Transcript 最小コア
第Ⅱ部 協力ゲームの理論
第11章 仁(nucleolus)
nucleolus
細胞核の中にある小球体
のこと、核の中心
2008/07/02(水)
ゲーム理論合宿
M1 浦田淳司
内容
第10章 コア
第11章 仁
• 最小コア
– εコア
– 最小コア
• 辞書式中心
• 仁
– 定義
– 性質
1
考え方
コア: いかなる提携によっても、拒否されない配分の集合
コアが空の場合は?
話し合いにより、何らかの配分で交渉が成立することも
前提
・全てのプレイヤーが協力関係に合意
・ゲームは合理的 v(N)=∑v(i)
最小コア
仁
2
要求(超過:excess)
利得ベクトルxに対して提携Sの要求
要求 e ( x ; S ) v ( S ) x i
S N , (S , N )
i S
Sの要求が正:Sはxに対して、不満
負:Sはxに対して、剰余
要求が大きいほど、不満が大きい
3
εコア
コアは
C x ; x A *, e ( x ; S ) 0 , S N
と表現できる
コアが空の場合は?
要求eがε以下であれば、納得する
⇒コアの条件緩和、εコア
C ( ) x ; x A *, e ( x ; S ) , S N
コアが空でない時:ε≦0のεコアを作成
⇒コア(交渉)の範囲を狭くする
4
εコア(事例① )
プレイヤー:{1、2、3}
二者の提携値に比べて、
三者の提携値は高くない
v ( ) v (1) v ( 2 ) v ( 3 ) 0
v (12 ) 80 , v (13 ) 90 , v ( 23 ) 100
v (123 ) 120
・三者の合意形成コスト
・利得の最大値が存在 etc
A (120,0,0)
x1 x 3 90
x1 x 2 80
プレイヤー設定
1:来島風景づくり委員会
2:今治市
3:今治造船
コアは空
x 2 x 3 100
B
C
5
εコア(事例①)
A’ (160,-20,-20)
配分a=(40,40,40)を含むコアを考える
e ( a ;1) 0 40
A
x1 x 3 70
e ( a ; 2 ) 0 40
x1 x 2 60
e ( a ;3 ) 0 40
e ( a ;12 ) 80 ( a 1 a 2 ) 0
x 2 x 3 80
e ( a ;13 ) 90 ( a 1 a 3 ) 10
e ( a ; 23 ) 100 ( a 2 a 3 ) 20
最大要求e=20をεとする
・ e
B
B’
εコアの制約条件
C
C’
e ( x; S ) v ( S ) xi
iS
v (1) x1 x1 20
x1 x 2 v (12 ) 60 ....
6
最小コア
最小コア:空でないεコアの中で、εが最小のもの
先の例では、C(ε=10)={a=(30,40,50)} が最小コア
求め方 e ( x ; S ) v ( S ) x i
を線形計画法で解く
iS
最小コアC(ε*)とすると、
* min[ ( x ), x A*] min max[ e ( x ; S ) : S N ]
x A
最小化
最大不満
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最小コア・辞書式中心(事例②)
プレイヤー:{1、2、3}
2,3の提携で大きな提携値
三者提携でも特に大きな提携値
v ( ) v (1) v ( 2 ) v ( 3 ) 0
v (12 ) 30 , v (13 ) 40 , v ( 23 ) 80
v (123 ) 120
x1 x 3 v (13 )
x1 x 2 v (12 )
コア
B
プレイヤー設定
1:観潮船
2:今治造船
3:旧八木邸持ち主(藤高さん)
A
x 2 x 3 v ( 23 )
C
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辞書式中心・最小コア(事例②)
v (1) x1
x1
v(2) x2
x2
x1 , x1 40
v (3) x3
x3
x 2 , x 2 80
v (12 ) ( x1 x 2 )
30 ( x1 x 2 )
x 3 , x 3 90
v (13 ) ( x1 x 3 )
40 ( x1 x 3 )
v ( 23 ) ( x 2 x 3 )
80 ( x 2 x 3 )
x1 x 2 x 3 v (123 )
x1 x 2 x 3 120
x1 x 3 v (13 )
A
最小コア * 20
x1 x 2 v (12 )
x1 x 3 v (13 )
x1 x 2 v (12 )
x 2 x 3 v ( 23 )
x 2 x 3 v ( 23 )
B
最小コア
C
9
辞書式中心・最小コア(事例②)
最小コア C ( 20 ) {( 20 , x 2 , x 3 ), ただし
1
x 2 x 3 100 , x 2 30 , x 3 40 }
x 1 20 で固定して、プレイヤー2,3で最小コアを求める(最小コアの縮小)
x2 , x3
x2
v (12 ) ( 20 x 2 )
x 2 100
v (13 ) ( 20 x 3 )
10 x 2
x 2 x 3 100
x 2 80
* * 35
辞書的中心c=(20,45,55)
辞書式中心の求め方
最小コアが一点
最小コアが一点でない
一定の利得を得ている
プレイヤーの利得固定
最小コアが一点
・・・・
10
仁の定義
要求ベクトル:提携Sの配分xに対する
要求e(x;S)を大きい順に並べたベクトル
a=(20,60,40)については
e ( a ;1) 0 a 1 20
( a ; 2,
)
, 60
( a ) ( e20
200 ,a20
40 , 50 , 60 )
2
c=(20,45,55)については
e ( a ;3 ) 0 a 3 40
a ;12
30
( a,135
a 2 ),
45
50, 55 )
( c ) ( e (20
, ) 20
, 35
e ( a ;13 ) 40 ( a 1 a 3 ) 20
⇒cはaよりも受容的である
e ( a ; 23 ) 80 ( a 2 a 3 ) 20
(⇔cはaより辞書的順序で小さい)
仁:いかなる配分よりも受容的である配分の集合
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仁の性質
仁:いかなる配分よりも受容的である配分の集合
準仁:いかなる準配分よりも受容的である準配分の集合
ゲームが合理的⇒仁(準仁)はただひとつの配分からなる集合
ゼロ単調ゲームでは準仁と仁は一致
準仁は辞書式中心に一致
仁の求め方は
辞書式中心と同じ
Q.辞書式中心と仁の違いは??
仁は
辞書的中心は点、仁は集合(要素)を指す
交渉集合・カーネルの発展として、任意の提携構造に関して定義された概念
→詳しくは第14章で?
12
第11章 仁
了
第12章 τ値 へ
13
おまけ:
14