Transcript 宇宙背景重力波と弦理論
「超弦理論と宇宙」
尾道, 2008.2.
宇宙背景重力波と弦理論
早田
次郎
京都大学理学研究科
1
なぜ 宇宙背景重力波と弦理論か?
重力波の存在はほぼ確実
直接観測ももうすぐ
重力波天文学の幕開け
Chaotic inflation は宇宙背景重力波を予言する
重力波は宇宙の進化の過程でほとんど相互作用しない
GWを観測することは難しい!
しかし不可能ではない!!
と信じよう
宇宙の始まりを見ることができる!
重力波を使った観測的宇宙論の幕開け
弦理論では原始背景重力波はできない?
つい最近まで超弦理論でインフレーションは無理だと
言われていたことを忘れてはならない。。。
もし見つかったら?
2
A perspective on string cosmology
singularity
Non-inflation
Non-geometry
String theory
AdS/CFT, Matrix?
supergravity
String gas
cosmology
Pre-big-bang
cosmology
Ekpyrotic or cyclic cosmology
geometry
D-brane inflation
Inflation
Field theory
old inflation
new inflation
chaotic inflation
hybrid inflation
………
Cosmological observations
Primordial GW
LSS, CMB, 21cm, etc.
3
Plan of this talk
Gravitational waves (GW)
Inflation: a paradigm
Inflation in DBI theory --- scalar sector modification
Inflation in GB-CS theory --- gravity sector modification
Inflation in supergravity
Inflation in superstring
Non-inflation?
Summary
4
参考文献
H.Tye, hep-th/0610221
J.Cline, hep-th/0612129
R.Kallosh, hep-th/0702059
C.Burgess, 0708.2865
L.McAllister&E.Silverstein, 0710.2951
5
Gravitational waves
6
Astrophysical sources
Ex. NS binary
M
f
1/ G
t ff
Free fall time scale
M
G 3
R
M
frequency
6.6 10
f
M
G
R 10km
11
1030
43
10
104 Hz
ソースが 100Mpc の距離にあるとすると, 重力波の振幅はだいたい
Ex. White dwarf binary
f
0.6M
LIGO range
h 10 22
R 105 km
103 Hz
LISA range
Ex. Giant BH binary
f
M
106 M
R 107 km
103 Hz
7
Cosmological sources
For cosmological source, a typical frequency would be
The observed frequency is redshifted to
In the thermal case, we have
Ex.
EW scale
T
102 GeV
fobs
f obs
Ha
Ha
f obs
G
f
H
a
T
T0
1044
M
T
p
2
103 Hz
log f obs
inflation
LIGO
LISA
inflation
cosmo
astro
CMB
log a
8
How to quantify GW?
1
df d GW ( f )
hij hij
32 G
f d log f
Energy density of GW
GW
Density parameter
GW ( f )
Let us define
hc
by
8 G d GW ( f )
3H 02 d log f
2
d GW ( f ) hc 2 f
d log f
32 G
2
hc 1.5 10
20
GW
f
100Hz
1
It allows us to compare the amplitude of point sources and cosmological ones.
f
Ex.
103 Hz
GW
1014
hc
1022
Detector sensitivity
LISA
GW
1011
at 1 mHz
BBO
GW
1015
at 0.1 Hz
GW
1020
at 0.1 Hz
Ultimate DECIGO
9
Primordial GW
RD
1
1
H 2
2t a
Ph 1/ f
MD
2
1
H 3/ 2
3t a
Ph 1/ f
2
4
h const.
a
k
H 1
h
RD
1
a
t
MD
Pulsar timing
BBN bound
LIGO II
CMB bound
LISA
f 2
f0
DECIGO/BBO
Inflation origin
10
Inflation: a paradigm
11
Inflation in field theory
S
1
1
4
4
d
x
g
R
d
x
g
V ( )
16 G
2
ds 2 dt 2 a 2 (t ) dx 2 dy 2 dz 2
一様等方宇宙
dynamics
H2
1 1 2
V ( )
2
3M p 2
3H V '( ) 0
quasi-deSitter universe a(t ) e H t
H
tf
N Hdt
dN Hdt
t
H
d log H 3 p
1 2
1 d
2
dN
2
H
2 M p2 H 2 2 M p2 dN
p p
d log
d 2 d
3 2 2
dN
dN dN
2 4
1
d
V'
M p2
dN
V
1
M p2 V ' 2
2 V
M p2
M p 8 G
a
a
1/ 2
2.4 1018 GeV
N 50 60
2
1
H2
1
V ( )
3M p2
3p 0
slow roll eqs.
