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演習問題1の解説
電源電圧 E, 内部インピーダンスが Z0 の電源に、伝搬定数が g , 特性インピーダンスが
Z0, 長さ が l の線路が接続されている。これに等価な電圧源 を求めよ。さらに、線路が無
損失なら、それはどのように表わせるか? ただし、sinh(iθ) = i sinθ, cosh(iθ) = cosθ である。
l
Z0
Z0
E
g , Z0
E
Zeq
等価電圧源
A

C
Eeq
 cosh g l
B 
   1
sinh g l
D 
 Z0
A
B
C
D
Z 0 sinh g l 

cosh g l 

前回の演習問題の
DZ 0  B
Z cosh g l  Z 0 sinh g l
Z (cosh g l  sinh g l )
Z eq 
 0
 0
 Z0
結果から、
Z
CZ 0  A
sinh g l  cosh g l
0
sinh g l  cosh g l
Z0
E eq 
E
A  CZ 0
E

cosh g l 
Z0

sinh g l
E
cosh g l  sinh g l
Z0
線路が無損失なら α = 0
なので、γ = jβ となり、
E eq 
E
cosh j  l  sinh j  l

E
cos  l  j sin  l
 (cos  l  j sin  l ) E
演習問題2の解説
全長400kmの線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端から見たインピー
ダンスの値が j250Ω、また受電端を開放した場合、送電端から見たアドミタンスの
値が j1.5×10-3 Ʊであった。この線路の伝搬定数 γ 、特性インピーダンス Z0、およ
び1km当たりのリアクタンス X、サセプタンス B を求めよ。
400km
Il
V0 = 0
ZS = j250 Ω
Vl
g
短絡
Z0
l = 400km
I0 = 0
g
Yo = j1.5×10-3 Ʊ
 cosh g l
V l  
    1 sinh g l
 Il 
Z0
Z 0 sinh g l 
V
 0 
cosh g l   I 
 0

V0 = 0 のとき
開放
Z0
Zs 
I0 = 0 のとき Y o 
Vl
Il
 Z 0 tanh g l  j 250 
V0  0
Il
Vl

I0 0
1
Z0
tanh g l  j1 . 5  10
3

1
演習問題2の解説
従って、
Z0 
また、
Z s Yo  408 
tanh g l  tanh(   j  ) l  j 0 . 375
tanh( j  l )  j tan  l  j 0 . 375
Z s Y o   tanh g l    0 . 375
2
従って純虚数となるためには、α = 0でなければならず、

 
1
tan
1
よって、 γ ≈ j1.37×10-6 m-1
0 . 375
l
α = 0ということは、R = G = 0、つまり、無損失線路である
従って、
Z0 
g 
R  jX
G  jB

X
 408 
B
( R  jX )( G  jB ) 
より、
 XB  j
XB  j1 . 37  10
6
m
1
上式を解いてやれば、X= 0.56 Ω/km、 B= 3.4×10-6 Ʊ/km が求まる
複合線路
2種類の線路の縦続接続
I0
I1(x)
Z01 g1
V1(x)
I2(x)
V0
+x
V2(x)
Z02 g2
x=0
各々の線路上の電圧、電流

I1
接続点(x = 0)での
電圧、電流

V1 ( x )  V1 e

1
I1 ( x )  I e

2
g1 x
g1 x
I 2 (x)  I e
g2 x


1
I e

2
g1 x
g 1 x
I e
,


V1

e
g1 x

Z 01
g 2 x
V2
Z 02
V1
g2 x

e



 V2 e
g 1 x
および

I2
I2
V

2
V

2
g 2 x
e
g2 x


V2
Z 02
e
電圧波および電
流波の進行方向
ただし、 V1   V1   V 2  V 2  V 0

1
I I
,
g 2 x
電圧および電流
フェーザの方向
Z02 g2
Z 01


V1
V2 ( x)  V2 e


I1
V1
Z01 g1
 V1 e
ZL

1

V1


Z 01
V1
Z 01

(9.1)式
(9.2)式

2
 I I

2


V2
Z 02


V2
Z 02
 I0
複合線路
負荷インピーダンス ZLが第二の線路の特性インピーダンス Z02に等しいか、
或いは第二の線路が無限に長いとき、第二の線路上に反射波はない。
I

