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電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田 博仁
連絡事項
1. 講義担当教員
山田 博仁 ‥ 前半(過渡現象、ラプラス変換、時間域、周波数域解析)担当
大寺 康夫 ‥ 後半(フーリエ変換、信号波解析、歪波交流)担当
2. 教科書および参考書
1) 電気回路 - 三相、過渡現象、線路 - 喜安 善市、斉藤 伸自 著、朝倉書店
2) フーリエ解析 大石 著 岩波書店
3. 成績評価
・ 講義点と定期試験の両方を勘案して行う
・ 講義点は、出席状況、演習、レポートなどで評価する
4. オフィスアワー
随時、場所: 2号館203号室 (事前に電話またはE-mailにより予約のこと)
E-mail: [email protected]、電話(内線): 7101
5. 連絡および講義資料のダウンロード: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/
講義日程と内容
日程 (回目)
山
田
大
寺
先
生
講義内容
教科書の章との対応
1)
2)
4/8 (第1回) RL, RC回路の過渡現象
2.1, 2.2
4/15 (第2回) RLC回路の過渡現象
2.3, 2.4
4/22 (第3回) ラプラス変換
5.1, 5.2
5/9(土)(第4回)過渡現象とラプラス変換
6.1～6.2
5/13 (第5回) 過渡現象とラプラス変換の続きと演習
6.3
5/20 (第6回) 過渡関数波、周期波、時間域・周波数域解析 5.3～5.5, 7.1 5/27 (第7回) 微分、積分回路、二次系の伝達特性
7.2 ～7.4
6/3 (第8回) RLC回路、インパルス・ステップ・任意波形応答 7.5, 7.7～7.9 6/10 (第9回) 前半のまとめ
6/17 (第10回) フーリエ変換
4.1, 4.2
6/24 (第11回) フーリエ変換、信号波解析
4.3
7/1 (第12回) フーリエ変換と演習
4.5
7/8 (第13回) 歪波交流
3.1, 3.2
7/15 (第14回) 歪波交流回路の計算と演習
3.4
7/22 (第15回) まとめと演習
定期試験
過渡現象とは?
スイッチを入れて、回路が定常状態に移行するまでの現象、あるいは
定常状態にあった回路のスイッチを切った後の現象を扱う
過渡現象
ス
ピ
ー
ド
0
定常状態
時刻: t
アクセルペダルを踏む
回路素子が、電源と抵抗のみからなる電気回路では、
時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる
S
E
t=0
i(t)
t < 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 i(t) = 0
E
t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、 i t  
R
i(t)
R
定常状態
E
R
0
t
0
この場合、過渡現象は現れない(スイッチを入れた瞬間に定常状態になる)
過渡現象とは?
i(t)
定常状態
E
R
0
t = 0 において回路を流れる電流 i(t)は ?
0
t
t = 0 における扱いに関しては、 t = 0 でスイッチを閉じる直前および直後の時刻を t =
– 0 , + 0 で表すと、
E
i  0  
i(– 0) = 0
である。
R
このように、「スイッチを閉じる」といったようなある事象の直前および直後の時刻に
おいて取り得る初期値の値が異なる場合、直前の初期値を第1種初期値、直後を第
2種初期値と呼んで区別することがある。
回路素子を流れる電流と両端の電圧との関係
覚えよう !
1) 抵抗 R を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、
v  Ri
i
1
v
R
i
v
2) コイル L を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、
vL
di
dt
i
1 t
vdt  i0

