Transcript 固定パラメータアルゴリズムと部分k木

情報生命科学特別講義III
（13） 固定パラメータアルゴリズムと
部分k木
阿久津 達也
京都大学 化学研究所
バイオインフォマティクスセンター
講義予定

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

第１回: 文字列マッチング
第２回： 文字列データ構造
第３回： たたみ込みとハッシュに基づくマッチング
第４回： 近似文字列マッチング
第５回： 配列アラインメント
第６回： 配列解析
第７回： 進化系統樹推定
第８回： 木構造の比較：順序木
第９回： 木構造の比較：無順序木
第１０回： 文法圧縮
第１１回： RNA二次構造予測
第１２回： タンパク質立体構造の予測と比較
第１３回： 固定パラメータアルゴリズムと部分k木
第１４回： グラフの比較と列挙
第１５回： まとめ
固定パラメータ・アルゴリズム
[Flum, Grohe: Parameterized Complexity Theory, Springer]
固定パラメータ・アルゴリズム

NP困難問題への対処法






近似アルゴリズム
固定パラメータアルゴリズム
指数時間アルゴリズム（O(an)で底aを小さくする）
平均的に高速なアルゴリズム
ヒューリスティックなアルゴリズム
固定パラメータアルゴリズム

あるパラメータ k があり、O(f(k)poly(n)) 時間で動作



f(k) は指数時間、poly(n) は多項式時間
k に対しては指数時間（もしくは、超指数時間）
n に対しては多項式時間
頂点被覆問題
入力： 無向グラフ G(V,E)、整数 k
出力： サイズ k 以下の V の部分集合 W で 、G のすべ
ての辺の少なくとも一つの端点が W に属するもの
頂点被覆問題はNP困難
再帰アルゴリズム
アイデア
各辺の端点のいずれか
は頂点被覆に属する
よって、再帰呼び出しで
それぞれの可能性を調
べる
procedure
VertexCove
r( W , G , k )
if k  0 then
if G has no edge then return W
else return  ;
pick an arbitrary
W 1  VertexCove
edge {u , v } in G ;
r( W  {u }, G  u , k  1);
G-v: グラフ G から頂点 if W 1   then return W 1 ;
v、 および、v に接続する W 2  VertexCove r( W  { v }, G  v , k  1);
すべての辺を削除して得 if W   then return W ;
2
2
られるグラフ
return 
再帰アルゴリズムの実行例
計算量の解析
定理： 頂点被覆問題は O(2k n2) 時間で解ける
証明
アルゴリズムの正当性は明らか
再帰呼び出し１回にかかる手間は、グラフのサイズのオ
ーダー（O(n2)時間）
再帰の深さは
k 以下で、１回あたり2回の再帰呼び出し
が行われるので、再帰呼び出しの回数は 2k+1 以下
よって、全体の時間計算量は O(2k n2)
カーネル化（１）
固定パラメータアルゴリズム設計の別なアプローチ
解に必ず含まれる部分や含まれない部分を削除するなどして、
多項式時間で入力データを小さなサイズ（パラメータにのみ依存す
るサイズ）のデータ（カーネル）に変換
カーネルに対して全解探索を実施
定理
固定パラメータアルゴリズムが存在 ⇔ カーネル化法が存在
頂点被覆問題に対するカーネル化
次数 k+1 以上の頂点は必ず被覆に含まれる
（そうでないと 、k+1 個以上の隣接頂点を被覆に含むことが必要）
次数
k+1 以上の頂点を削除した後で、k2 個より多くの辺が残った
ら被覆不可能⇒（孤立頂点を削除すれば）残りの頂点は 2k2 個以
下
カーネル化（２）
procedure
VertexCove
r2( G , k )
U  { v | deg( v )  k  1};
if | U | k  1 then return  ;
let G ' (V ' , E ' ) be a subgraph
of G induced
G’に孤立点が
ある場合は、
それらも削除
by V  U ;
if | E ' | k return  ;
2
|V’|≦2k2
for all subsets W of V ' such that
| W  U | k do
if W  U is a vertex cover of G then return W  U ;
return 
計算量の解析
G’の構成はグラフのサイズのオーダー（O(n2)時間）
全解探索は
O(2^{(2k)2} k2) 時間
⇒ O(2^{(2k)2 }k2+n2)時間
(これと再帰型アルゴリズムの組み合わせも可）
最近接文字列問題に対する
固定パラメータ・アルゴリズム
[Gramm et al.: Algorithmica, 2003]
最近接文字列問題 (Closest String)
入力： 同じ長さの文字列 s1,…,sk （|si|=L）、正整数 d
出力： すべての si に対しdH(s,si) ≦ d を満たす
長さ L の文字列 s
dH(s,t)： 文字列 s と t の間のハミング距離（ミスマッチの数）
例：
(d=3)
この問題は
NP困難
最近接文字列問題： アイデア
命題： dH(s,t) は三角不等式を満たす
補題1： dH(si,sj)>2d を満たす i≠j があれば、(∀si)(dH(s,si)≦d) を
満たす s は存在しない
証明： そのような s が存在したとすると
2d≧dH(s,si)+dH(s,sj)≧dH(si,sj)>2d となり、矛盾
補題2： d<dH(t,si)≦2d 、 dH(s,si)≦d とすると、t[j]≠si[j] を満たす
任意の j を d+1 個選べば、少なくとも1個の j について、
s[j]=si[j] が成立
証明: もともと dH(s,si)≦d なので、任意の d+1 個を選べば明
らかに少なくとも１個は s[j]=si[j] が成立。
アイデア： t=s1から始めて（この時は最大距離は補題1より 2d
以下）、d が１ずつ減るように補題2を用いて t を変えていく
最近接文字列問題： アルゴリズム
アルゴリズム： ClosestString(s1,d) を実行
procedure
ClosestStr ing( t ,  d )
if  d  0 then return `none' ;
if (  s i )( d H ( t , s i )  d   d ) then return `none' ;
if (  s i )( d H ( t , s i )  d ) then Output t ; exit ;
Choose any s i such that
d H (t , si )  d ;
P  { j | t [ j ]  s i [ j ]};
Choose any P '  P with | P ' | d  1;
for all j  P ' do
t '  t ; t ' [ j ]  s i [ j ];
ClosestStr ing( t ' ,  d  1);
return `none'
補題2
最近接文字列問題： 解析
定理： 最近接文字列問題は O((d+1)d poly(k,L))時間で解ける
証明: 正当性は補題1,2より明らか。
毎回 d+1 個の再帰呼び出しが行われるが、Δd が必ず1ずつ減少
するため、再帰の深さは高々 d。
よって、計算量は O((d+1)d poly(k,L))。
木分解と部分k木
[Flum, Grohe: Parameterized Complexity Theory, Springer]
木分解
(tree decomposition)
グラフ G(V,E) に対する木分解
以下を満たす根つき木と、（Vの部分集合からなる）集合族の組
(T (V T , E T ), ( B t ) tV T )
v∊V について、 B  1 ( v )  {t  V T | v  B t }は連結
すべての {u,v}∊E について、u, v∊Bt を満たす t∊VT が存在
すべての
木分解の幅
maxt |Bt|-1
グラフの木幅
(tree width)
幅が最小となる
木分解の幅
木分解の例
⇒ 木の木幅は１
⇒ サイクルの木幅は２
木分解の性質
命題 T(VT,ET) における頂点 t の子を t1,…,th とすると、
任意の i≠j について ( B t  B t )  ( B t  B t )  
i
j
命題 T(VT,ET) における頂点 t の親を s 、子を t1,…,th とすると、
任意の i について ( B s  B t )  ( B t  B t )  
j
⇒ 多くの最適化問題が親と子の整合性を（個別に）考えるだけで解ける
定理 木幅が k であるグラフは部分 k 木であり、部分 k 木の
木幅は k である
定理 グラフの木幅の計算はNP困難
定理 k を定数とする時、部分 k 木に対し、幅が k で、かつ、
|VT|≦n を満たす木分解を線形時間で計算可能
部分 k 木の定義は省略
部分k木に対する動的計画法アルゴリズム
k を定数とする時、多くの NP困難問題が、部分k木に対しては、
動的計画法アルゴリズムにより多項式時間で解ける
例 頂点被覆問題
（ただし、最小の被覆を計算）

