Transcript Maxwell eq.

2007.05.01-02
Maxwell Equations in Plasma
0. Self consistent field in plasma
１．Physical meaning of Maxwell equations
2. Derivation of Maxwell eqs.
1
電磁場と荷電粒子、荷電流体
• 単一粒子、流体の電磁場中での運動




P  q E  q v  B
qは電荷(-e,+Ze)、vは粒子（電子、イオン）の速度
e
i

d Ve
dt
d Vi
dt

 
 

   p e     e  en e ( E  V e  B )

 
 

   p i     i  Zen i ( E  V i  B )
Ve,iは（電子、イオン）流体の巨視的流れ、enは電荷密度
電荷をもつ粒子、流体には電磁力が作用する。 プラズマ全体の流体運動
は２式を足し合わせたものである。
2
電磁場中の分布関数の発展方程式
 

 
e  
 v e   fe 
( E  v e  B )   v f e    v  v
t
me
f e


 

 
Ze  
 v i   fi 
( E  v i  B )   v f i    v  v
t
mi
f i


ここで、E,Bは外部から与えられた電磁場。右辺は衝突項であり、
速度空間の流れのdivergenceとして与えられる。
もし外部電磁場が無いとすると左辺の第３項をなくすことができる。
外部からの電磁場は衝突による流れには寄与せず“外場”の元での
位相空間の運動を支配する。
3
衝突とEntropy S増大
 f  3 3
   ln f 
dr dv
（配布資料を参照のこと）
dt
 t 
 

 
f i
Ze  
  v i   fi 
( E  v i  B )   v f i   v  v
t
mi
dS


分布関数の時間変化は
１）確定的な外場における運動による変化
２）ランダムな衝突による時間変化
によってもたらされている。
従って、エントロピーの時間変化も両者の寄与があるはず。
dS
dt

dS
dt

motion
dS
dt
collision
4
外場の元での確定的な運動の寄与
 

 
Ze  
  v i   fi 
( E  v i  B )   v f i   v  v
t
mi
f i
motion

 
  
 3
Ze  
   ln f   v i   f i 
( E  v i  B )   v f i dr dv
mi



dS
dt


 
3
1st :   ln f v i   f i dr dv


 



  dv v i  
0
3
  
 fi   3
v i    f i ln    dr dv
 e 

3

3
3

 fi  
d S  f i ln   
 e 

空間微分の項の寄与は０
5
 
  
 3
Ze  
   ln f i   v i   f i 
( E  v i  B )   v f i dr dv
dt motion
mi


 
3
3
2 nd :   ln f F   v f i dr dv

dS




  
 fi   3
F   v  f i ln    dr dv
 e 

 


  dr v i  
3
0
3

3
 
 fi  
d S v  f i ln   
 e 

速度空間における勾配の項の寄与も０
結論として、外場の元での確定的な運動あるいは自由運動は
エントロピー増大には寄与しない
6
ランダムな衝突がエントロピーを増大させる
• プラズマにおける衝突を
大多数の微小角散乱 b~lDebye>>Lp-p
中くらいの散乱
b＜lDebye
希な大角散乱
b~Lp-p
と分類すると
•すべての散乱がエントロピー増大に寄与？
•プラズマ自身が作る電磁場の効果は？
7
プラズマ中のプラズマが作る電場
• 自分の作る電場＋全員が寄与して遮蔽電場を作る
小角散乱はどれを変化させるのか？
その他の散乱はどれを変化 両者を変化させるのか？
~
E  E   E
電場は
１）粒子間距離より遙かに長くデバイ長以下程度の平均場
（これはすべての粒子の協同効果として創世されたもの）
と
２）粒子のランダムな運動、即ち“衝突”を」引き起こす
揺らぎ成分である。
8
プラズマ自身の作る平均電場の記述
（無衝突、且つ外場は無いとする）


 
Ze

 v i   fi 
 E   v f i  0
dt
t
mi
df i
f i


 E     
 1
  
 4  0
 
 Z ef ( r , v , t )dv
  netch
i
arg e
i
3
  e i f e ( r , v , t ) dv
3






4  0
ここで、<>は巨視的な平均場に対応した、平均ポテンシャル、
平均電荷密度であり、分布関数と密接に結びついた量である。9
プラズマ自身の作る平均磁場の記述
（無衝突、且つ外場は無いとする）