1
Z01 g1
I
V1
V1

1

I0
I2

Z02 g2

V0 V 2

Z02
即ち、

V2  0
x=0



従って、 V1  V1  V 2  V 0 ,


I1  I1 
V1

V1

Z 01


Z 01

I2  0

 I2 
V2
Z 02
 I0
両式より V 2 , I 2 を消去すると、
V1
V1



Z 02  Z 01
Z 02  Z 01

 Γ
電圧反射係数
I1
I


1
V1



両式より V1 , I 1 を消去すると、

V2
V1


2 Z 02
Z 02  Z 01
電圧透過係数


 Γ

I2
I

1


V1 / Z 01

I 1   V1 / Z 0 )

V 2 / Z 02
電流反射係数

( I 1  V1 / Z 0 ,

 1 Γ
V1

2 Z 01
Z 02  Z 01
 1 Γ
電流透過係数
複合線路
接続点における電圧 V0および電流 I0によって、各線路上の電圧および電流を表せば、


V2  V0 ,

V2  0,

V1  V 0 /( 1  Γ ),

I 1  I 0 /( 1  Γ ),
I2  I0,

より、
I2  0

V1  ΓV 0 /( 1  Γ )

I 1   ΓI 0 /( 1  Γ )
上式を(9.1)式、(9.2)式に代入して、
V1 ( x )  V 0
e
V2 ( x )  V0e
g1 x
 Γe
1 Γ
g2 x
,
g1 x
,
I1 ( x )  I 0
I 2 ( x)  I 0e
e
g1 x
 Γe
g1 x
1 Γ
g2 x
入射波電流
入射波電圧
反射波電流
反射波電圧
一様な線路上の任意の点には入射波と反射波が存在するかも知れないが、一様な
線路の途中で新たな反射波が生じることはなく、その点での反射波は、線路の不連
続点(受電端とか接続点とか)において発生した反射波が、その点を通って送電端の
方へ戻っていく途中のものである。
3種類の線路の縦続接続
x=0
x=-l
l
Z01 g1
G23
Z02 g2
Z03 g3
Z03
無反射
Zi
各線路上の電圧 Vn(x) (n = 1, 2, 3)および電流 In(x) (n = 1, 2, 3)は、

Vn ( x)  Vn e
gn x

 Vn e
g n x

Z 0n I n ( x)  Vn e
,
gn x

 Vn e
g n x
負荷を第 3の線路の特性インピーダンス Z03に等しいとすると、
第2と第3の線路の接続点(x = −l)における反射係数 G23は、

Γ 23 
V2 (l )

V2 (l )

V2 e


V2 e
g 2l
g 2l


V2

e
2g 2l
或いは、
Γ 23 
V2
Z 03  Z 02
Z 03  Z 02
従って、第1と第2の線路の接続点(x = 0)より右を見たインピーダンス Ziは、

Zi 
V2 (0)
I 2 (0)
 Z 02



2

2
V2  V2
V
V
1
V2

V2
 Z 02
1
V
V

2

2
 Z 02
1  Γ 23 e
 2g 2 l
1  Γ 23 e
 2g 2 l
3種の線路の縦続接続
従って、x = 0の点において、第1の線路から負荷方向を見た反射係数 G は、
Γ 
Z i  Z 01
Z i  Z 01
Z 02

Z 02
1  Γ 23 e
2g 2 l
1  Γ 23 e
 2g 2 l
1  Γ 23 e
 2g 2 l
1  Γ 23 e
 2g 2 l
 Z 01

 Z 01
Z 02 (1  Γ 23 e
 2g 2 l
)  Z 01 (1  Γ 23 e
 2g 2 l
Z 02 (1  Γ 23 e
 2g 2 l
)  Z 01 (1  Γ 23 e
 2g 2 l
Z 02  Z 01

( Z 02  Z 01 )  ( Z 02  Z 01 ) Γ 23 e
 2g 2 l
( Z 02  Z 01 )  ( Z 02  Z 01 ) Γ 23 e
 2g 2 l
ただし、 Γ 12 
Z 02  Z 01
Z 02  Z 01