V ''
V
12
Origin of fluctuations
length
A free scalar field
2
Wavelength of
fluctuations
a
k 2 0
a
'
Super-horizon
c decaying mode
a
k
d
d
ds 2 a 2 ( ) d 2 ij dxi dx j
H 1
Sub-horizon
1
e ik
a 2k
Quantum fluctuations
aH k
Matching at
c
H
2k 3
t
gives
dk k 3
2
H
0 0
k
k 2 2
2
2
2
13
Amplitude of fluctuations
Curvature perturbations Rc N H t H
PR
c
H
4
4 2 2
H 2
2
Rc ( x1 )
Action for GW
The relation
S
8
d
M pl h / 2
4
1
H
8 2 M p2
一定
The tensor to the scalar ratio
Density parameter of stochastic GW
N ( x2 )
x hij hij hij hij
yields
Tensor perturbations
Rc ( x2 )
2
N ( x1 )
M p2
inflation
end 1
h
2 H2
Ph 2 2
Mp
( x1 )
H
M pl
initial
polarization
8 d
r
16 2
Ph
M p dN
PRc
GW
( x2 )
104 1010
2
1014
14
Spectral tilt
aH k
ns 1
nt
d log PRc
d log k
d log Ph
d log k
aH k
d
H2
log
2 2 4
dN
aH k
d log k d log a dN
ns 1 6 2
d
r
log H 2 2
dN
8
CMB constraints
ns 1 6 2
ns 0.95 0.02
nt 2
r 16
r 0.3
15
Example
V
1 2 2
m
2
d
2
M p2
dN
Inflation end
N
2M p2
2
1
N
f
1
2 f2
2 i
4M p
1.4M p
i 15M p
56
0.01
r
0.14
at COBE scale
ns
0.964
nt
0.02
16
Lyth bound
8 d
r 2
M p dN
2
N
50
Mp
(1)
r
0.01
観測可能な背景重力波が生成されるためには
Large field inflation
Non-slow-roll inflation
17
Other interesting topics
Primordial Gravitational waves from
cosmic strings
Network evolution
Primordial Gravitational waves from the
reheating stage
Colliding branes
18
C.J.Hogan 2006
19
GW generated in the reheating stage
Bellido &Figueroa arXiv:0801.4109
20
Inflation in DBI theory
21
DBI inflation
M p2
S d x g
R P( X , )
2
P f 1
4
T g P P, X
Dynamics
1
X g
2
1 2 fX 1 V
E 2 XP, X P f 1 1 V
3M p2 H 2 E
H
E 3H E P
Quasi-deSitter expansion
1
1 2 fX
1
E P
2M p2
XP, X
2 P, X
P, X d 2
H
EP
2
H
2M p2 H 2 M p2 H 2 2M p2 H 2 2M p2 dN
P, X
P
d log
3 w
d log N
E
1
w
1
1 1 2 fX fV
1 fV
22
Fluctuations
Curvature perturbations
H 2 P, X
H2
H2
PRc 2 2 2 2 2
4
8 M p 8 cs M p2
1
cs
d
H2
ns 1
log
2 s
dN
cs
Tensor perturbations
Tensor-to-scalar ratio
Non-Gaussianity
L
1
L
G f NL G2
2 H2
Ph 2 2
Mp
s
P, X
E, X
1 2 fX
1
1
P, X
d log cs
dN
nt 2
2
P, X d 2
8 d
r 16 cs 16cs
2
2
2M p dN
M p dN
f NL
1 2
1
3
L
2
3
L
3
5
f NL
3L
2
2
L
2 G2 f NL 3G
23
Hamilton-Jacobi equation
運動方程式を解析するために少し工夫が必要
1
1 f 2
2 1
2
f
2
1
1 2 1
H
E
P
2
2
2
2
2M p
2M p f
2M p
1 4M p4 f H2
2M p2 H
Hamilton-Jacobi eq.
