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ネットワーク理論
Text. Part 3 pp. 57-104
• 最短路問題 pp.58-84
• Ford法,双対問題とポテンシャル，
Bellman方程式とBellman-Ford法
• 負の費用をもつ閉路がある場合，閉
路を含まない場合
• 最大流問題 pp.85-94
• 最小費用流問題 pp.95-104
1
大名の最小費用流問題
飛脚が運べる量
（容量）
費用
10(5)
s
10
5(8)
1
1(8)
3(2)
2
2(5)
t
10
6(6)
3
富士山から江戸まで10単位の氷を送りたい．
なるべく安く運ぶにはどうしたらよい？
2
最小費用流問題の特徴
•枝に費用がある
•それぞれの点での流出（入）量が決まっている
sでは-10流出
（10流入）
1では0流出
10(5)
s
10
5(8)
1
1(8)
3(2)
2
流出量を関数bで表すと
b(s)=-10
b(1)=0, b(2)=0, b(3)=0
b(t)=10
2(5)
t
tでは10流出
10
6(6)
3
3
最小費用流問題（グラフ理論的定義）
点集合 V
 枝集合 E
 有向グラフ G=(V,E)
 枝の容量 u: E → R+
 枝の費用 c: E → R
 流出量関数 b: V → R
 目的：
費用の合計が最小となる実行可能フロー
ただし，  bv  0

vV
4
実行可能フローとは？
以下の条件を満たす実数値関数x:E → R
フロー整合条件
（各点における氷の消費・補充
が決まっている）
x
w : wv  E
wv

x
vw
 bv ,  v  V
w :vw  E
容量制約と非負制約
（飛脚の運べる量には限界がある）
0  xe  u e ,  e  E
費用の合計を最小にする実行可能フローを最適フローと呼ぶ
5
閉路消去法（基本的アイディア）
 基本的には最大流問題に対するFord-
Fulkerson法と同じ
 費用の概念が入るので，補助ネット
ワークの作り方が若干異なる
6
補助ネットワーク（最小費用流版）
s
10(1／5)
1
-10(1)
s
1
5流せるところを
1流している状態
費用は（1単位あたり）10
元の問題のネットワーク
残余容量1
1からsへあと1流せる
そのときに増加する費用は
（1単位あたり）-10
補助ネットワーク
10(4)
残余容量4
sから1へあと4流せる
そのときに増加する費用は
（1単位あたり）10
7
補助ネットワーク
5流せるところを
5流している状態
10(5／5)
s
1
元の問題のネットワーク
1
補助ネットワーク
-10(5)
s
5流せる
1単位あたりの費用
増加は-10
残余容量0
もう流せない
8
補助ネットワーク
5流せるところを
流していない状態
10(0／5)
s
1
元の問題のネットワーク
s
1
補助ネットワーク
10(5)
もう流せない
残余容量5
あと5流せる
1単位あたりの費
用増加は10
9
練習（黒板使用）
（補助ネットワークの作り方）
s
15(5/10)
??(??)
t
s
t
??(??)
??(??)
10(3/5)
1(5/8)
1
??(??)
??(??)
??(??)
1
10
練習（黒板使用）
（補助ネットワークの作り方）
s
15(5/10)
-15(5)
t
s
15(5)
t
10(2)
10(3/5)
1(5/8)
1
1(3)
-1(5)
-10(3)
1
11
負閉路
負閉路＝
補助ネットワークにおいて費用の合計が負となる閉路
負閉路がある限り，
負閉路内のフローを増やすと，費用は減る
増やせるフロー量の上限は，負閉路内の枝の残余容量の最小値
-15(5)
s
15(5)
t
10(2)
1(3) -1(5)
10+1+(-15)=-4
-10(3)
1
4だけ費用が減る！
12
定理：負の閉路による最適フロー
の特徴づけ
実行可能フローに対する補助ネットワー
クにおいて，負閉路が存在しなけれ
ば，それは最適フローである
証明は省略
13
閉路消去法（アイディア）
最初は適当な実行可能フローからスタート
（実行可能フローの簡単な作り方は後述）
 少しずつフローの費用を減らしていく
（補助ネットワーク上で負閉路を見つけて，
負閉路内の枝の残余容量の最小値だけ，負閉
路上のフローを増やす）


負閉路が見つからなくなったら終わり
14
実行可能フローの簡単な見つけ方
sからtへ直通の枝を作り，費用
をべらぼうに大きくする
1京(10／10)
10(0／5)
s
5(0／8)
1
1(0／8)
t
3(0／2)
6(0／6)
2
3
2(0／5)
sからtへ10単位の氷の
流れを作りたい
では，
閉路消去法を
やってみよう
15
閉路消去法
1京(10／10)
1
10(0／5)
s
1(0／8)
3(0／2)
2
5(0／8)
t
6(0／6)
2(0／5)
3
-1京(10)
1
s
1(8)
10(5)
t
6(6)
3(2)
5(8)
2
2(5)
3
16
閉路消去法
1京(5／10)
1
10(5／5)
s
3(0／2)
2
5(0／8)
1京(5)
1(5／8)
t
6(0／6)
2(0／5)
3
-1京(5)
1(3)
1
s
-1(5)
-10(5)
t
6(6)
3(2)
5(8)
2
2(5)
3
17
閉路消去法
1京(5／10)
1
10(3／5)
s
3(2／2)
2
5(2／8)
1京(5)
1(5／8)
t
6(0／6)
2(0／5)
3
-1京(5)
1(3)
-10(3)
10(2)
s
5(6)
-5(2)
1
-1(5)
t
6(6)
-3(2)
2
2(5)
3
18
閉路消去法
1京(3／10)
1
10(5／5)
s
3(2／2)
2
5(2／8)
1京(7)
1(7／8)
t
6(0／6)
2(0／5)
3
-1京(3)
1(1)
-10(5)
s
5(6)
-5(2)
1
-1(7)
t
6(6)
-3(2)
2
2(5)
3
19
閉路消去法
1京(0／10)
1(7／8)
1
s
10(5／5)
3(2／2)
2
5(5／8)
1京(10)
1(1)
-10(5)
s
5(3)
-5(5)
1
-1(7)
-3(2)
2
t
6(3)
2(2)
-2(3)
3
t
6(3／6)
2(3／5)
3
負の閉路が
見つからないので
終了
-6(3)
20
閉路消去法（擬似コード）
x:=適当な実行可能フロー
while 負閉路がある do
適当な負閉路Cを選択
Δ:=C内の枝の残余容量の最小値
C上にフローをΔだけ増加
21