 
Ze 

 v i   fi 
v i   B   v f i  0
dt
t
mi
df i
f i





   B    j 


3
 j  e  Z i f i ( r , v , t ) v i dv 


 Zen i  V i   en e  V e 



f e ( r , v , t ) v e dv
3

ここで、<>は巨視的な平均場に対応した、平均電流密度、
10
平均drift速度であり、分布関数と密接に結びついた量である。
プラズマの協同効果による平均場は
エントロピーの増大に寄与しない



  
 3

Ze
   ln f i   v i   f i 
(  E   v i   B  )   v f i dr dv
dt motion
mi


 
3
3
2 nd :   ln f F   v f i dr dv

dS




  
 fi   3
F   v  f i ln    dr dv
 e 

 
3


  dr v i  
3

3
 
 fi  

d S v  f i ln   
 e 

0
プラズマ粒子の協同効果で産み出され、lDの規模で平均される平均
場（自己無撞着場self-consistent field）は外場同様エントロピーの増
大を引き起こさない。したがって、collisionless-小角散乱による分
11
布関数の時間発展はそれ自身では統計力学平均値に近づかない。
Maxwell eqs.の物理的意味と表現 I)
Newton eq. は質点（その性質は 質量を持つ、あるいは
電荷を持つ 等）の運動を記述する。
光速で運動する光子の巨視的記述にはどうするか？その
導出に先立ってベクトルの意味を考察する。
Maxwell eqs.
 D  
 B  0
例）
非圧縮性流体（圧縮、膨張しない流体）の定義
 V  0
12
 
 P  0
 
 P  0
Divergence
２次元(x,y)平面で任意のベクトルXを考え、
１） divergenceが０
２） divergenceが０でない
３） divergenceが正、あるいは負 でない
にベクトルがどのような特徴があるかを考える。



１） P ( x , y )   y i  x j
 
 P  ?
Vectorの図
2)



P(x, y )  x i  y j
 
 P  ?
Vectorの図
13



P(x, y )  y i  xj



 y   x   0
 P 
x
y
湧き出しなし



P(x, y )  x i  y j



x   y   2
 P 
x
y
Ｐは湧き出している
14
3次元で積分表示を行えば？
 
 D  
 


D
dV




 D  dS  Q

D


dV

次元： 電束密度 D [C/m2]、Q[C]
Q
電束密度の表面積分は
電気力線の総和 即ち電荷の総
和
に等しい
15
3次元で積分表示を行えば ＩＩ？
 
 B  0
 


B
dV

0



 B  dS  0

B
次元： 磁束密度
０

Vs /m2
Tesla
磁力線の湧き出しは無く、
磁束密度の表面積分は０に等しい。
即ち、閉じた領域内に“磁荷”に相当する
ものは存在しない。
16
 
P  0
Rotation



P(x, y )  y i  xj

  P(x, y )
z
  Px  Py
 

x
 y

k   2


 
P  0



P(x, y )  x i  y j

  P(x, y )
z
  Px  Py
 


y
x


k  0


Z軸の周りの反時計方向の回転 vectorPは原点から放射状に
を表している。
外に向かって出ており、回転
していない。
17
Vector 公式と物理概念
１） Fを任意のスカラー関数として、
 
   
答えは何か？またその理由は？
２） Ａを任意のベクトルとして、
  
 A 


答えは何か？またその理由は？
18
Maxwell eqs. 物理的意味(II)

B

E

H 
t

D
t
 0,

 j
Eの次元,単位は？
V/m: 力学的な力 N/C
Bの次元,単位は？
Vs/m2:
Dの次元,単位は？
Hの次元,単位は？
jの次元,単位は？
C/m2=As/m2:
A/m:
A/m2= C/s/m2 :
19

E

B
t
 
  E のベクトル方向は？
0

 B  

    E   t   d S




 

  E d l 
B  dS

t


1
 [ V / m ][ m ]  [ Vs / m ][ m ][ s ]
2
2
0
電気力線に回転を与えるのは磁束密度の時間変化
“回転した電気力線”は“発散のない磁力線”の時間変化
20

