’ 井の頭線は我々（駒場キャンパス）に対して吉祥寺の方向 に速さvで移動している 駒場キャンパス （正門） たこやきみしま 問題提起 • S系において時刻t、位置xで起きた事象は、 S’系においていつ(t’) どこで(x’)観測され るのだろうか？ x' A t' C B x D t （x, t）から（x’, t’）への写像（一次変換行列） の具体形が知りたい。 問題提起（イメージ重視） • 駒場キャンパスにおいて時刻t、位置xで 起きた事象は、井の頭線に乗った人から 見たらいつ(x’)どこで(t’)観測されるのだ 時刻t’ =？に位置x’ =？で光った ろうか？ v 5 0 10 時刻t=3に位置x=10で光った x 0 5 10 x’ 我々の常識（ガリレイ変換） t t’ x=vt x’ x x ' 1 t' 0 S系とS’系には同じ 時間が流れている t' t S系における x=vtの 線が、S’系における x’= 0 の線 x ' x vt v x 1 t ガリレイ変換 速度のガリレイ変換 t t’ ボールの軌跡 x=vt 電車に乗っている人から ボールを見ると… v 3 2 1 0 100 200 300 x' 1 t' 0 v 100 1 1 ガリレイ変換 100m/s x’ x 100 v 1 v x t 100 v 100 v 1 光速度不変の 原理と矛盾 我々（Einstein）の目標 相対性原理と光速不変の原理を同時に 満たすような、S系とS’系間の時空座標 の一次変換行列を新たに求める。 x' A t' C 1 0 B x D t v 1 ガリレイ変換 準備：時間の単位の再定義 後の議論を簡単にするため、 1/c秒を、あらためて 1秒と定義し、光は1秒間に1m進むものとする。 （光速cを1m/秒とする） t 光の軌跡 4 x=t 3 2 1 0 0 1 2 3 4 x 注）元の単位に戻るには、t ct , v と置き換えればよい v c なぜ一次変換か？ 1次変換で表わせないと仮定すると、 x ' Ax Bt x xt t 2 2 t ' Cx Dt x xt t 2 2 高次の項 S系での光の軌跡は xt S’系での光の速さは x t At Bt x xt t 2 2 Ct Dt x txt t 2 2 A B f (t , x ) C D g (t , x ) 光速が位置と時刻に依存 →光速度不変の原理と矛盾 ｙ軸、ｚ軸を考慮しなくてもよいのか？ （なぜ y’= y, z’= z としてよいのか？） y’ y v O’ O z x x’ z’ 列車の高さ（y座標）は、どちらの系でも時間やｘ座標、ｚ座標 に依存しないだろう。しかし、 速度vには依存するかもしれな いので y’= f(v) y と仮定しよう。相対性原理より、y = f(v)y’も 成り立つので、 y’= (f (v))2 y’。 したがって f(v) = 1 より y = y’ 。 条件 その１（光速不変の原理） Ｓ系では時刻 t = 0 に位置 x = 0より発せられた光 は、１秒後(t = 1)に位置 x = 1 に到達する。この現 象をＳ’系で観測すると、 x' A t' C B 1 A B D 1 C D S’系での光速も１であるから x' t' AB CD 1 A B C D① 条件 その２（相対速度） S’系の原点（x’= 0）は、S系から見て速度vで動いて いる。したがって、Ｓ系の時空座標(x, t) = (v, 1)の S’系におけるx’座標は０である（t’座標は不明） x' A t' C B v 0 D 1 ? Av B 0 ② y’ y S系 渋谷 z 見方を変える S’系 O’ O x 反対側（たこやき みしま）から見ると v 吉祥寺 z’ x’ 吉祥寺 x y z’ S’系 v x’ y’ z S系 O’ O 渋谷 更にx, x’軸の正の向きを逆に 定義すると x, x’軸の正の向きを逆に 定義すると、S系とS’系の 立場が入れ替わる！ y’ y z’ z S’系 v 吉祥寺 O’ O S系 x’ 渋谷 x 条件 その３（相対性原理） S’系がS系に対してx軸正の方向に速度vで移動 している状況は、x, x’軸の正の向きを逆に定義す れば、S系がS’系に対してx’軸正の方向に速度v で移動している状況とみなすこともできる。