Transcript 静水圧平衡（Hydrostatic equilibrium）

第3回
この講義の要点
• 大気の鉛直構造 （気圧・密度分布） を決定す
る支配法則の導出・理解
• その法則から導かれること
– 気圧の意味
– 高さとともに気圧はどう変化するか?
• 高い山の上では気圧が低いことはどう理解されるか?
• その発展として考えたいこと
– [おまけ] 惑星大気温度の測り方の一例
地球大気の鉛直構造
温度で区分
• 熱圏 ：90 km ~
• 中間圏：50~90 km
• 成層圏：10~50 km
• 対流圏：0~10 km
– 雲ができる層
（高度[km]）
90km
熱圏
中間圏
50km
成層圏
10km
0km
対流圏
200k
280K（温度[k]）
Andrews et al., 1987: Middle atmosphere
dynamics,
Academic Press, Fig. 1-1.
この回の講義のキーワード
• 静水圧平衡 （静力学平衡, hydrostatic
equilibrium）
– 大気 （地球のみならず惑星の大気） の大規模な
鉛直構造 （気圧・密度分布） を支配する法則
静水圧平衡の導出の準備
• 地面から宇宙まで延びる仮
想的な気柱を考える
– 円柱の底面積： A
• 下から n 番目の層の体積：
A dz
– 大気の密度（単位体積あたり
の質量）：  n 1 / 2
• 下から n 番目の層の質量：
 n 1 / 2 A dz
番目の層の空気に働く力
• 考える条件
– 風が吹いていない
• 大気が運動していない
– または惑星全体の平均を考える
• 全体の平均としてみれば止まっ
ているのと同じ.
• もし上向きの速度を持つならば，
空気は宇宙に向かって逃げてし
まう.
• もし下向きの速度を持つならば，
宇宙から空気が降り積もってく
る.
• 空気が止まっているならば，
空気に働いている力はつり
あっている（力の総和はゼロ）
番目の層の空気に働く力を
詳しく考える
• 空気に働く重力
– 質量×重力加速度
– 重力加速度： g
– 下向きに
 g A dz
• 上面に働く圧力:
– 力は 下向きに
• 下面に働く圧力:
– 力は上向きに
pn
pn A
p n 1
p n 1 A
• 3つの力のつりあい
前の考察をまとめると
• 上向きの力
p n 1 A
• 下向きの力
pn A
 g A dz
• これらを使うと,
p n 1 A  p n A   g A dz
結果を整理
• 最終的に
p n 1 A  p n A   g A dz
p n 1 A
より,
p n 1  p n   g dz
 g A dz
静水圧平衡
（静力学平衡）
pn A
結果について考察（１）
• 上空に行くと気圧は？
p n 1  p n   g dz
•
pn
と
p n 1
の大小関係
–  g dz  0 なので
p n 1  p n
結果について考察（１）
• 上空に行くと気圧は？
p n 1  p n   g dz
•
pn
と
p n 1
の大小関係
–  g dz  0 なので
p n 1  p n
• 上空にいくと気圧は下が
る
– 経験的に知っている通り
結果について考察（２）
• 気圧とは何か?
結果について考察（２）
• 気圧とは何か?
– 答え
• １ m２ の上に乗ってい
る空気の質量
結果について考察（２）
• 先に導出した式
p n 1  p n   n 1 / 2 g dz
結果について考察（２）
• 先に導出した式
p n 1  p n   n 1 / 2 g dz
• 最下層では
p 0  p1   1 / 2 g dz
結果について考察（２）
• 先に導出した式
p n 1  p n   n 1 / 2 g dz
• 最下層では
p 0  p1   1 / 2 g dz
• 2 番目の層では
p1  p 2   3 / 2 g dz
結果について考察（２）
• 先に導出した式
p n 1  p n   n 1 / 2 g dz
• 最下層では
p 0  p1   1 / 2 g dz
• 2 番目の層では
p1  p 2   3 / 2 g dz
• 3 番目の層では
p 2  p 3   5 / 2 g dz
• 繰り返していくと
p 0  p1   1 / 2 g dz
p1  p 2   3 / 2 g dz
p 2  p 3   5 / 2 g dz
p 3  p 4   7 / 2 g dz
p 4  p 5   9 / 2 g dz
‥‥‥
1 層目
2 層目
3 層目
4 層目
5 層目
• 繰り返していくと
p 0  p1   1 / 2 g dz