H 

D
t

 j

H 

D
t

 j
磁場の回転は面を横切る電荷あるいは
電束密度の時間変化によってもたらされる。

D
 


    H   t  j   d S




 

  H d l 
D  dS 

t
 

 F
  H d l 
  j  dS
t


 
 j  dS
1
 [ A / m ][ m ]  [ C / m ][ m ][ s ]  [ A / m ][ m ]
2
2
2
2
0
磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の流れによって
21
与えられる。

H 

D
t

 j
電荷の連続の式
記述されるベクトルの“発散的性質”を調べる
  
 H  0






t


 D    j

 e
t
 e
t


j

    eV


磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の巨視的流れVによって
22
与えられる。
Maxwell eq. の導出
• 粒子の運動
Lagrange eq. (Newton eq.)
L=T(v2)-U(r)
粒子の性質は質量m
最小作用(Js)の変分原理
• 場と粒子の相互作用（粒子と粒子の相互作用）
Lagrange eq.(Maxwell eq.)
相互作用に関して粒子の性質は 電荷e で表現
• 場の記述
Lagrange eq.(Maxwell eq.)
粒子の軌道は固定 場のポテンシャル変分
Landau 場の古典論 3章、４章参照
23
4元位置ベクトル： r

r ( r1 , r2 , r3 )
空間成分
r4  ict
時間成分
C: light velocity
相対論に拡張した作用S[Js]の表現とLagrange
t2
S particle 
2
t2
 Ldt    mc
t1
t1
2
2
L particle   mc
2
b
v
1    dt   mc
c
v
1      mc
c
2

mv
2
 ds
a
2
24
場の性質：４元ポテンシャル A

A (A 1, A 2 , A 3 )
空間成分
A 0  i
時間成分
粒子と場の相互作用は 粒子の性質 e と場の性質A を用いて
S particle  field
t2
 dx i
  eA i 
c t1
 dt
1

 dt

e  

   A  v dt  e  dt 
c

t1 
i  1, 2 ,3 , 4
t2
注：作用の次元を確かめよ
25
粒子と場の相互作用
b
S particle  S particle  field   mc
1
 ds  c  eA
a


   - mc
t1 

t2
2
v
1  
c
2
b
i
dx i
a



e

 A  v  e  dt
c


2
L p  L p  f   mc
2
e  
v
1     A  v  e
c
c
ここでVは４元速度ベクトルの空間成分
26
場と粒子の相互作用の作用積分
（ただし、粒子の運動は固定されている。）
1
1  

   A  j dt   dt    2
c
c

t1 
t2
S particle  field
A
i
i
j dVdt
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元
•重ね合わせが可能
•スカラー量
E
DE
2
3
D (C / m )  (J / m / C ) 
(J / m )
2
2
L field 

1
8
E
2

 H dV
2
こうして、場の作用は
S field 
 
1
8
E
2

 H dVdt
2
27
Maxwell eq. の導出 （Ｉ）
Lagrange eqが相対論や電磁場との相互作用においても正当で
ある（こうしたときの運動も作用を最小にする）と考える。
d  L  L
     0
dt   v   r
1st
term

d  L 
d  
  


dt   v  dt   v



  mc







d
mv
e  

 A

2
dt 
c 
v
 1  

c
 





v
e
  

1     A

c  c 


2
2
28
L
e   
   A  v  e 
r
c

2nd term
ベクトル公式

   
  
 
 
  

 (a  b )  a   b  b   a  b    a  a    b

 





を利用すると、第１項は ｖとｒは独立変数であることを考慮して
  

  
 
 
   
 (A  v)  A   v  v   A  v    A  A    v
 
   
 v  A  v    A




 