3M p2 H 2 f 1 1 4M p4 f H2 f 1 V
24
Example
Mp
2 2
p
f
4
1
2
H
1
2
H
c
2
1
3m2
c
1 1
2M p2
3
として
1
1 2 2
m
2
4
4 1 2 2
4
2
3M c
1 4M p 4 c m
2
H c
V
m2
6M p2
at
t
m
M p2
2
1
1 4M p4 f H2 2M p2
2
r 16 8
M
p
PRc
1
2 Mp
fc
c
t
1 m2
M p2
m2 / 6 M 2p
2
109
109
2
1
f NL
1
Non-Gaussianity 大
2
1
重力波なし
25
Inflation in GB-CS
gravity
Masaki Satoh, Sugumi Kanno and Jiro Soda,
"Circular Polarization of Primordial Gravitational Waves
in String-inspired Inflationary Cosmology",
Phys.Rev. D77, 023526 (2008)
26
String Inspired Model
S
1 4
1
4
d
x
g
R
d
x
g
V
(
)
2
2
M p 1
1
1
2
d 4 x g ( ) RGB
d 4 x g ( ) R R
16
16
2
RGB
R R 4R R R2
ds 2 a 2 ( ) d 2 ij dxi dx j
Homogeneous and isotropic universe
Friedman equation
Scalar field equation
1
R R R R
2
1
1
1
3H 2 1 2 H ' '2 m 2 a 2 2
2
2a
2
'' 2 H '
H
a'
a
'
d
d
3
H 2 H ' , m 2 a 2 0
2
2a
For simplicity, we take a simple model
4
27
Dynamical Flow in the phase space
Using the cosmic time, we have
Here, H is the physical Hubble.
2
3
3
H 3, H 3, 6H 2 2V
2
2
3 4 2
2
H
H , H
,
4
1
1
5H 2 1 H , H 2 1 , 2 2V
2
2
1 2
3
H , 3H V '( ) H 4,
2
2
autonomous
system
f (, H )
H g(, H )
28
Numerical Result
Super-inflation regime
3H 3 ' a 2 2
'' 2 H '
15
3
H 2 H ' , 0
2
2a
5/ 6
a
Slow roll regime
1/ 6
H
1
6
0
H 0
What can we expect for the gravitational waves in this background?
29
Polarization of Gravitational Waves
h
Z方向に進行している重力波は、TT gauge でみると
h
ds 2 dt 2 dz 2 (1 h )dx 2 (1 h )dy 2 2h dxdy
独立な偏極モードはこの2つ。
circular polarization
Right-handed circular polarization
hR h ih
hL h ih
Left-handed circular polarization
30
Gravitational waves
Tensor perturbation
Polarization state
Circular polarization
With the transformation
ds 2 a 2 ( ) d 2 ij hij dxi dx j
hij ( , xi )
2
d 3k
2
3
A R , L
( ) eiki x pijA
ks sj A
r pij i A priA
k
kA zkA kA
i
polarization tensor
R 1,
L 1
, we get
H ' '' 2 z A A
1 2 2 k k 0
z A
d 2
zA
2z A
d 2 kA
A
k
hij , j hi i 0
z A a( ) 1
H '
'
A
k
2a 2
2a 2
GB
CS
Right-handed and left-handed waves obey different equations!