p1  p 2   3 / 2 g dz
p 2  p 3   5 / 2 g dz
p 3  p 4   7 / 2 g dz
p 4  p 5   9 / 2 g dz
‥‥‥
各層の重さ
1 層目
2 層目
3 層目
4 層目
5 層目
• 下から上まで足す
p 0  p1   1 / 2 g dz
p1  p 2   3 / 2 g dz
p 2  p 3   5 / 2 g dz
＋
‥‥‥
1 層目
2 層目
3 層目
• 下から上まで足す
p 0  p1   1 / 2 g dz
p1  p 2   3 / 2 g dz
p 2  p 3   5 / 2 g dz
＋
‥‥‥
1 層目
2 層目
3 層目
• 下から上まで足す
p 0  p1   1 / 2 g dz
p1  p 2   3 / 2 g dz
p 2  p 3   5 / 2 g dz
＋
‥‥‥
1 層目
2 層目
3 層目
• 下から上まで足す
p 0  p1   1 / 2 g dz
p1  p 2   3 / 2 g dz
p 2  p 3   5 / 2 g dz
＋
‥‥‥
1 層目
2 層目
3 層目
• 下から上まで足す
p 0  p1   1 / 2 g dz
p1  p 2   3 / 2 g dz
p 2  p 3   5 / 2 g dz
＋
1 層目
2 層目
3 層目
‥‥‥
p 0   1 / 2 g dz   3 / 2 g dz  ...
• 下から上まで足す
p 0  p1   1 / 2 g dz
p1  p 2   3 / 2 g dz
p 2  p 3   5 / 2 g dz
＋
1 層目
2 層目
3 層目
‥‥‥
p 0   1 / 2 g dz   3 / 2 g dz  ...
 (  1 / 2 dz   3 / 2 dz  ...) g
p 0  (  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...) g
1 m2 あたりの地面から「大気の端」までの空気の重さ
p 0  (  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...) g
1 m2 あたりの地面から「大気の端」までの空気の重さ
p0
g
  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...
1 m2 あたりの地面から「大気の端」までの空気の質量
結果のまとめ
p0
g
  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...
1 m2 あたりの地面から「大気の端」までの空気の質量
わかったこと:
（気圧）÷（重力加速度）
＝（地面から大気の端までの空気の質量）
計算問題：地球の空気の質量
• 先の結果を使って空気の質量を求めなさい
– 先の結果,
1 m2 あたりの空気の質量は
Ma 
p0
g
  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...
（気圧）÷（重力加速度）
＝（地面から大気の端までの空気の質量）
• 地球全球の質量は?
計算問題：地球の空気の質量
• 先の結果を使って空気の質量を求めなさい
• 地球全球の質量は?
• 必要な値は以下の 3 つ.
p0
– 地面気圧
– 重力加速度 g
– 地球の半径 a
地球の空気の質量
• 地球の地面気圧は
– ~1000 hPa = 100000 Pa
– h : ヘクト
• 100 のこと
– Pa : kg m s-2
地球の空気の質量
• 地球の地面気圧は
– p 0 ~1000 hPa = 100000 Pa
– h : ヘクト
• 100 のこと
– Pa : kg m s-2
• 重力加速度
– g ~9.8 ~10 m s-2
• 地球半径
– a ~6400 km
地球の空気の質量
• 先の結果を使って空気の質量を計算
p0
Ma 
  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...
g
（気圧）÷（重力加速度）＝（地面から大気の端までの空気の質量）
p 0  100000
[Pa = kg m s-2]
g  9 . 8  10
[m s-2]
地球の空気の質量
• 先の結果を使って空気の質量を計算
p0
Ma 
  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...
g
（気圧）÷（重力加速度）＝（地面から大気の端までの空気の質量）
p 0  100000
Ma 
p0
g