どちら の見方でも、相対性原理により、物理法則（つま り一次変換行列）は同じはずである。 x x x' A t' C B x D t x ' x ' 同じ x ? t ? ? x ' ? t ' x' A t' C B x D t x D 1 t AD BC C B x ' A t ' ここでx, x’軸の正の向きを逆に定義すると B x ' x D 1 A t ' t AD BC C B 1 1 0 x D 1 A 0 0 1 t AD BC C x D 1 t AD BC C A C B D B x ' A t ' ③ 0 x ' 1 t ' 以上、まとめると、 A B C D① Av B 0 ② D AD BC C （光速不変の原理） （相対速度で決まる条件） B A A C 1 B ③ D （相対性原理） ①、②、③より A D 1 1v x ' t' , B C 2 1 1v 2 １ v v x 1 t v 1v 2 現実（SI単位系）に戻ろう。 t ct , v x' ct ' x ' v c , 1 1 v /c 2 2 1 v /c t vx / c 1 v /c 2 v ' １ v /c x vt 2 t' t ' ct ' , 2 ローレンツ変換 x ' vt ' 1 v /c 2 v v t 2 c の置き換えをすると v / c x 1 ct x 2 v' t ' vx ' / c 1 v /c 2 2 2 2 ローレンツ逆変換 ローレンツ収縮 ct x=vt ct’ 3 2 1 x’ 0 1 1v /c 2 2 3 4 x 2 S’系で長さLの物体は、S系では長さがL 1 v 2 / c 2 ( L ) に見える 時間の遅れ 3 ct’ ct 2 1 2 3 1 x’ 2 1 1v /c 2 S’系で x’=0 にある フラッシュランプは、 S’系の時計では1秒 おきに点灯。 S系の時計では 1 2 1v /c 2 1 0 1 2 3 S’系の時間は、S系からみると いるように見える x 4 1 1v /c 2 秒おきに点灯。 ( 1) 2 ( 1) 2 倍遅く流れて 質量の増加（相対論的質量） それぞれの系で質量 m0 の球を速さu（例えば1m/sで）+y (-y’) 方向に運動して いるとする。衝突後、S系の球が-y 方向に速さuで運動したとすると、相対性原理よ り、S’系の球も、S’系で見れば +y’ 方向に速さuで運動する。 y y y v S’系 v S’系 y u y S’系 y x x S系 x x コツン! S系 x しかし、S系から見ると、S’系の時計は 1 1v /c 2 u S系 x 倍遅れているので、S’系の球はy 2 軸方向の速さが u 1 v 2 / c 2で近づき、 u 1 v 2 / c 2で遠ざかるように見える。 S系から見た、S’系の球の質量をmとすると、S系における運動量保存則より m 0 u mu v 1 v / c m 0 u mu （衝突前） 2 2 1 v / c 2 （衝突前） 2 m m0 1v /c 2 2 ファインマン物理学Ⅰ「力学」 質量とエネルギーの等価性 速度v で運動する粒子の運動量を次のように定義し、これがニュートンの運動方程式 F dp dt に従うとする。 p mv m 0v 1v /c 2 2 この粒子のエネルギーの変化 dE は、力 F がこの粒子にした仕事 Fdx に等しいから dE Fdx dp dt dx vdp したがって、この粒子のエネルギーは、両辺を積分して、次のように表せる。 E p 0 vdp m 0c p c 2 4 2 2 m 0c 2 mc 2 m 0c 2 この粒子が元からエネルギー m0c2 （静止エネルギー）を持っていたと考えると、 E mc 2 ニュートン力学との関係 相対論的運動方程式 m0v d F dt dt 1 v 2 / c 2 dp v c dv m0 dt ニュートン力学における運動方程式 E mc 2 相対論的エネルギー 2 2 v 2 2 c m 0 c 1 2 2 2 c 1 v /c m0 v m 0 c 1 2 2 c 2 2 1 1 2 2 m0c m 0v 2 ニュートン力学における運動エネルギー v c 力の起源：電場or磁場？ 