Transcript 講義資料8（流体力学の理解において必須のベルヌーイの定理の理解の

ベルヌーイの定理を
ベクトルのまま導出する方法と、
その物理的意味の直感的理解
三重大学・大学院生物資源学研究科
共生環境学専攻
地球環境気候学研究室
教授 立花義裕
ベルヌーイ(Bernoulli)の定理
U
 (U   )U  
t
1

P   


 U 非粘性、定常流(

t
 0 )を考える
移流項をちょっとだけ書き換えておく‥
(U   )U 
1



これはベクトルを成分に分解して、
ひたすら解くと左=右となることが
分かります。各自で確かめてね！

 U  U  U    U である。
2
これを代入すると
1
1
 U U  U    U    P   
2



1
  U
2

2
非圧縮性流体(   const )
で考えると


1


P  
P


     U    U  0  ①


この式の両辺と U の内積を計算する
P
①は F (力)の式であるから F  U を行うことになる
U 
r
t
であるので
であるから F  U  F  r 
1
t
F  r は仕事である
ここで‥


U   U  U 
1
  U
2
であるから 
①  U はどうなるかというと‥‥ U 
1
  U
2
1
  U
2
1
  U
2
1
d  U
2
2
2
2
2

dr
 dr

  
0

 dt
P

    d r  0


P

     0


P



     U    U  0 


P
であるので
dt

 dr

  
 U  U   0

 dt
P
2
U と U   は直交するので
よって‥
ベルヌーイの定理
1
2
2
U

P

   Const
力学的エネルギーの保存則を意味する。
ベルヌーイ関数は
どのような場合保存されるか？
F  U を行う→流れの方向の力の成分と、流れの方向への単位時間の移動のかけ算
→流れに沿った仕事を求めている。
流線上に沿っての仕事を計算した。→流線に沿って一定値を保つ。つまり保存する。
渦があっても良い。
定常流でないと保存しない.粘性流体はダメ。
実は、流線に沿わなくても、渦度ベクトルと流線の向きのベクトルで作られる面上
であれば、一定値を保つ、つまり保存する。
U  U    0 ←を考察すれば
2
1
P
その理由が解る
U 
   Const



2
2
v2
(
2
1

2

v1
)
2
( p 2  p1 ) 
1

1

( p 2  p1 )  (  2   2 )  0
dp 
1

 p  dr
運動エネルギーの変化＋圧力に逆らってした仕事＋重力ポテンシャルの変化＝０