[Pa = kg m s-2]
100000
10
g  9 . 8  10
 10000
[kg]
[m s-2]
地球の空気の質量
• 先の結果を使って空気の質量を計算
p0
Ma 
  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...
g
（気圧）÷（重力加速度）＝（地面から大気の端までの空気の質量）
p 0  100000
Ma 
p0

[Pa = kg m s-2]
100000
g  9 . 8  10
 10000
[m s-2]
[kg]
g
10
1 m-2 あたり, 頭上には約 10 トンの空気がある.
地球の全球の空気の質量
• 先の結果
Ma 
p0
g

100000
 10000 [ kg ]
10
1 m-2 あたり, 頭上には約 10 トンの空気.
を使って地球全体の空気の質量を計算
地球の全球の空気の質量
• 先の結果
Ma 
p0

100000
g
 10000 [ kg ]
10
1 m-2 あたり, 頭上には約 10 トンの空気.
を使って地球全体の空気の質量を計算
Ma 
p0
 4 a  10000 [ kg ]  4    ( 6400 [ km ])
2
g
 5000000000 000000000
[ kg ]  5  10
18
[ kg ]
2
地球の空気の質量
• この大気の質量は固体地球の何％か?
大気の質量
Ma 
p0
g
 4 a  5  10
2
18
[ kg ]
地球の空気の質量
• この大気の質量は固体地球の何％か?
大気の質量
固体の質量
Ma 
p0
 4 a  5  10
2
g
M E  6 . 0  10
24
[ kg ]
18
[ kg ]
地球の空気の質量
• この大気の質量は固体地球の何％か?
Ma 
大気の質量
p0
  a  1 . 3  10
2
[ kg ]
g
M E  6 . 0  10
固体の質量
18
24
[ kg ]
なので,
Ma
ME

5  10
18
6 . 0  10
24
 10
6
 0 . 0001 %
惑星大気の空気の質量
• 先の結果を使って惑星の大気の質量を計算
してみる
惑星
金星
地面気圧
(Pa)
9.2x106
重力加速 惑星半 大気質量
度(ms-1) 径(km) (kg)
8.90
6052
4.8x1020
地球
1.0x105
9.78
6378
5.2x1018
火星
6x102
3.72
3397
2.3x1016
まとめ
• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目して
– 静水圧平衡 （hydrostatic equilibrium）
• 上記の構造を説明する物理法則によって以
下のことを説明
– 山に登ると気圧が下がる
– 気圧は, それよりも上空にある大気の質量と等価
話していないこと
• 上空にいくと気圧はどのくらい下がるのか？
– 理想気体の状態方程式と静水圧平衡を組み合
わせると結果を微分方程式として書くことができ
る．
– その解を用いることで上記の質問に答える事が
できる．
おまけ (1)
微分方程式を用いて計算すると
• 結果は次のようになる
p ( 0 ) 地面気圧
p ( z )  p (0) e

z
H
H 
mg
スケールハイト
（ただし, 温度一定を仮定）
m
大気分子/原子質量
k
ボルツマン定数
kT
気圧は高さに対して指数関数的に変化.
気圧高度計はこの原理を使っているのだろう.
気圧高度計
おまけ (1)
微分方程式を用いて計算すると
高さ (km)
• 地球の場合, 気圧は高さに対して図のように
減少する
気圧 (hPa)
おまけ (1)
微分方程式を用いて計算すると
高さ (km)
• 地球の場合, 気圧は高さに対して図のように
減少する
気圧 (hPa)
例えば, 富士山頂 (z=3776 m) では, p ～ 650 hPa. 地面気圧の 65%.
エベレスト山頂 (z=8848 m) では, p ～ 370 hPa. 地面気圧の 37%.
国際線旅客機が飛ぶ高度 (z～10 km) では, p ～ 320 hPa. 地面気圧の 32%.
おまけ (2)
密度観測に基づく温度測定
• 先の微分方程式を用いた気圧の式
p ( z )  p (0) e

z
H
を気体の状態方程式を用いて変形すると,
 (z) 
T (0)
 (0) e

z
H
T (z)
密度も, 気圧と同じように, 高さに対して指数関数的に変化.
おまけ (2)
密度観測に基づく温度測定
• 先の密度の式を変形すると,
 (z) 
T (0)
 (0) e

z
H
T (z)
より
T (z) 
 (0)
 (z)