0
L
R
i
v
L
ただし i0 は、t = 0 の時にコイルに流れていた電流
3) キャパシタ C を流れる電流 i と両端の電圧 v との関係、
v
1 t
idt  v0

0
C
iC
dv
dt
ただし v0 は、t = 0 の時のキャパシタの両端の電圧
i
v
C
回路素子を流れる電流と両端の電圧との関係
車は急には止まれない !
コイルを流れる電流は、瞬時には変化できない !
何故なら、瞬時に変化するということは、
i
v
L
vL
di
dt
di
  を意味し、
dt
その場合、左式の関係より、コイル L の両端には ±∞の電圧
が生じることになる。
子供の頃、こんな回路のびっくり箱
を作ったことがありませんか?
キャパシタの両端の電圧は、瞬時には変化できない !
何故なら、瞬時に変化するということは、
i
v
C
iC
dv
dt
高電圧
ブザー
dv
  を意味し、
dt
その場合、左式の関係より、キャパシタ C には ±∞の電流が
流れることになる。
RC直列回路の過渡現象
S
t=0
R
時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、
E
i(t)
C
積分方程式 E  Ri (t ) 
1
i (t )dt を解いて求められる。
C
なお積分範囲は、 – ∞ から現在の時刻 t までである。
電荷 q(t) と電流 i(t) との関係 i (t ) 
ER
dq (t )
を用いて書き直し、
dt
dq (t ) q(t )

, t  0  (1)
dt
C
まず、E = 0 とした同次方程式の特解は、 q  e (s は定数)を代入した特性方程式
t

1
1
Rs   0 の根 s  
を用いて、 q  e RC と得られるから、A を任意の定数
RC
C
t
st

として、E = 0 の時の一般解は、 q f (t )  Ae RC によって与えられる。
dq (t )
 0 (定常状態)とした時の式(1)の解は、 q(t )  EC であるから、
次に、
dt
q p  EC が E ≠ 0 時の特解であることは明らかである。
RC直列回路の過渡現象

従って、式(1)の解として、 q(t )  q p  q f  EC  Ae
t
RC
を得る。
上式で、任意定数 A は初期条件によって定められる。つまり、
t=0
スイッチ S を閉じる時刻 t = 0 以前に、キャパシタ C が
S
R
電荷 q0 を蓄えていたとすれば、上式より、
q(0)  q0  EC  A
E
i(t)
C
の関係が成り立つ。従って、 A  q0  EC と定まり、
q(t )  q p  q f  EC  q0  ECe
従って電流は、 i (t ) 

t
RC
, t  0  (2)
となる。
dq (t )
より、
dt

dq
1
 E q0   RC
RC
q0  ECe    e , t  0  (3)
i(t ) 

dt
RC
 R RC 
t
t
と得られる。もちろん t < 0 では、i(t) = 0, q(t) = q0 である。
スイッチ S を閉じる直前および直後の時刻を t = – 0, + 0で表わすと、

t

0
t
t
i(t )dt   idt   idt  q(0)   idt であり、t = – 0, + 0の初期値を各々、

0
0
第1種初期値、第2種初期値と呼ぶ。
RC直列回路の自由振動
S
t=0
R
i(t) C
R
+
q0
-
r
t=0
or
S
i(t) C
E
+q
0
-
上の回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において、キャパシタ C に蓄えられていた電荷 q0 が、抵抗 R を通じて放電される
場合を考える。式(3)に E = 0 を代入すると、
t
q 
i(t )   0 e RC , t  0  (4) によって自由振動電流が与えられる。
RC
また、電荷 q(t) は、
t
0
t
t


0
0
q (t )   i (t )dt   i (t )dt   i (t )dt q0   i (t )dt  q0 e
t
t

t
RC
, t  0  (5) となる。

q 
ここで、τ = RC と置くと、i (t )   0 e  , q(t )  q0e  と表わされ、τ を時定数と呼ぶ。
RC
過渡現象の時定数
時定数(time constant) τ の意味
1.0
τ は、初期値の 1/e になる時刻
0.8
e

t


t = 0 において関数 e に引いた接
線が横軸と交わる点が t = τ に相当
0.6
1
e
0.4
0.2
0
t

1
2
t

3
4
5
消費エネルギー
抵抗 R で消費されるエネルギー W は、先に求めた
t
q 
i(t )   0 e RC , t  0
RC
W 

0
q 2 (0)
Ri dt  R
RC2
2
と、τ = RC の定義を用いて、


0
e
2
t

dt  R
q 2 (0)