L
e   
   A  v  e 
r
c
 
e    e 

v   A  v    A  e 
c
c







29

1st term

mv
d  L 
d
  
dt   v  dt
v
1  
c
2
ここで
e d 

A
c dt

dA


A
  
 v  A


を使うと
t
 
L
e    e
v   A  v    A  e 
 
r
c
c
dt
2nd term




結局, 場における粒子の運動方程式は
d
dt

mv
v
1  
c
2

 
 
 e A
e
 v A 
 e  
 c t

c




注：右辺の次元を確かめよ
30
d
dt

mv
v
1  
c
2

  e 
 
 e A
 
 e    v    A
 c t
 c




 e  
 eE  v  H
c
ここで 以下の場の強さを導入した

E

H

 
 1 A
 
  
 c t



 
A
注：次元を確かめよ
31

E

H

 
 1 A
 
  
 c t



 
A
この２つの式とベクトル恒等式を用いてMaxwell eq.を求める
 
E  
 
 H  0
 
1   A
c
t
ベクトル恒等式


1 H
c t
 
    0
  
 A  0


32
積分表現 Ｉ
 
E  
 
1   A

1 H

c
t
c t

  
  1 H 
1 


d
S



E


d
S


  c t  c t


 
1 
 d l  E   c t
起電力

 
 d S H
 
 d S H

磁束の時間微分に負の符号
をつけたもの
33
積分表現 ＩＩ
 
 H  0
 
 dV   H 


 
 dS  H  0
即ち、任意の閉曲面を通る
磁束は０である。
あるいは 磁荷 というものは
存在しない。
34
電荷の連続の式
粒子質量、粒子密度の保存則は以下のようであった。

t


     v 
ここで、電荷の保存も同様に考えると
 m  mn   e  en
 e
t


 
    eV    j


即ち Maxwell eq. は巨視的
物理量の保存則の基礎としても
用いることができる
注) 積分形で表現せよ
注２) jを分布関数を用いて表現せよ
35
場の方程式 の導出 （ＩＩ）
場と粒子の相互作用の作用Sp-fと自由運動の作用Spの合計の
作用の変分が０で有ることから粒子の運動方程式を決定した。
この過程で、粒子に作用する相互作用の源である場を記述する
Maxwell eq.の第１の組が導かれた。
場の方程式を決定するには、場自身の作用Sfを決定する必要
があり、それに粒子の運動を固定した場の相互作用Sp-fを加えて
場のLagrangeを導き、粒子の軌道の変分の代わりに、場のポテ
ンシャルの変分に対して作用が0という要請から場の方程式を決
定する。
L field  L field  L p  fieled
A
36
点荷の集合系と場の相互作用
S particle
 field

1
b


c
eA i dx
i
a
t2


t1
e  
 A  v  e
c

dt

e  

L p f     A  v  e 
c

点電荷の系から、分布電荷とその運動が電流を形成している系へ拡張
し、相互作用密度の空間積分の表現へと書き改める。
37
1  

   dV  A  j    dt
c

t1
t2
S particle
 field
1   1
0
   dV  A  j  A 0 j  dt
c
c

t1
t2

1
c
t2


A i j dVdt
t1


i
A   , A , A i   , A

i


38
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元
•重ね合わせが可能
•スカラー量
Ｅ
D
電気力線とは単位長さあたり
E E/2のエネルギーを蓄えている
2
1
Q
電場の持つエネルギー密度

 

E
D E
2
3
D (C / m )  ( J / m / C ) 
(J / m )
2
2
L field  E 

1
8
E dV
2
39
注）ここではGauss 単位を用いている
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元
•重ね合わせが可能
•スカラー量
Ｅ
D
電気力線とは単位長さあたり
E E/2のエネルギーを蓄えている
2
1
Q
電場の持つエネルギー密度

 

E
D E
2
3
D (C / m )  ( J / m / C ) 
(J / m )
2
2
L field  E 

1
8
E dV
2
40
注）ここではGauss 単位を用いている
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元
•重ね合わせが可能
•スカラー量

 

B
H
B H
2
3
B ( Vs / m ) 
( J / m / Vs ) 
(J / m )
2
2
磁力線の有するエネルギー密度は
 L field  H 
1
8
H   
2
1 1
4 2
ij
F F ij
F=(E,H)
ここで、Fは電磁場に関する４元テンソル表現とする
こうして、場の作用は3次元表現を書けるとする。
S field 
 