狭義のローレンツ力 F’ = ? q F = q(v×B) q v B B + + + + + + + + + + + + S系 I 0 v -v + + + + + + + + + + + + S'系 I ? ローレンツ収縮による導線の帯電 S系では、自由電子は速度vで動いているので、自由電子の平均的間隔は 止まっている場合（S’系）の間隔の 1 v 2 / c 2 倍にローレンツ収縮している 1 v / c 2 1 v / c 2 2 2 S’系では、原子核は速度vで動いているので、原子核の平均的間隔は 止まっている場合（S系）の間隔の 1 v 2 / c 2 倍にローレンツ収縮している 1 v /c 2 2 従って、 1 v / c 2 2 1 v / c 2 2 2 v /c 2 1 v / c 2 2 S’系では、導線は正に帯電！ 力の起源：電場or磁場？ 起源は電場 起源は磁場 F q ( v B ) qv q 0 I 2 r v B er 0 I 2 r + + + + + + + + + + + + S系 I 0 F qE B q A 2 0 r q e r qv E e v -v 0 I 2 r A 2 0 r er + + + + + + + + + + + + S'系 I v 2 c 2 er 時空距離（インタバル） s ( ct ) x y z 2 2 2 2 2 s 0 s 0 s 0 s 0 s 0 2 2 s 0 http://en.wikipedia.org/wiki/File:World_line.png 時空距離はローレンツ不変量（どの慣性系から見ても同じ値を持つ） 固有時（ローレンツ不変量） 動いている時計のインタバル s ( cdt ) ( dx ) ( cdt ) ( vdt ) 2 2 2 2 d dt 時計と共に動いている系からみたインタバル s ( cd ) ( d x ) ( cd ) 2 dt 2 2 インタバルはローレンツ不変量なので dx ( cd ) ( cdt ) ( vdt ) 2 2 d dt 1 v / c 2 http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/relativity /contents/relativity216.html 2 2 固有時間（ローレンツ不変量） 2 2 ユークリッド空間とミンコフスキー空間 ミンコフスキー空間における座標変換 （c = 1とする） ユークリッド空間における座標変換 y’ y t’ t x’ x’ x O x cos y sin sin x cos y x y x y 2 2 2 2 空間距離不変 x O x t 1 2 v 1 v 1 v x 1 t 2 2 2 2 t x t x 時空距離不変 幅（width）と奥行き（depth） ユークリッド空間 y’ ミンコフスキー空間 （c = 1とする） y t x’ x’ S系 O S系：幅1、奥行き2 S’系：幅1.5、奥行き2.3 幅や奥行きは基本的な量ではない （見ている角度に依存する） x t’ S系 O x S系：存在した空間の幅1、持続時間2 S’系：存在した空間の幅2.3、持続時間3 空間や時間は基本的な量ではない （見ている速度に依存する） スカラープロダクト（座標に依存しない量） ミンコフスキー空間 （c = 1とする） ユークリッド空間 y t a a b b x O a b a b a xb x a y b y a z b z アインシュタインの縮約（同じ添え字が現れたら、 すべての成分について和を取る） x O a b ' a b a t bt a x b x a y b y a z b z ２次元ユークリッド空間における スカラーとベクトル スカラー：座標系に依存しない（１成分）量 Q P S系 スカラー（場）の例： •標高（山頂Pの標高は、S系でみてもS’系 でみても同じ） •距離（PQ間の距離は、 S系でみてもS’系 でみても同じ •質量（山頂Pにいる人の質量は、S系でみ てもS’系でみても同じ） ベクトル：座標変換と同じ変換規則に従う多成分量 Q S系 ベクトル（場）の例： •勾配（点Qにおける重力ポテンシャルの勾配の ｘ成分、ｙ成分は、座標と同じ変換規則に従う） •速度ベクトル（点Qにあるボールの速度ベクト ルのｘ成分、ｙ成分は、座標と同じ変換規則に従 う） ミンコフスキー空間における スカラーと４元ベクトル スカラー：座標系に依存しない（１成分）量 s m0 S系 スカラーの例： ・時空距離(インタバル) ・固有時 ・静止質量（４元運動量の絶対値） ・波の位相（４元位置ベクトルと４元波数ベ クトルのスカラープロダクト） ４元ベクトル：座標変換と同じ変換規則に従う４成分量 Q S系 ベクトルの例： ・４元位置ベクトル ・４元速度ベクトル ・４元運動量（４元波数ベクトル） ・４元電流密度 ・４元ポテンシャル（電磁ポテンシャル） 4元速度と４元運動量 ct 物体の時空座標（４元ベクトル） ( ct , r ) ( ct , x , y , z ) ( cdt , d r ) (c, v ) 物体の時空座標の変化（４元ベクトル） m0 ( cdt , d r ) ( cdt , dx , dy , dz ) 物体の４元速度ベクトル dt d r , c d d r 固有時（スカラー）で 割る 1 1 v / c 2 2 (c, v x , v y , v z ) 物体の４元運動量ベクトル E (c, v x , v y , v z ) , p 2 2 c 1 v /c m0 S系 d dt 1 v / c 2 2 静止質量m0（スカラー） をかける 運動量とエネルギー （同じ実在の2つの側面） ct ４元運動量ベクトル E , p ( mc , m v ) c m E , p (c, v ) c 2 2 1 v /c m0 S系 ４元運動量ベクトルの大きさの自乗（スカラー） E 2 c 2 p m c E 2 2 0 2 m c c p 2 0 4 2 2 m0 0 運動量とエネルギーの比例関係 E E , p (c, v ) p 2 v c c r E cp vc 光子の場合 光子（電磁場）のエネルギーと運動量 E 光子放出後の箱の質量変化＝E/c2 光子放出後の箱の速度＝p/M 光子の飛行時間＝L/c E 箱の移動距離＝x=L/c× p/M = Lp/cM 箱の重心変化がないとすると、Mx=EL/c2 E したがって、 p E E E c g S c 2 S ：エネルギー流 （Poyntingベクトル） g ：運動量密度 反陽子生成エネルギーの計算 M 4M a a p (E , p ) p (E , p ) b p ( M , 0 ) given a b M a p (E , p ) a The Feynman lectures on Physics, volume II, 25-2 a b b c c c p ( 4 M , 0 ) given p ( E , p ) c M M 4M ４元運動量保存則（エネルギー保存則＋運動量保存則）より a b c p p p E a c M E ,p ４元運動量の大きさは静止質量（スカラー）なので c c a a p p p p 16 M c c p p p p M a a pa’ を消去すると、 a 2 (E M ) M 2 2 2 代入 c a p c 代入 c ( E ) ( p ) 16 M a 2 a 2 (E ) ( p ) M a 2 ( E ) 16 M 2 2 2 E a 2 7M 2 光の縦ドップラー効果 ４元運動量ベクトルのローレンツ変換（c =1） p' E' p vE 1 v 2 E p E E vp 1 v ' 1 v 2 1 v 1 v 2 SI単位系に戻ると ' v cf. 