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第Ⅱ部 協力ゲームの理論
第9章 シャープレイ値
2008/07/01(火)
ゲーム理論合宿
Ｍ１ 山川佳洋
内容
• シャープレイ値
• シャープレイ値の公準
• 投票力指数
– 投票ゲーム
– 投票力指数
– 重みのパラドックス
1
限界貢献度
各プレイヤーにとって，得られると予想される値は，
そのプレイヤーが参加可能な提携において，
どれだけの利得の増加に貢献できるかによる．
vS   vS  
i
提携Sからプレイヤーiが抜けたときの利得の差を，
提携Sにおけるプレイヤーiの限界貢献度という．
以下ではゲーム(N,v)はゼロ単調とする．
vS   vS  
i   vi  i  N
2
シャープレイ値の定義
ゲーム全体としてのプレイヤーiの貢献度は，
プレイヤーiが参加する可能性のある提携における
プレイヤーiの限界貢献度の平均値と考えることができる．
したがって，あるプレイヤーが貢献しうる提携が，
どの程度の確率で形成されるかを考えて，
その確率のもとで限界貢献度の期待値を考える．
3
シャープレイ値(例)
３つの企業による共同事業を行う．
それぞれの提携とその提携値は
N  1,2,3
v   0
v1  10, v2   20, v3  30
v12  60, v13  70, v23  80
v123  120
プレイヤー1にとって参加可能な共同事業
4
シャープレイ値(例)
プレイヤーが話し合いにやって来る順序を(i,j,k)と表すと
3!=6通り
そのときのプレイヤー1の限界貢献度は，
1,2,3
1,3,2 
2,1,3
3,1,2 
2,3,1
3,2,1
v1  v    10
上に同じ
v21  v 2   40
v31  v3  40
v123  v23  40
上に同じ
5
シャープレイ値(例)
6通りが起こる確率は同じ．
プレイヤー1がゲームに参加するにあたって，期待できる利得は，
2
1
1  v1  v   v21  v2
6
6
1
2
 v31  v3  v123  v23
6
6
 2 10  40  40  2  40 / 6  30
同様にして
2  40, 3  50
このときシャープレイ値
 v  1,2 ,3   30,40,50
6
シャープレイ値の定義
プレイヤーiのシャープレイ値は，プレイヤーiの
参加可能な提携すべてについての
プレイヤーiの限界貢献度の加重平均で表す
i 
 r S vS   vS  i 
SN
1
r S   s  1!n  s !
n!
限界貢献度
プレイヤーiが最後に参加して提携Sが成立する確率
7
シャープレイ値の公準
1. 全体合理性(効率性，パレート最適性)
2. ナルプレイヤー(またはダミープレイヤー)のゼロ評価
3. 対象性，代替性，無名性
4. 加法性
5. 単調性
(ⅰ)全体提携単調性
(ⅱ)強単調性
6. 自明性
7. 提携の戦略上同等性
8. 順序保存性
9. 整合性
8
シャープレイ値の定理
1. ゼロ単調ゲームにおいて，シャープレイ値は，全体合理性，
ナルプレイヤーのゼロ評価性，対称性(無名性)，加法性の
4つの公準をみたす．
またこの4つの公準を満たすゲームの解はシャープレイ値に
限る．
2. シャープレイ値は個人合理性を満たす．
したがって，シャープレイ値は個人合理性と全体合理性を
満たすから配分である
3. 利得測定法からの独立性(戦略上同等性)
4.
5.
6.
7.
8.
9
公準9 内部整合性
10
公準9 内部整合性
11
投票ゲーム
投票による集団の意思決定の問題をゲームとして定式化する．
協力ゲームでも非協力ゲームでも定式化できるが，ここでは
協力ゲームとして扱って投票力指数の議論をする
勝ち提携が得る利得は1，負け提携が得る利得は0とする．
例，3人拒否権ゲーム(プレイヤー1が拒否権)
W  1 2, 1 3, 1 2 3
v   v1  v2  v3  0
v12  v13  1, v23  0
v123  1
W：勝ち提携の集合
v ：特性関数
12
投票ゲーム
プレイヤーの集合Nと勝ち提携の集合Wが与えられると，
特性関数は
1
vS   
0
for S W
for S W
このようにして表された提携ゲーム(N,v)を投票ゲームという
勝ち提携の集合Wの性質
 W
1. 空集合は負け集合である．
N W
2. 全体集合は勝ち提携である．
3. 単調性．勝ち提携を含む提携は勝ち提携である． S WかつS  Tならば， T W
4. 正規性．互いに交わらない2つの勝ち提携はない． S Wならば， N  S W
13
重み多数決ゲーム
ある市議会は定数が15名
6名の自民党員，4名の社会党員，2名の民主党員，
2名の公明党員，1名の共産党員
単純1/2多数決とすると基準数は8
N  1,2,3,4,5, 8 : 6,4,2,2,1
この場合の勝ち提携の集合W
W  {12, 13, 14, 123, 124, 125, 145, 234,
1234, 1235, 1345, 2345, 12345}
14
投票力指数
シャープレイ・シュービック指数のことを指す．
各プレイヤーが，どれだけの決定力をもっているかを示す指数
彼がある提携に加わることによって，
その提携が負け提携から勝ち提携に
変わる状況にあるとき，
このようなプレーヤーを要の投票者(pivot)と呼ぶ
各プレイヤーが要の投票者になる確率を求め，
決定力の期待値で表す
15
投票力指数
重みつき多数決4人ゲーム
N  1,2,3,4,
3 : 2,1,1,1
そのときの勝ち提携の集合Wは
W  12, 13, 14, 123, 124, 134, 234, 1234
投票が基準数を超えたらそこで
投票を打ち切るとき最後の投票者が
要の投票者になる