Z 02  Z 01
1
 Γ 23 e
Z 02  Z 01
Z 02  Z 01
)
)
 2g 2 l

Γ 23 e
 2g 2 l
Γ 12  Γ 23 e
 2g 2 l
1  Γ 12 Γ 23 e
 2g 2 l
と置いた
さらに変形すると、
G  Γ 12  (1  Γ 12 )
Γ 23 e
2 g 2 l
1  Γ 12 Γ 23 e
 2g 2 l
(1  Γ 12 )
さらに、右辺第2項中の真中の因数を無限級数に展開して、
G  Γ 12  (1  Γ 12 ){ e
g 2 l
Γ 23 e
g 2 l
e
g 2 l
Γ 23 e
g 2 l
(  Γ 12 ) e
g 2 l
Γ 23 e
g 2 l
  }( 1  Γ 12 )
3種の線路の縦続接続
Γ  Γ 12  (1  Γ 12 ){ e
ただし、 Γ 12 
g 2 l
Γ 23 e
Z 02  Z 01
Z 02  Z 01
g 2 l
e
g 2 l
Γ 23 
Γ 23 e
g 2 l
(  Γ 12 ) e
g 2 l
Γ 23 e
g 2 l
  }( 1  Γ 12 )
Z 03  Z 02
Z 03  Z 02
l
Z01 g1
送電端より
1次反射
2次反射
3次反射
Z02 g2
x=0
1
 Γ 12
 (1  Γ 12 )
 (1  Γ 12 )
 (1  Γ 12 )
 (  Γ 12 )
 (  Γ 12 )
G23
Z03 g3
Z03
x=-l
e
g 2 l
e
g 2 l
e
g 2 l
e
g 2 l
e
g 2 l
受電端へ
 Γ 23
 Γ 23
 Γ 23
 (1  Γ 23 )
 (1  Γ 23 )
 (1  Γ 23 )
1次伝達波
2次伝達波
3次伝達波
複合線路と縦続行列
l1
l2
Z01, g1
A

C
B   A1
  
D   C1
B1   A 2
 
D1   C 2
Z02, g2
 cosh g 1 l1
B2  
   1
sinh g 1 l1
D2  
Z
 01
A1
B1
A2
B2
C1
D1
C2
D2
Z 01 sinh g 1 l1   cosh g 2 l 2

1
cosh g 1 l1  
sinh g 2 l 2
Z
  02
Z 02 sinh g 2 l 2 

cosh g 2 l 2 

線路を通して見た負荷のインピーダンス
受電端にインピーダンス ZL の負荷或いは特性インピーダンス ZL の半無限長線路を
接続した線路の、受電端からの距離 x の点から負荷側を見たインピーダンス Zin は、
Ix
I0
Zin
g
Z0
Vx
x
ZL
V0
或いは、特性インピーダ
ンス ZLの半無限長線路
x =0
 cosh g x
Vx  
    1
sinh g x
 Ix   Z
 0
Z 0 sinh g x 
 V 0 
 
cosh g x   I 
 0

V0 = ZLI0
従って、
Z in 
Vx
Ix

V0  Z L I 0
Z L cosh g x  Z 0 sinh g x
ZL
sinh g x  cosh g x
 Z0
Z L  Z 0 tanh g x
Z L tanh g x  Z 0
Z0
伝送線路が無損失線路(α = 0, γ = jβ)の場合は tanh j   j tan  より、
Z in  Z 0
Z L  jZ 0 tan  x
jZ L tan  x  Z 0
1/4波長インピーダンス整合
例 9.1.1 特性インピーダンスが Z01および Z02の線路の間に、特性インピーダンス Z0,
伝搬定数 g0 = j, 長さ l の無損失線路を挿入する場合について考える。
l
Z0, 0
Z01, g1
Z02, g2
Z1
Z2
特性インピーダンスが Z01および Z02の両端線路が半無限長であるとすると、
Z01の線路との接続点から右方を見たインピーダンスを Z1
Z02の線路との接続点から左方を見たインピーダンスを Z2
Z 02  jZ 0 tan  0 l
Z1  Z 0
jZ 02 tan  0 l  Z 0
Z2  Z0
Z 01  jZ 0 tan  0 l
2
Z1 
Z 02
となる。
jZ 01 tan  0 l  Z 0
ここで、l = l/4であるように長さを定めれば、  l 
Z0
とすると、
2 l
l 4


2
であるから、
2
Z2 
Z0
Z 01
となり、 Z 02  Z 01 Z 02 のとき、 Z 1  Z 01
Z 2  Z 02 となる。
これを、1/4波長インピーダンス整合または1/4波長インピーダンス変成器と呼ぶ。
無損失線路の伝送式
線路上の点 x (受電端をx = 0)における電圧、電流
Ix
I0
V x  V 0 cosh g x  Z 0 I 0 sinh g x
g
Z0
V0
Vx
x
V0
Ix 
Z0
sinh g x  I 0 cosh g x
p.170 式(8.25)
x=0
R = G = 0の線路、即ち無損失線路では  = 0より、g = jとなり、線路上の点 x に
おける電圧、電流は以下の式で与えられる。ただし、V0, I0は受電端の電圧、電流
V x  V 0 cos  x  jZ 0 I 0 sin  x
cosh j   cos 
I x  j (V 0 / Z 0 ) sin  x  I 0 cos  x
sinh j   j sin 
の公式を使用した
入射波と反射波成分で表せば、



