Transcript Document

Ⅳ 交換相互作用
１．モット絶縁体、ハバード・モデル
２．交換相互作用
３．共有結合性（covalency)
４．超交換相互作用、異方的交換相互作用
Ⅳ-1 モット絶縁体、ハバード・モデル
金属、絶縁体、モット絶縁体
バンド理論 （tight binding model)
odd number of electrons : metals
even number of electrons: insulators or
(semi)metals
電子相関（electronic correlation)
U
ハバード・モデル（単一バンド）
H 


t i c i  j ,
 
i,j

n i ,   c  c i ,
i ,
c j ,  U
 n i  n i 
n
１原子あたり整数個の電子
バンド幅 w=zt << Uのとき、
モット絶縁体
t
zt
 1 : Mott trans ition
U
絶縁体：ｔ を摂動として考える。
Ⅳ-2 交換相互作用
クーロン相互作用の期待値
直接交換相互作用
  
1
H  K ab  J ab   2 s1  s2 
2

b b
a a


J ab    a (1) b ( 2 )
e
2
r12
 
 a (1) b ( 2 ) d r1 d r2
超交換相互作用（transferの２次摂動）
Pauli原理によりホップできない。
（２次摂動のプロセスはない。）
（１）平行スピン
（２）反平行スピン
１
始状態
２
中間状態
１
１
２
２
１
１
２
１
２
２
１
２
終状態
スピンに関する縮退がある場合の2次摂動エネルギー
f Heff m m Heff i
f Heff i  
H eff  

t
2
U



a1  a 2   a 2 
a1 


a 2   a1  a1 a 2 
 , 

 a 1 a 2  a 2  a 1



a 1 a 2 



a 1 a 2 


a 2  a 1


 a 1 a 1  a 1 a 1 a 2  a 2 



 S1 S 2

 a 1 a 1 a 2  a 2 


1
2


 a1 a1  a1 a1 a 2  a 2 




 n1  n1 n 2 
n1  n1 n 2   n 2    n1  n1 n 2   n 2    S 1 S 2  S 1 S 2
1
2
z
１

1
2
 
 2 S1  S 2
2 S1
z
2S 2
4t
U
 S1 S 2




 a 1 a 1 a 2  a 2 
 a 1  a 2  a 2  a 1
J 


 a 1  a 2  a 2  a 1


a 2  a 1
 n1  n1 n 2 

 a 1  a 2  a 2  a 1
 n1  n1  
等方的ハイゼンベルグ
相互作用
 , 


a1  a 2   a 2  a1

H eff
Ei  Em
m
2
  
2t  1

  2 S1  S 2 
U 2

2
Ⅳ-3 共有結合性（covalency)
殆どのイオン結晶中では磁性イオンは陰イオンを介して結ばれている。
交換相互作用のベースのなる軌道（スピンが乗っている軌道）
ｄ－ｐ混成軌道（分子軌道）
x2
p-bond
y2
-bond
d
2
x y
2
-y3
d xy
-x1
x3
-y4
d
2
x y
p
-x4
d xy
2

y1
1
2
  d

2
x y
x1  y 2  x 3  y 4
2
  p

pp 
1
2
 y1
 x2  y3  x4
   d xy   p 

p-d 混成
d
Ed
2
x y
  d
2
t
p
Ep
エネルギー固有値
E 
Ed  E p 
E d

2
  p
 Ed
H 
 t


t 

E p 
 E Ep  E t  0
2
t
E d  E p   4 t 2
2
Ed  E p
Ed
2
2

t
Ed 
Ed  E p


2
t
E 
p

Ed  E p

2
x y
Ep
反結合軌道 anti-bonding  AB  d x 2  y 2   p 

t  E d  E p

結合軌道 bonding
 B  p   d
 
2
x y
2
t
Ed  E p
スピン密度は反結合軌道上に分布する。
陰イオンp軌道のスピン偏極度
f p 

2

4

t
2
4 Ed  Ep
ｐ状態のスピン密度はNMRによって観測できる。
19F
NMR in KMnF3, KNiF3, K2NaCrF6
(R. G. Shulman and S. Sugano, Phys. Rev. 130 (1963) 503.)
F原子核の内部磁場の原因
１．隣接d-スピンからの双極子磁場
２．偏極したp状態から超微細磁場
双極子磁場
３．偏極したs状態からの超微細磁場
Fermi contact field
2
H res
KMnF3
KNiF3
周波数一定：w=60 MHz
磁場を掃引
H0 
K 
H res
w
N
,
H res 1  K   H 0
H 0  H res
H res
w  60 . 000 MHz ,
K2NaCrF6
H 0  14979 . 4 G
１．隣接d-スピンとの双極子相互作用
z