2


0
e
2
t

dt

t
q (0)  2 
q 2 (0) q 2 (0)
R

 (6) となる。
e   R
 2 
2

2
C
0
2
ただし、時刻 t = 0 にキャパシタ C に蓄えられている電荷を q(0)とした。
これは、キャパシタ C に初めに蓄えられていた静電エネルギーに等しい。それが全て
抵抗 R で消費されて熱となる。
確認) キャパシタ C に蓄えられる静電エネルギー W は、キャパシタ両端の電圧を V、
キャパシタに蓄えられている電荷を Q とすると、Q = CV より、
1
1
1 Q2
2
W  QV  CV 
2
2
2 C
RC直列回路の過渡現象
RC直列回路に直流電圧 E を突如印加した時の電流 i(t) は、キャパシタの初期電荷
q0 が 0 であるとすると式(3)より、
t
E 
i(t )  e RC
R
 (7) であり、
t



RC

同様に電荷 q(t) については式(2)より、 q(t )  EC1  e   (8) である。


この様に、RC直列回路においては、スイッチを入れた直後は E/R の電流が流れる
が、キャパシタ C が充電されていくに従って電流が減少して行き、十分に時間が経
てば(t → ∞)、q(t) は EC に近づき、電流は 0 に近づく。
十分に時間が経過した後の状態を定常状態(steady state)と呼び、その状態を表わす
項を定常項と呼ぶ。上のケースでは、i(t) および q(t) の定常項は各々 0 および EC で
ある。また、定常状態になるまでの間を過渡状態(transient)と呼び、この状態を表わ
す項を過渡項と呼ぶ。上のケースでは、i(t) および q(t) の過渡項は各々
t
t

E  RC
e
および ECe RC である。過渡項は t → ∞ において消滅する。
R
上のケースで時定数 τ = RC は、充電される速さ、あるいは過渡項消滅の早さの目安
と考えられる。
RL直列回路の過渡現象
S
t=0
R
時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。
t > 0 において回路を流れる電流 i(t)は、
E
i(t)
L
微分方程式 E  Ri (t )  L
di (t )
 (9)
dt
を解いて求められる。
まず、E = 0 とした同次方程式の一般解を求めるために、A を任意の定数として、
R
i  i f  Aest を代入すると、 R  Ls  0 の関係より、 s  
となる。従って、
L
t

L
i f  Ae  ,  
である。この if は、過渡項であり、t → ∞ で 0 に収束する。
R
di
 0 としてよい。
次に、E ≠ 0 の時の特解を求めるが、これは定常項を求めるもので、
dt
t

E
E
即ち、 i  is 
である。従って、求める電流は、 i(t )  is  i f   Ae  となる。
R
R
ここで、A は積分定数で、初期条件によって定まる。
RL直列回路の過渡現象
S
E
t=0
R
i(t)
図の回路において、t < 0 ではスイッチが開いている
から電流は流れない。
L
スイッチ を閉じた瞬間の時刻 t = 0 においても、
di (t )
が有限である限り、電流は 0 である。
dt
従って、初期条件としては、t = 0 において i = 0 即ち、 i(0) = 0である。
t

E

E
この初期条件から、 A  
であり、電流は、i(t )  is  i f  1  e 
R
R
第一項が定常解、第二項が過渡解である。また、τ は時定数である。

, t  0  (10)


となる。
RL直列回路の自由振動
(例 2.2.1)
R0
R0
R
R
t=0
E
S
i0
E
L
S
i(t)
L
t=0
t < 0 での回路
t > 0 での回路
左の回路において、当初はスイッチ S が開いており、コイル L には電流 i0 
E
R  R0
が流れていた。時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じると、右のような回路となり、
di (t )
 (11) で与えられる。
回路の動作を表わす微分方程式は、0  Ri (t )  L
dt
t