31
GW in Super inflationary regime
H ' '' 2 z A A
1 2 2 k k 0
z A
d 2
zA
2z A
d 2 kA
For super-inflationary regime
5 15 2
H '
4 / 3
9
z
2
A
1/ 3
1 and on the scales
k
1
6
'' 70 25
4 /3
5 15 2
4 / 3 1 6A k 125 4 / 3 A k
18
Thus, we have
d 2 kA
2
A8 1 A
k
1
k 0
2
3
k
d
Both GB and CS contribute here
32
Instability induces Polarization
kA akAukA a † kAuk* A
quantization
ukA
a | 0 0
A
k
vacuum fluctuations
2
0 | kA | 0 ukA
E.O.M. on sub-horizon scales
k 1/ 6
k 8 / 3
1 ik
e
2k
2
2
A8 1 A
k
1
uk 0
3
k
d 2
d 2ukA
8 A
3 A k
u A
exp
2
k
2
8
k
3
A
k
R 1,
L 1
Left-handed mode is simply oscillating,
right handed-mode is exponentially growing
33
Degree of Polarization
The growth factor
8
exp 2 k
3
uR
uL
2
2
freeze
2980
exp 8 / 3
Hence, we have the degree of circular polarization
2
2
R 2
k
L 2
k
ukR ukL
u
u
k
gives
exp 32 / 3
(k )
right-handed
instability
1
8
k
6
3
The instability continues during
k
H 1
8
3
k
1
6
Bunch-Davis
vacuum
1
The string theory could produce 100 percent circularly polarized GW!
Note that the amplitude is also enhanced by the instability.
34
Two field inflation
S
1 4
1
1
4
d
x
g
R
d
x
g
V
(
,
)
2
2
2
1
1
2
d 4 x g ( ) RGB
d 4 x g ( ) R R
16
16
V
2
1 2 2 1 2 2
m m 2 a 2 b
2
2
m 106
m
2
107
3
1011
a 3000
b 0.04
35
Detectability
We thus have the following schematic picture.
Assuming 10 years observational time
0.08 GW / 1015 SNR / 5
Seto 2006
GW
10 13
SNR
at 1Hz
For LIGO and LCGT, we have
GW
/ 108 SNR / 5
Taruya&Seto 2007
It should be stressed that our model is completely consistent with
current observations.
36
Inflation in supergravity
37
N=1 4-d supergravity
S
1
K / M 2p
4
4
4
d
x
g
R
d
x
gG
d
x
ge
i
j
16 G
ケーラーポテンシャル
必ずcomplex
K ( , )
ij
3
2
K
DW
D
W
W
i
j
M p2
とスーパーポテンシャル
W ( )
Gi j
2 K ( , )
i j
で理論が決まる
i
可能な補正項
1 i
K K classical
M p2 ci 2
M
i
p
38
エータ問題
K
VF e
K / M 2p
e
3
2
1
W KW K W K W 2 W
Mp
/ M 2p
2
W W 1
V 0 V 0
3 M 2p H 2
2
M
2
p
3
2
W W 2 W
Mp
m2
H2
O(1)
39
Supergravity inflation
Chaotic inflation in supergravity
K ( , , X , X )
Kが
2
1
X X
2
W ( , X ) m X
i ( ) / 2 に依存しない
V
1 2 2
m
2
Natural inflation in supergravity
K
2
1
4
W w0 Beb
V V1 ( x) V2 ( x) cos b
観測可能な重力波が生成されうる
Kallosh, hep-th/0702059
40
Inflation in superstring
41
モジュライ, エータ, ケーラー 問題
Extra –dimensionsはコンパクト化されねばならない
Moduli は固定されなければならない
m2
H2
Inflaton directionはmass lessでなければならない
m2
H2
この2つを同時に自然に実現することは困難
次元降下して得られるケーラーポテンシャルは
K c log( )
42
Racetrack inflation
K 3log T T
A
1
50
B
7
200
W W0 Ae aT Be bT
a
50
b
45
W0
1
25000
このタイプは観測できるような inflation 起源の重力波を生成しない
Kallosh, hep-th/0702059
43
Dブレーン インフレーション
A
V 2T3 1 4
r
``インフレーション’’
張力がインフレーション
を引き起こす!
r
D3
Dvali & Tye (1999)
D3
インフレーション終了
消滅
D3
44
Dブレーンインフレーション
標準的に規格化されたスカラー場を使ったポテンシャルエネルギーは
L6 T33
V ( ) 2T3 1 3 2 4
2 M p
スローロールパラメータを計算すると
M p2 V ' 2 4 T3 L2 L 10
6 2
2 V M p r
6
6
V
''
10
L
L
M p2
3 6 0.3 6
V
r
r
ここでLはコンパクト空間のサイズなのでブレーン間の距離rは
ゆえに
1
rL
を与える
となり観測と矛盾してしまう
45
フラックス コンパクト化
Giddings, Kachru & Polchinski (2002)
ケーラーモジュライ
モジュライの固定で
``真空”がユニークに
決定されるはず!