Ad  g  B 
H d    N 2 Ad S z I z  Ad S x I x  Ad S y I y ,
双極子磁場：
d
H hf   Ad S x ,


Ad  H 0
g B
シフト：
j
 Ad S y ,
  sin
K
d

z
pz


p
S  2 f S
p
for p z


p
S  2 fp S
px, py
for p x and p x
p


2 Ap  f   f p  
g B
Ap 




p
2
0
2
5

Ad 
g B
g B r
3 cos
2
 1
3 cos
2

Sx ,
 1

 Ap  f   f p

Sy ,

3
2p

H hf ( p z )  2  Ap f  S x ,  Ap f  S y , 2 Ap f  S z

H hf ( p x )  2 2 Ap f p S x ,  Ap f p S y ,  Ap f p S z

H hf ( p y )  2  Ap f p S x , 2 Ap f p S y ,  Ap f p S z
p
各軌道の寄与を加えて：H hf  2  Ap  f   f p
K


H hf  H 0
H
H p    N 2 Ap S z I z  Ap S x I x  Ap S y I y ,
p

 cos  ,  sin  sin  , 2 cos  
２．偏極した2pスピンとの双極子相互作用

2 Ad S z
2
1  3 z j
1 
 3
2  r j5
r j 

2 Ap  f   f p




Sz

３．偏極した2sスピンとの双極子相互作用
z


H s    N As S x I x  S y I y  S z I z ,
s
s


s
S  2 fs S
K
K  Kd  K p  Ks 
s


g B
s
As 
8p
s
H hf  2 A s f s S x ,

3
g  B  2s 0 
Sy ,
Sz
2

2 As f s 
2 A
g B
s

f s  Ad  2 A p  f   f p
3 cos 2 
1

実験値よりf, f-fpを決める。
K2NaCrF6
(3d)3
d
fp  0
f s  f  0
d
KNiF3 どれも軌道縮退なし
(3d)8
KMnF3
(3d)5
fp  0
fp  0
fs  0
fs  0
f  0
f  0
H res
KMnF3
KNiF3
Mn2+: fS=0.5 %, f-fp=0.2 %
Ni2+: fS=0.54 %, f=3.8 %
H res
K2NaCrF6
Cr3+: fS=0.02 %, fp=4.9 %
Ⅳ-４ 超交換相互作用（superexchange interaction)
molecular orbital
１８０度結合
m
Wannier orbital
 
r  Ri 


1
N

e
 
ik  Ri

 k  r 
m
k

 k r  : Bloch 関数
m
縮退がない場合：
H 

 

b i c i  j , c j ,  U
i,j
Superexchange (反強磁性）: J 
 n i  n i 
n
4b
U
2
,
b
t
2
Ed  E p
Goodenough-Kanamori rule
９０度結合
異種スピン間の
相互作用
Hoppingがない。
運動交換が支配的 --- 反強磁性的。
Direct Exchange（Hund rule)のみ。
強磁性的。
交換相互作用の値は軌道状態に依存する。
軌道縮退がある場合：スピンと軌道自由度の結合
例：立方対称場中の Mn３＋ （３ｄ）４
Eg
スピン：S=1/2
軌道：２重に縮退した Eg 状態
T2g
擬（軌道）スピン: t=1/2
H 
 
 ~

 ~ 
S i  S j J s  t i  J st  t j    t i  J t t j  



ij
スピンと軌道と格子変形が結合した秩序状態
d
2
3 x r
2
,
d
2
3 y r
2
ab面内：軌道反強秩序、スピン強磁性
c軸方向：軌道強磁性、スピン反強磁性

LaMnO3
交替的Jahn-Teller効果
KCuF3
d
2
x z
2
,
c軸方向：反強磁性
ab面内：強磁性
d
2
y z
反強軌道秩序
2
良い１次元反強磁性体