Ch(t): 木 T における頂点 t の子頂点の集合

W t  W s  W t  ( Bt  B s )  W s  ( Bt  B s )
動的計画法アルゴリズム
OPT t (W t )  | W t | 
 min OPT (W )  | W  W |  

  W s :W s  W t
s
s
s
t

s  Ch ( t )
OPT  min OPT r (W r )
Wr

ただし、Wt は Bt （による誘導されるGの部分グラフ）における
頂点被覆。 r は T の根。
動的計画法アルゴリズムの説明
OPT t (W t )  | W t | 
 min OPT (W )  | W  W |  

  W s :W s  W t
s
s
s
t

s  Ch ( t )
OPT  min OPT r (W r )
OPTt(Wt): G(t) において、Bt 中の
頂点被覆を Wt とした際の G(t) の
頂点被覆の最小値
T(t): t とその子頂点から誘導され
る T の部分木
1
 B ( t ) により
G(t):
t 'V ( T ( t ))
誘導される G の部分グラフ
Wr
Bt
Bs
Bs’
Wt :

Ws :

Ws' :



計算量の解析
時間計算量の解析
kを定数とする。また、頂点数 n 以下の木分解をグラフ G
のサイズの線形時間で計算可能（n は G の頂点数）。
T の各頂点 t∊VT ごとに高々 2k+1 個の Wt をテスト。
Σの中の min の計算のために、T の各辺ごとに高々
2k+1× 2k+1 =4k+1個の対をテスト。
よって、全体の計算量は、O(4k poly(n))。
OPT t (W t )  | W t | 
 min OPT (W )  | W  W |  

  W s :W s  W t
s
s
s
t

s  Ch ( t )
OPT  min OPT r (W r )
Wr
木分解の
バイオインフォマティクスへの応用
木分解の応用

タンパク質やRNAの高次構造のグラフ表現は
比較的小さな木幅を持つと考えられる

構造は３次元だが、平面で分割することができる
応用例
タンパク質スレッディング
タンパク質側鎖構造予測
タンパク質立体構造アラインメント
RNA二次構造比較
まとめ

固定パラメータアルゴリズム



O(f(k)poly(n)) などの計算時間で動作
再帰呼び出し型アルゴリズム（でも、他のタイプもある）
木分解


木幅が定数のグラフに対しては、多くのNP困難問題が動的
計画法により多項式時間で解ける
タンパク質やRNAなどの構造解析・予測への応用
補足

固定パラメータアルゴリズム、木分解には数多くの研究


固定パラメータアルゴリズムに関する完全問題なども存在
詳細は [Flum, Grohe: Parameterized Complexity Theory, Springer] などを参照