1 2 34 2134 31 24 41 23




1 2 43 21 43 31 42 4132




13 24 231 4 321 4 4213

各投票者が要の投票者になる場合



13 42 2341 32 41 4231




1 4 23 2413 341 2 431 2




1 4 32 24 31 34 21 4321
16
投票力指数
プレイヤー1が要の投票者になる確率
1  12 / 24  1 / 2
プレイヤー1 プレイヤー2
プレイヤー3 プレイヤー4
プレイヤー1の投票力指数

どうようにして求めるとこのゲームの
各プレイヤーの投票力指数は
 3, 1, 1, 1 / 6


1 2 34 2134 31 24 41 23




1 2 43 21 43 31 42 4132

  1 / 2, 1 / 6, 1 / 6, 1 / 6




13 24 231 4 321 4 4213




13 42 2341 32 41 4231




1 4 23 2413 341 2 431 2




1 4 32 24 31 34 21 4321
17
重みのパラドックス
前の例でも分かるように投票力指数と
各プレイヤーの持つ重みとは必ずしも一致しない
(1)再配分のパラドクス
N  1,2,3
70 : 55, 35, 10
  3, 3, 0 / 6
70 : 50, 25, 25
  4, 1, 1 / 6
プレイヤー1にとって議席が減少したにもかかわらず
投票力指数が大きくなっている
プレイヤー1にとって組む相手が増えたため
勝ち提携をつくる際の影響力が大きくなった
18
重みのパラドックス
(2)分割のパラドックス(または統合のパラドックス)
N  1,2,3
4 : 2, 2, 3
  10, 10, 10 / 30
ここで政党プレイヤー3が3つに分裂
N  1,2,3,4,5
4 : 2, 2, 1, 1, 1
  9, 9, 4, 4, 4 / 30
新しいゲームのプレイヤー3,4,5の3人の投票力指数の和(12)は
分裂前の投票力指数(10)より大きい
19
重みのパラドックス
(3)新規参入のパラドックス
N  1,2,3
4 : 3, 2, 2
  4, 4, 4 / 12
議席の定員が増えて8人となり，
新しい当選者(新規参入者)が１つの政党を作る
N  1,2,3,4
5 : 3, 2, 2, 1
  5, 3, 3, 1 / 12
プレイヤー1の投票力指数が増加し，
プレイヤー2，3の投票力指数は減少している
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