Transcript game09
第Ⅱ部 協力ゲームの理論
第9章 シャープレイ値
2008/07/01(火)
ゲーム理論合宿
M1 山川佳洋
内容
• シャープレイ値
• シャープレイ値の公準
• 投票力指数
– 投票ゲーム
– 投票力指数
– 重みのパラドックス
1
限界貢献度
各プレイヤーにとって,得られると予想される値は,
そのプレイヤーが参加可能な提携において,
どれだけの利得の増加に貢献できるかによる.
vS vS
i
提携Sからプレイヤーiが抜けたときの利得の差を,
提携Sにおけるプレイヤーiの限界貢献度という.
以下ではゲーム(N,v)はゼロ単調とする.
vS vS
i vi i N
2
シャープレイ値の定義
ゲーム全体としてのプレイヤーiの貢献度は,
プレイヤーiが参加する可能性のある提携における
プレイヤーiの限界貢献度の平均値と考えることができる.
したがって,あるプレイヤーが貢献しうる提携が,
どの程度の確率で形成されるかを考えて,
その確率のもとで限界貢献度の期待値を考える.
3
シャープレイ値(例)
3つの企業による共同事業を行う.
それぞれの提携とその提携値は
N 1,2,3
v 0
v1 10, v2 20, v3 30
v12 60, v13 70, v23 80
v123 120
プレイヤー1にとって参加可能な共同事業
4
シャープレイ値(例)
プレイヤーが話し合いにやって来る順序を(i,j,k)と表すと
3!=6通り
そのときのプレイヤー1の限界貢献度は,
1,2,3
1,3,2
2,1,3
3,1,2
2,3,1
3,2,1
v1 v 10
上に同じ
v21 v 2 40
v31 v3 40
v123 v23 40
上に同じ
5
シャープレイ値(例)
6通りが起こる確率は同じ.
プレイヤー1がゲームに参加するにあたって,期待できる利得は,
2
1
1 v1 v v21 v2
6
6
1
2
v31 v3 v123 v23
6
6
2 10 40 40 2 40 / 6 30
同様にして
2 40, 3 50
このときシャープレイ値
v 1,2 ,3 30,40,50
6
シャープレイ値の定義
プレイヤーiのシャープレイ値は,プレイヤーiの
参加可能な提携すべてについての
プレイヤーiの限界貢献度の加重平均で表す
i
r S vS vS i
SN
1
r S s 1!n s !
n!
限界貢献度
プレイヤーiが最後に参加して提携Sが成立する確率
7
シャープレイ値の公準
1. 全体合理性(効率性,パレート最適性)
2. ナルプレイヤー(またはダミープレイヤー)のゼロ評価
3. 対象性,代替性,無名性
4. 加法性
5. 単調性
(ⅰ)全体提携単調性
(ⅱ)強単調性
6. 自明性
7. 提携の戦略上同等性
8. 順序保存性
9. 整合性
8
シャープレイ値の定理
1. ゼロ単調ゲームにおいて,シャープレイ値は,全体合理性,
ナルプレイヤーのゼロ評価性,対称性(無名性),加法性の
4つの公準をみたす.
またこの4つの公準を満たすゲームの解はシャープレイ値に
限る.
2. シャープレイ値は個人合理性を満たす.
したがって,シャープレイ値は個人合理性と全体合理性を
満たすから配分である
3. 利得測定法からの独立性(戦略上同等性)
4.
5.
6.
7.
8.
9
公準9 内部整合性
10
公準9 内部整合性
11
投票ゲーム
投票による集団の意思決定の問題をゲームとして定式化する.
協力ゲームでも非協力ゲームでも定式化できるが,ここでは
協力ゲームとして扱って投票力指数の議論をする
勝ち提携が得る利得は1,負け提携が得る利得は0とする.