音のドップラー効果 1 v / c v 1 1 v / c c kv k c ' V v 観測者 V v 音源 V ：音速 2005年東大2次試験物理 Rb原子のレーザー冷却＠鳥井研 4cm 1010 Rb atoms ＜100μK 輻射圧：光子吸収による運動量変化 光子 原子 A E L p k 励起状態 基底状態 L A (共鳴条件）のとき p k 原子は励起状態になり、反跳運動量 p = k を受ける ドップラー冷却の原理 輻射圧 小 レーザー光 L 原子 レーザー光 A L v 輻射圧 大 kv 吸収の強さ kv 周波数が原子の共鳴よりわずかに低い レーザー光を左右から照射する L 周波数 ドップラー効果によって、対向するレーザー光 からの輻射圧をより強く受ける 原子は減速される（ドップラー冷却） 電磁場のエネルギー流 電磁場が単位時間、単位体積あたりに電流（物質系）になす仕事 1 E E j E B 0 t 0 1 0 E ( B ) 0 E E t 電磁場のエネルギー密度 1 1 1 2 2 0E E B B 20 0 t 2 S ：ポインティング ベクトル S （ 物質系のエネルギー密 t 単位時間、単位体積あたりの 電磁場のエネルギー変化 度 ） （ 電磁場のエネルギー密 度） Sをエネルギー流密度と考えれば、物質系を含めたエネルギー保存則が成立する エネルギーはどこを流れるのか？ (1) P VI (2) E (3) B 0 (4) 1 1 2 2 U 0 E B dwl 20 2 V d C 0 I w 2 S (6) S wd VI 0 VI (5) d L 0 1 CV 2 EB w wd d w 2 LI l 2 1 太田浩一「電磁気学Ⅰ、Ⅱ」 晴れた空が青いのはなぜだろう― この素朴な質問の答の中に、電磁気学のエッセンスの すべてがひそんでいる（内容紹介より） マクスウェル方程式の解 ファインマン物理学Ⅲ 電磁気学 第20章「電流と電荷のある場合の マクスウェル方程式の解」p264 リエナール-ヴィーヒェルトポテンシャル （ファインマン物理学Ⅱ第3章） 輻射を表す 2 q e r r d er 1 d E e r 2 2 2 2 4 0 r c dt r c dt t r c B P e r E c r e r t r t r' c 振動する電気双極子の放射パワー 放射電磁波の電場 z e r r E rad 1 d2 e r 2 2 4 0 c dt t r q c 半径が単位長さの球 放射電磁波強度の時間平均 S 1 2 振動する電気双極子 p p 0 cos t S 1 2 c 0 E 0 2 電場の振幅 放射電磁波のパワー P p 2 0 S d 12 4 c 0 3 散乱（吸収）断面積 原子（分子）1個が単位時間に放射するエネルギーをP[W]、 原子（分子）の密度をnとする。 dzの厚さを通過する際に吸収される 単位面積あたりのエネルギー I(z+dz) I(z) I ( z ) I ( z dz ) Pndz dI n dz dz 原子（分子）を仮想的に断面積がσの吸 収体と考えるなら、単位時間に吸収する エネルギーはP = Iσとなる。 P I nI I P I I ( z ) I 0e 原子（分子）１個の 吸収断面積 n z I 0e z 分極の調和振動子モデル （ローレンツモデル） 2 d x dt 2 2 dx x 2 0 dt e m E0e i t i t とおいて代入すると x x ( ) e E0 e x ( ) 2 2 m 2 i 0 原子（分子）の電気双極子 p ex ( ) e i t e 2 E m 2 i 2 振動する電気双極子の振幅 2 0 e i t レイリー散乱とトムソン散乱 原子のローレンツモデルより、原子の双極子モーメントの振幅は e p0 2 E0 0 m 2 i 2 2 0 振動する電気双極子の放射パワーは P p 2 0 4 12 0 c 3 1 2 I 8 r0 2 3 2 E0 m 0 2 2 古典電子半径 8 r 2 0 3 4 ( 0 ) 2 2 2 2 e r0 2 4 m c 0 e 8 r02 4 ( 0 ) レイリー散乱 4 4 3 0 2 2 2 2 ( 0 ) 8 r 0 ( 0 ) トムソン散乱 3 原子1個の散乱断面積は P 0 cE 2 0 e 晴れた空が青いのはなぜだろう？ 青（400nm） 赤（800nm） 8 r 3 2 0 4 0 4 それは、レイリー散乱 断面積が波長の４乗に 反比例するから 「身近な気象の科学」図9.9より転載