複素構造モジュライ
ケーラーモジュライは固定されたと仮定する。
GKPの結果
複素構造モジュライは固定できた。
ケーラーモジュライは固定されない。
内部空間は一般にワープしている
フラックス
46
KKLT
Kachru, Kallosh, Linde, Trivedi 2003
インスタントン、ゲージーノ凝縮によるケーラーモジュライの固定。
反D3ブレーンを加えることでポテンシャルを持ち上げてドジッター時空を実現。
VKKLT VAdS
D
ブレーンの数に比例
2
フラックス真空は整数で指定されるので離散的
ストリングランドスケープ
フラックス付き
カラビ・ヤオ
AdS5 S 5
KSスロート
GKPの仕事を受けて, KKLTは全てのモジュライの固定に成功した
47
Warped Dブレーンインフレーション
Kachuru et al (KKLMMT 2003)
フラックス付き
カラビ・ヤオ
AdS5 S 5
KSスロート
インフラトン
D3ブレーン
: warp factor
反D3ブレーン
4 A
V 2T3 1 4
r
4
48
残念ながら
ブレーンの反作用を考えると。。。
K 3log T T
m2 2H 2
Conformal coupling
スーパーポテンシャルからの寄与でキャンセルさせる?
Fine tuning必要
Kallosh & Linde 2007
3m3/2 2 VAdS
m3/ 2 O(1)TeV
H m3/ 2
r 1024
49
DBI inflation
D3ブレーン解
1
2
1
2
ds 2 h ( ) dx dx h ( ) d 2 2 ds X2 5
R
h( )
4
R 4 g s ' N
4
2
3
vol( X 5 )
を背景としてテストD3ブレーンを考える有効作用は
S T3 d 4 x gh1 ( ) 1 h( ) T3 h 1 ( )dtdx1dx 2 dx3
d 4 x g f 1 ( ) 1 f ( ) f 1 ( )dtdx1dx 2 dx3
f 1 T3 h 1
f T3
R4
4
T3 r1
T3
1
1
(2 )3 g s '2
N
1
2 vol( X 5 ) 4 4
50
Microscopic constraints on DBI inflation
プランク定数
M p2
Vthroat vol( X 5 )
UV
0
Mp
V ( )
1 2 2
m
2
V6
102
102
d 5 h( )
1
7
2 g s2 '4
2
1
2
2
vol( X 5 ) R 4 UV
2 4 g s N '2 UV
2
2
2
2
T3 UV
T3102 UV
4
2
Mp
Vthroat
N
T3
1
1
(2 ) g s '2
3
V6 Vbulk Vthroat
を具体例として
CMB揺らぎの振幅から
109
N
109 vol( X 5 )
重力波は期待できない
2
Mp
r 2 3
N 4
r f NL
8
8
r 0.3
f NL 300
観測と完全に矛盾!
N 38
51
Non-inflation?
52
特異点の解消
古典的アプローチ
無からの創生
無境界 境界条件
Wheeler-DeWit 方程式
トンネル効果
現象論的アプローチ
プレビッグバンモデル
サイクリック宇宙
ストリングガス宇宙
T 双対性
Blue spectrum
ブレーンの衝突
重力波なし?
T 双対性
Thermal fluctuations
野心的アプローチ
タキオン凝縮
AdS/CFT
時空の消失?
微妙
53
Challenges
54
ストリング宇宙論の小史
1981 --- インフレーション理論
1983 --- 宇宙の波動関数
宇宙定数に関する議論が活発---Coleman, Moore, Brown-Teitelboim
1989 --- Brandenberger-Vafaのシナリオ
1993 --- プレ・ビッグバンモデル
1999 --- Randall-Sundrum ブレーンワールドモデル
1999 --- Dブレーンインフレーション
2000 --- Bousso-Polchinski による宇宙定数理論
2001 --- Ekpyrotic, Cyclic model
2003 --- KKLMMTインフレーションモデル
2004 --- DBIインフレーション
2007 --- 特異点問題が議論できるようになってきた
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Type IIA
Heterotic
String 固有の機構
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