例,3人拒否権ゲーム(プレイヤー1が拒否権)
W 1 2, 1 3, 1 2 3
v v1 v2 v3 0
v12 v13 1, v23 0
v123 1
W:勝ち提携の集合
v :特性関数
12
投票ゲーム
プレイヤーの集合Nと勝ち提携の集合Wが与えられると,
特性関数は
1
vS
0
for S W
for S W
このようにして表された提携ゲーム(N,v)を投票ゲームという
勝ち提携の集合Wの性質
W
1. 空集合は負け集合である.
N W
2. 全体集合は勝ち提携である.
3. 単調性.勝ち提携を含む提携は勝ち提携である. S WかつS Tならば, T W
4. 正規性.互いに交わらない2つの勝ち提携はない. S Wならば, N S W
13
重み多数決ゲーム
ある市議会は定数が15名
6名の自民党員,4名の社会党員,2名の民主党員,
2名の公明党員,1名の共産党員
単純1/2多数決とすると基準数は8
N 1,2,3,4,5, 8 : 6,4,2,2,1
この場合の勝ち提携の集合W
W {12, 13, 14, 123, 124, 125, 145, 234,
1234, 1235, 1345, 2345, 12345}
14
投票力指数
シャープレイ・シュービック指数のことを指す.
各プレイヤーが,どれだけの決定力をもっているかを示す指数
彼がある提携に加わることによって,
その提携が負け提携から勝ち提携に
変わる状況にあるとき,
このようなプレーヤーを要の投票者(pivot)と呼ぶ
各プレイヤーが要の投票者になる確率を求め,
決定力の期待値で表す
15
投票力指数
重みつき多数決4人ゲーム
N 1,2,3,4,
3 : 2,1,1,1
そのときの勝ち提携の集合Wは
W 12, 13, 14, 123, 124, 134, 234, 1234
投票が基準数を超えたらそこで
投票を打ち切るとき最後の投票者が
要の投票者になる
1 2 34 2134 31 24 41 23
1 2 43 21 43 31 42 4132
13 24 231 4 321 4 4213
各投票者が要の投票者になる場合
13 42 2341 32 41 4231
1 4 23 2413 341 2 431 2
1 4 32 24 31 34 21 4321
16
投票力指数
プレイヤー1が要の投票者になる確率
1 12 / 24 1 / 2
プレイヤー1 プレイヤー2
プレイヤー3 プレイヤー4
プレイヤー1の投票力指数
どうようにして求めるとこのゲームの
各プレイヤーの投票力指数は
3, 1, 1, 1 / 6
1 2 34 2134 31 24 41 23
1 2 43 21 43 31 42 4132
1 / 2, 1 / 6, 1 / 6, 1 / 6
13 24 231 4 321 4 4213
13 42 2341 32 41 4231
1 4 23 2413 341 2 431 2
1 4 32 24 31 34 21 4321
17
重みのパラドックス
前の例でも分かるように投票力指数と
各プレイヤーの持つ重みとは必ずしも一致しない
(1)再配分のパラドクス
N 1,2,3
70 : 55, 35, 10
3, 3, 0 / 6
70 : 50, 25, 25
4, 1, 1 / 6
プレイヤー1にとって議席が減少したにもかかわらず
投票力指数が大きくなっている
プレイヤー1にとって組む相手が増えたため
勝ち提携をつくる際の影響力が大きくなった
18
重みのパラドックス
(2)分割のパラドックス(または統合のパラドックス)
N 1,2,3
4 : 2, 2, 3
10, 10, 10 / 30
ここで政党プレイヤー3が3つに分裂
N 1,2,3,4,5
4 : 2, 2, 1, 1, 1
9, 9, 4, 4, 4 / 30
新しいゲームのプレイヤー3,4,5の3人の投票力指数の和(12)は
分裂前の投票力指数(10)より大きい
19
重みのパラドックス
(3)新規参入のパラドックス
N 1,2,3
4 : 3, 2, 2
4, 4, 4 / 12
議席の定員が増えて8人となり,
新しい当選者(新規参入者)が1つの政党を作る
N 1,2,3,4
5 : 3, 2, 2, 1
5, 3, 3, 1 / 12
プレイヤー1の投票力指数が増加し,
プレイヤー2,3の投票力指数は減少している
20