E
L
この解は、 i (t )  i f  Ae  ,   であり、初期条件としての i0 
を用いると、
R
R  R0
t

E
E
L

i(0)  A  i0 
e  ,    が t > 0 での
が得られ、従って、 i(t ) 
R  R0
R  R0
R

自由振動電流を与える。
消費エネルギー
抵抗 R で消費されるエネルギー W は、先に求めた

E
L

i(t ) 
e  ,   
R  R0
R

t
W 

0
 E 

Ri2 dt  R
R

R
0 

と i0 
2


0
e
2
t

E
R  R0
dt  R i02 

0
より、

 2t 
1
2

e dt   R i0 e   Li02  (12)
2

0 2
となる。
2
t

これは、コイル L に初めに蓄えられていた電磁エネルギーに等しい。それが全て
抵抗 R で消費されて熱となる。
確認) コイル L に蓄えられる電磁エネルギー W は、コイルに流れる電流を I、コイル
内の磁束を ϕ とすると、ϕ = LI より、
1
1 2 1 2
W   I  LI 
2
2
2 L
(復習)線形常微分方程式の標準的解法
線形集中定数回路の問題は、実定係数の線形微分方程式を解く問題に帰着する。
定係数の線形常微分方程式の一般形として、
a0 y
( n)
 a1 y
( n1)
  an1 y'  an y  f (t )
を考える。ただし、 y
(m)
また、 a0  0, ai (i  0, 1, , n) は定数とする。
dmy
 m
dt
この方程式が t = t0 における初期条件、 y(t0), y’(t0), ‥‥, y(n-1)(t0) を定めれば、
ただ一つの解を持つこと(解の存在定理)は、数学的に証明されている。
この方程式の解法は、まず右辺の f(t) を 0 と置いた同次(斉次)方程式の解を求める。
(a) 同次方程式の解
( n)
( n1)
  an1 y'  an y  0
f(t) = 0 と置いた同次(斉次)方程式 a0 y  a1 y
の解は、指数関数以外にない。それを、y = est , (s は定数) としてとして代入すると、
n
n1
特性方程式 a0 s  a1s   an1s  an  0 を得る。
この特性方程式の n 個の根、s1, s2, ‥‥, sn の間に等根が無ければ、
y  es1t ,
y  es2t , ,
y  esnt
が、互いに一次独立な n 個の特解である。
(復習)線形常微分方程式の標準的解法
従って一般解は、任意の定数 ki (i = 1, 2, ‥‥, n)による一次結合
y(t )  k1es1t  k2es2t   knesnt によって与えられる。
ここで、任意定数 ki は初期条件によって定まる。またもし、特性方程式が重根を有し、
s1 = s2 =‥‥= sm ならば、それらに対する m 個の特解を
es1t , tes1t , , t m1es1t とすればよい。
(b) 非同次の場合
f(t) ≠ 0 の場合、上の微分方程式は非同次(非斉次)形という。この場合は、補関数
yc(t) (同次方程式の一般解に同じ)と、特解 yp(t) を求め、一般解 y(t) は、
y(t )  yc (t )  y p (t ) によって与えられる。
多項式や指数関数、正弦関数などの簡単な関数形の f(t) に対しては、簡単に解が
求まるが、それ以外のf(t) に対しては、簡単に解が求まるとは限らず、未定係数法、
定数変化法、演算子法などを用いなければならない。
一般に、受動回路網についての補関数は、t → ∞ で 0 に収束する。十分に時間が
経つと yc は小さくなり、yp のみが残る。このような状態が定常状態であり、 yc の値
が無視できない場合を過渡状態である。また、yc は励振がなくても存在するので、
自由振動項、 yp は励振に関わるので、強制振動項と呼ばれる。