V x  V x  V x  V0 e



I x  I x  I x  I0 e
j x
j x

 V0 e

 I0 e
 j x
 j x

1
2

1
2Z0
(V 0  Z 0 I 0 ) e
j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e

1
2
j x

(V 0  Z 0 I 0 ) e
1
2Z 0
 j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
 j x
p.169 式(8.23)参照
無損失線路の伝送式



V x  V x  V x  V0 e

j x


 V0 e
 j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
2
j x

Z 0I x  Z 0 (I x  I x )  Z 0 (I0 e
1


 I0 e
 j x
)
1
2
j x

1
2
(V 0  Z 0 I 0 ) e
(V 0  Z 0 I 0 ) e
j x

1
2
 j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
 j x
位置 x での電圧反射係数 (前々回スライド p.9参照)
Γx 
位置 x での反射波
位置 x での入射波



Vx


Vx
V0 e
 j x

V0 e


j x
V0

e
 j2 x
V0
 Γ 0e
 j2 x

受電端での電圧反射係数
Γ0 

受電端 ( x  0 )での反射波

受電端 ( x  0 )での入射波
V0


V0
V0  Z 0 I 0
V0  Z 0 I 0
Vx , Z0 Ix を、受電端での電圧反射係数 Γ0 を用いて表せば、






V x  V x  V x  V x  Γ xV x  V x (1  Γ x )  V x (1  Γ 0 e

 V0 e
j x

 V0 e

 j x

 V0 e


Z 0I x  Z 0 (I x  I x )  Z 0 (I0 e


j x
j x
 V x (1  Γ x )  V x (1  Γ 0 e

 Γ 0V 0 e

 I0 e
 j2 x
 j x
 j x

 V0 e

j x
 j2 x
)
(1  Γ 0 e

)  Vx  Vx

)  V0 e
j x
(1  Γ 0 e
 j2 x
)
 j2 x
)
Vx  Z 0 I x
Vx  Z 0I x
( 8 . 48 )式
線路上の電圧、電流の円線図
j
受電端の反射係数G0を極形式で表すと、 Γ 0  Γ 0 e

 j ( 2  x  )

 j ( 2  x  )
V x  V x (1  Γ 0 e
Z 0 I x  V x (1  Γ 0 e

Vx と Z0Ix とを、V x
Γ 0 は 絶対値、　 は 偏角
Γ0  1
)
)
を基準フェーザにとって作図すると、下図のようになる。

 Vx Γ 0 e
Z0 I x
 j ( 2  x  )

0
Vx
2 x  

Vx
Vx Γ 0 e
 j ( 2  x  )
VxがZ0Ixに対して位相が進んでいる場合: 誘導性、遅れている場合: 容量性
線路上の電圧、電流の円線図
x の場所を動かしていくと、下図のように Vx と Z0Ix とが同相になることがある。
この時、点 x から受電端を見たインピーダンスは純抵抗 R になる。
0
( Z 0 I min )

Z0 I x
Vx
0
(Vmin )
Vx

Vx
Vx
(Vmax )
Zx 
Vx
Ix

V max
I min
Z0 I x
( Z 0 I max )
 R max
Zx 
Vx

V min
Ix
I max
 R min
この時、 Vx と Z0Ix は、最大値(Vmax, Z0Imax)或いは最小値(Vmin, Z0Imin)をとる
V max  Z 0 I max
V min  Z 0 I min
より、
R max  Z 0
V max
R min  Z 0
,
V min
R max R min 
V max
I min

V min
I max

Z 0 I max
I min
V min
 ( 9 . 31 )
V max

Z 0 I min
I max
 Z0
2
線路上の電圧、電流の円線図
2つの観測点 x1 と x2 における電圧と電流の関係がちょうど下図のようになった時、
x = x2
x = x1
Vx1
Z0 I x2


Vx2
0
V x1
0


Vx 2
Z 0 I x1
Z0Imax
Vmax
Vmax
Z0Ix
2点間の距離は、
Vx
Z0Imin
Vmin
Z0Imin
x 2  x1 
ZL
Z0
x2
l/4
x1
x=0

2

 l
2 2

l
4
∵ 線路上の電圧、
電流は、位置 x に
対して e−j2βx であり、
β=2π/λ である
線路上の電圧、電流の円線図
先の円線図の関係より、
V x1