T (0) e
z
H
• ポイントは, 密度から温度を求めることができること.
• この原理を使って惑星の温度を観測することができ
る. （実際の計算には違う式が使われます.）
おまけ (2)
密度観測に基づく温度測定
• 惑星の大気の温度を測るには,
– 惑星の大気の密度を測る
– 静水圧平衡と状態方程式の原理を使って温度を
計算
おまけ (2)
密度観測に基づく温度測定
• 惑星の大気の密度をどのように測るのか?
• 一つの方法は, 惑星に着陸する探査機 （着
陸機, lander） が大気を横切るときに観測.
Mars Pathfinder (Mars Pathfinder のサイト
http://mars.jpl.nasa.gov/MPF/index0.html
より引用)
おまけ (2)
密度観測に基づく温度測定
Mars Pathfinder のサイト http://mars.jpl.nasa.gov/MPF/mpf/edl/edl1.html より引用.
おまけ (2)
密度観測に基づく温度測定
摩擦力
重力
Mars Pathfinder のサイト http://mars.jpl.nasa.gov/MPF/mpf/edl/edl1.html より引用.
おまけ (2)
密度観測に基づく温度測定
着陸機 (lander) に働く
摩擦力は大気が濃いほ
ど（密度が高いほど）大
きい.
着陸機の減速の大きさ
から密度を観測.
摩擦力
重力
Mars Pathfinder のサイト http://mars.jpl.nasa.gov/MPF/mpf/edl/edl1.html より引用.
おまけ (2)
密度観測に基づく温度測定
• 惑星の大気の温度を測るには,
– 惑星の大気の密度を測る
– 静水圧平衡と状態方程式の原理を使って温度を
計算
おまけ (2)
密度観測に基づく温度測定
• そのようにして求めた密度と温度.
(Schofield et al. (1997) より引用)
まとめ
• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目して
– 静水圧平衡 （hydrostatic equilibrium）
• 上記の構造を説明する物理法則によって以下のこ
とを説明
– 山に登ると気圧が下がる
• 気圧, 密度は高さに対して指数関数的に減少.
– 国際線の飛行機が飛ぶ高度では, 気圧は地面気圧の 30% 程度.
– 気圧は, それよりも上空にある大気の質量と等価
• 静水圧平衡と気体の性質 （状態方程式） を組み合
わせた原理を用いて惑星の温度を測ることができ
る.
まとめ
• いくつかの日常経験を論理的に組み合わせて，もの
の理を説明する
• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目して
– 静水圧平衡（Hydrostatic Balance）
• 上記の構造を説明する物理法則は，下記と等価
– 山に登ると気圧が下がる
– 気圧, 密度は高さに対して指数関数的に減少.
• 国際線の飛行機が飛ぶ高度では, 気圧は地面気圧の 30% 程
度.
• 静水圧平衡と気体の性質 （状態方程式） を組み合
わせた原理を用いて惑星の温度を測ることができ
る.
• 金星, 木星など載せられる?
おまけ (1)
微分方程式を用いて計算すると
• 状態方程式の直感的な説明
地球の空気の質量
• 先の結果を使って空気の質量を計算する
p0
Ma 
  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...
g
（気圧）÷（重力加速度）
＝（地面から大気の端までの空気の質量）
計算問題：地球の空気の質量
• 先の結果を使って空気の質量を求めなさい
p0
Ma 
  1 / 2 dz   11 / 2 dz  ...
g
（気圧）÷（重力加速度）
＝（地面から大気の端までの空気の質量）
p0
（地面の気圧） と
g
（重力加速度）の値が必要.
まとめ
• いくつかの日常経験を論理的に組み合わせて，もの
の理を説明する
• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目して
– 静水圧平衡（Hydrostatic Balance）
• 上記の構造を説明する物理法則は，下記と等価
–
–
–
–
山に登ると気圧はどのように変化するか？
気圧は下がる
アルキメデスの原理
海や風呂にはいると体が軽くなった感じがする．浮く．
結果について考察（３）
• 静水圧平衡
p n 1  p n   n 1 / 2 g dz
• これを用いて, 温度と
密度の関係を導出
結果について考察（３）
• 静水圧平衡
p n 1  p n   n 1 / 2 g dz
• これを用いて, 温度と
密度の関係を導出
結果について考察（３）
• 静水圧平衡
p n 1  p n   n 1 / 2 g dz
• 気体の状態方程式
– 高校化学によると,
p   RT
R
気体定数
T
温度
– という関係式が成り立つ.
• 静水圧平衡と状態方程式を使って式を変形.
 n 1Tn 1   n Tn   n 1 / 2 g dz
地上の気圧
• 繰り返していくと
1層目の重さ
2層目の重さ
3層目の重さ
＋
地上より上にある空気の重さ
全部足すと・・・うまい具合に
地上の気圧
• 繰り返していくと
p 0  p1   1 / 2 g dz 1層目の重さ
p1  p 2   11 / 2 g dz 2層目の重さ
p 2  p 3   2 1 / 2 g dz 3層目の重さ
＋
地上より上にある空気の重さ
全部足すと・・・うまい具合に
1平方メートルあたりどのくらいの空気
が乗っかっているか？
• さっきの結果
• 空気の質量
• p(0)~1,000 [h Pa]
•
Pa とは
kg m /s2 のこと
•
hとは
100のこと
• g ~ 10 [m/s2]
• p(0)/g ＝
1,000×100/10=10,000 [kg]
• 1平方メートルあたり10トン
2.4 もっとネチネチと吟味（３）
浮力
• 水の中に物を沈める
– 出来るだけ軽い物がいい
• 上向きの力が働く
• 何故でしょう？
• 静力学平衡を使うと説明できる
• 静水圧平衡の式（水の場合もOK）
• 移項して
下面に働く圧力
上面に働く圧力
上向きの力
浮力
重力
下向きの力
今日のキーワード
• 静水圧平衡（Hydrostatic
equilibrium）
–地球大気・海洋，他惑星（金星，火
星など）の大気の鉛直構造を支配
している法則
この講義で何がわかるのか？
• 大気の鉛直構造を支配している法則を導出
• 物理法則には一般性があります
– その物理法則からいろいろなことが導かれる
• 気圧の意味
• 山に登ると気圧はどのように変化するか？
• 海や風呂にはいると体が軽くなった感じがする・・・浮
力
• ペットボトルを使った手品ができる！
2．静水圧平衡の導出
• 地面から宇宙まで延びる
非常に背の高い仮想的
な気柱を考える
– 円柱の底面積：
• 下から n 番目の層の体積：
– 大気の密度（単位体積あ
たりの質量）：
• 下から n 番目の層の質量：
番目の層の空気に働く力を考え
る
• 空気はどのような速度で運
動しているか？
– 地球上のあらゆるところで
平均すると０であろう
• もし，上向きの速度を持つなら
ば，空気は宇宙空間に向かっ
て逃げてしまう
• 逆に，下向きの速度を持つな
らば，宇宙から空気が降り積
もってくる
• 空気が止まっているときに
は，空気に働いている力は
バランスしている（力の総
番目の層の空気に働く力を詳
しく考える
1. 上面に働く圧力:
☆ 力は 下向きに
2. 下面に働く圧力:
☆ 力は上向きに
3. 空気に働く重力
☆ 質量×重力加速度
☆ 重力加速度：
単位質量の物体を地球が引っ張る力の大きさ
☆ 下向きに
•
3つの力がバランスしてい
る
（力）＝（圧力）×（面積）
前の考察をまとめると
• 上向きの力
• 下向きの力
• 最終的に
• 静水圧平衡
結果を整理する
• さっきの結果
• ちょっと複雑．．．Aが邪魔
2.2 結果をネチネチと吟味（１）
• 上空に行くと気圧は？
•
•
と
の大小関係は？
（質量なので）
• つまり上空にいくと気圧は
下がっていく
2.3 他に何がわかるか？
まだまだネチネチと吟味（２）
• １m２の上に乗っている空気
の質量は？
• さっきの式
• 面積
なので
• 最下層では
• 2番目の層では
地上の気圧
• この議論を続けていくと
1層目の重さ
2層目の重さ
3層目の重さ
＋
地上より上にある空気の重さ
全部足すと・・・うまい具合に
地上気圧とはその上に乗っかっている空気の重さのことであ
1平方メートルあたりどのくらいの
空気が乗っかっているか？
• さっきの結果
• 空気の質量
p(0)~1,000 [h Pa]
Pa とは kg m /s2 のこと
hとは100のこと
g ~ 10 [m/s2]
p(0)/g ＝1,000×100/10=10,000 [kg]
1平方メートルあたり10トン
2.4 もっとネチネチと吟味（３）
浮力
• 水の中に物を沈める
– 出来るだけ軽い物がい
い
• 上向きの力が働く
• 何故でしょう？
• 静力学平衡を使うと説
明できる
• 静水圧平衡の式（水の場合
もOK）
下面に働く圧力
• 移項して 上面に働く圧力 重力
上向きの力
浮力
下向きの力
まとめ
• いくつかの日常経験を論理的に組み合わせ
て，ものの理を説明する
• 大気の鉛直構造・・・特に気圧に注目して
☆静水圧平衡（Hydrostatic Balance）
• 上記の構造を説明する物理法則は，下記と
等価
– 山に登ると気圧はどのように変化するか？
• 気圧は下がる
– アルキメデスの原理
話していないこと
• 上空にいくと気圧は下がると言ったがどのくら
い下がるのか？
– 理想気体の状態方程式と静水圧平衡を組み合
わせると
– 結果は微分方程式として書ける．
– その解として上記の質問に答える事ができる．