1
8
E
2

 H dVdt
2
41
Contravariant E-M tensor
F
ik
 0

 Ex

Ey

 Ez

 Ex
 Ey
0
 Hz
Hz
0
 Hy
Hx
 Ez 

Hy 

Hx


0 
 
 
ik
Fik  E , H , F   E , H




42
Covariant E-M tensor
 0

  Ex

 Ey


  Ez
F ik
mc
du
ds
i

e
c
Ex
Ey
0
 Hz
Hz
0
 Hy
Hx
Ez 

Hy 
Hx 


0 
 
 
ik
Fik  E , H , F   E , H



ik
F uk


i
dx

i
u 


ds



1
1
,
v
2
c
2

v
c 1
v
2
c
2







43

S field 
1
 
8
E
2

 H dVdt
2
電磁場を４元ポテンシャルを用いて以下の４元テンソル
Fik 
A k
x
i

A i
x
k
 
 
ik
Fik  E , H , F   E , H



現わすことにすると、作用は
S field   

1
16 
ik
Fik F dVdt
と書ける。
44

場の方程式IIの導出
S
1
c
2
A
j dVdt 
i
i
 
1
ik
16 
Fik F dVdt
この変分を調べるが、電流は粒子の運動が与えられているとして、
場のポテンシャルのみを変化させる。 A
S  
1
c
Fik  F
ik
2
 A
j dVdt 
i
i
 F  Fik
ik
 
1
8
 Fik F dVdt
ik
（この関係を利用する）
つぎの電磁場テンソルの変分
から
 Fik 
A k
x
i

A i
x
k
45
S  
1
c

1
c

1
c
 A
i

c

 F ik F dVdt
ik
8

 dVdt

c
c

i
ik   A i
ik   A i
F

F
 A i j 
k
k
8
x
8
x


 dVdt

j dVdt 
i
i
I,kを入れ替え
1

1
 A k A i
F 

i
k
8
x
 x
 A

j dVdt 
i
F

ik
1
 F
ik
ki
c

i
ik   A i
F
 A i j 
k
4


x

の関係を使う

 dVdt

46
ここで、空間全体を考慮しているので、座標の無限遠では
ポテンシャルは０とする。ただし、時間積分の２点ではポテンシャルの
変分は０である。
S  

1
c
1
c


c

i
ik   A i
F
 A i j 
k
4
x

ik
 i
c F
j 
k
4  x


 dVdt


1
 A i dVdt 
4


ik
F
  A i d S k dt
 i
c F 

 A i dVdt  0
j 
k 

c
4  x 

ik
c F
i
 j
即ち場の方程式は
k
4  x
1
ik
47
c F
ik
4  x
k
 j
i
F
ik
 0

 Ex

Ey

 Ez

 Ex
 Ey
0
 Hz
Hz
0
 Hy
Hx
 Ez 

Hy 
Hx 

0 

j  (c, j)
i
以上より、２組の方程式が得られる。
 
H 

1 E
4 

j
c t
c
 
  E  4 
注）これらの式の次元を確かめよ
48
積分表現 ＩＩＩ

  
  1 E 4   
 d S   H   d S  c  t  c j 



 4
  1 E  

 H  d l  c  d S  4   t  j 


任意の閉曲
線の回りの
磁場の循環
注） 次元を考えよ
閉曲線で囲まれた面を通過する
変位電流と真電流の総和に
4/cを掛けたもの
49
積分表現 ＩＶ
 
   E dV   4  dV
 
E

d
S

4


dV

4

Q


任意の閉曲
面を通過する
全電束
閉曲面で囲まれた体積中の
総電荷に4を掛けたもの
注） 次元を考えよ
50
レポート課題
１） Maxwell 応力について述べよ。（定義、導出等々）
２）磁場強度１Ｔに相当する圧力を求めよ。また大気中の絶縁破壊
電圧10kV/cmに相当する圧力を求めよ
51
ここまで学習した内容
場を含めた巨視的物理量の保存則
磁場閉じ込め
粒子、電荷、運動量、エネルギー方程式
不安定性
Fokker Planck eq.
Boltzmann eq.
衝突と
平衡
微視的運動方程式
速度空間の拡散
Plasma自身が
作る自己無撞着場
クーロン小角散乱
粒子と場の相互作用
粒子の運動方程式
場の方程式
52