Z 0 I x2
Z 0 I x1
或いは、
Vx2
Z x1
Z0

Z0
Z x2

Z0
Z ( x1 l / 4 )
従って、l/4だけ離れた各々の点から受電端の方を見た2つのインピーダンスは、
互いに逆回路の関係にある
さらに、
Γ x1 
Z x1  Z 0
Z x1  Z 0

Z x1 / Z 0  1
Z x1 / Z 0  1

Z 0 / Z ( x1 l / 4 )  1
Z 0 / Z ( x1 l / 4 )  1

Z 0  Z ( x 1 l / 4 )
Z 0  Z ( x1 l / 4 )
  Γ ( x1 l / 4 )
より、 l/4だけ離れた2点における反射係数の符号は反対になる
大きさについては、無損失線路の場合、線路上至るところで Γ x 1  Γ x 2
Γ0  0
0
(ZL = Z0)の場合
Z0 I x
Vx

Vx
Γ0  1
(ZL = jX)の場合
Z0 I x
0

Vx
Vx
定在波比
無損失線路の受電端に任意の負荷 ZL を接続すると、線路上の電圧 Vx および
電流 Ix は、l/4間隔ごとに最大値と最小値を繰り返し、電圧が最大(小)値となる
点では電流が最小(大)値をとる。
Z0Imax
Vmax
Vmax
定在波比 (SWR または VSWR)
Z0 I x
SWR 
Vx
V min
Vmin
Z0Imin
V max
Z0Imin
ZL
l/4
I max
I min
SWR: Standing Wave Ratio
Z0
l/4

VSWR: Voltage Standing
Wave Ratio
x=0
定在波比SWRと反射係数G0との関係は、線路が無損失であるとして
SWR 
V max
V min




x

x
Vx  Vx
V
V




0

0
1  V0 / V0
1 V
/V

1 Γ0
0  Γ0  1
1 Γ0
1  SWR  
さらに、Rmax = Z0∙SWR、 Rmin = Z0/SWRの関係も式(9.31)から分かる
定在波による負荷の測定
無損失線路( = 0)の受電端 x = 0に負荷 Zrを接続したとき、線路上の任意の点より
負荷の方を見た駆動点インピーダンスは、V0 = Zr I0の関係より、
Zx 
Vx
Ix

V 0 cos  x  jZ 0 I 0 sin  x
V
j  0
 Z0

 sin  x  I 0 cos  x


R max  Z 0  SWR  Z 0

Z r cos  x  jZ 0 sin  x
Z 
j  r  sin  x  cos  x
 Z0 
Z r  jZ 0 tan  x max
jZ r tan  x max  Z 0
よって、 Z r  Z 0
Vmax
Vmax
 Z0
Vmin
j
Zr
xmin
xmax x = 0
jZ r tan  x  Z 0
SWR  j tan  x max
1  j SWR  tan  x max
さらに、
Zr  Z0
Z0
Z r  jZ 0 tan  x
1  j SWR  tan  x min
SWR  j tan  x min
Z0と βの値が既知の線路を用いて、
SWRと xmax 或いは xminを測定する
ことにより、Zrの値を求めることが
できる
演習問題
特性インピーダンス Z0 = 300[Ω] の無損失線路が、負荷インピー
ダンス ZLで終端されている。負荷から1/4波長離れた点から負荷
を見たインピーダンス Z を測定したところ、Z = 200 + j150[Ω]で
あった。ZLはいくらか。
過去の定期試験の問題
問題３ 図に示すように、特性インピーダンス Z0、位相定数 β0、長さ L の第１の無損失
分布定数線路に、特性インピーダンス Z、位相定数 β の半無限長の第２の無損
失分布定数線路を繋いだ。
（１）端子1-1’から見たインピーダンス Zin を求めよ。
（２）半無限長線路の第２の分布定数線路に代えて、純抵抗 R を端子2-2’に接
続した。Zin が純抵抗 R の値に依らず、純抵抗となる条件を求めよ。また、そ
の時の Zin を求めよ。
（３）図3の回路において、端子2-2’での反射係数 Γ2 を求めよ。さらに、L= λ/4 の
場合の端子1-1’での反射係数 Γ1を求めよ。
（４）設問(3)において、Z0が純抵抗 50Ωの場合、端子2-2’における反射係数 Γ2
が 0.5 + j 0.5になった。この時、第２の線路の特性インピーダンス Zを求めよ。
Z0
ES
1
L
Z0, b0
Zin
1’
Γ1
2
Z, b
2’
Γ2
ご聴講ありがとうございました