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第14回
不確実性の取り扱い
1
古典論理の性質



分離性：
一旦真と認められれば，理由にとらわれず推論
継続が可能 ← 信念管理
局所性：
A→Bは，「Aが成立すれば他は無視してBを結論
できる」を意味する
合成性：
複雑命題はその構成要素の真理表から真偽判
定ができる
2
不確実な事実・知識による推論


例外（非単調性）に起因する不確実性：
- サーカムスクリプション
- デフォルト推論
曖昧さに起因する不確実性：
- ベイジアンネットワーク
- 信頼性係数（ＣＦ：Certainty Factor)
- ファジィ理論
- Dempster-Shafer(DS)理論
3
非単調論理
論理体系の単調性：
Ａ⊂Ｂ ならば Ｔｈ（Ａ） ⊂Ｔｈ（Ｂ）
Ｘ： 矛盾の無い命題（公理）の集合
Ｔｈ（Ｘ）： Ｘから証明される定理の集合
非単調論理(non-monotonic logic)：
単調性が成立しない論理体系
～例外を含む知識（常識・・）が存在、
信念の撤回が可能，・・
4
例外への対処


知識の適用対象を限定することによる
古典（述語）論理への帰着：
- サーカムスクリプション
様相記号の導入による古典論理の拡張：
- デフォルト推論，様相非単調論理
5
閉世界仮説(closed world assumption)
P(x)が証明できなければ～P(x)は真とする
： 与えられた情報が世界の全てで，それ以上の
情報が後から新たに得られることはない
（真であることは全て言及されている）
●実世界では不成立、人間の通常の推論過程
知識ベースに含まれていないことは偽
（書かれていない知識は否定される）
6
様相非単調論理
命題ｐ，様相オペレータＭから
信念Ｍｐを生成：
「ｐであると信じることは，自分が持っている
他の信念と矛盾しない」
例）
(∀x)[鳥(x) ∧Ｍ飛ぶ(x) → 飛ぶ(x)]
： 任意の鳥ｘについて，ｘが飛ぶと仮定して
矛盾が生じない限り，ｘは飛ぶ
7
サーカムスクリプション(極小限定)
述語P(x)に関する命題A(P)が成立している場合，
Ｐを全て任意の述語φで置き換えた論理式を
A(φ）とすると，Ｐのサーカムスクリプション：
A(φ）∧(∀x)[φ(x) → P(x)] →
(∀x) [P(x) →φ(x)]
： 命題Ａを満足するものは述語Ｐのみ（制限）
考慮する対象はそこに述べられているものだけに言及す
る（推論規則）
8
閉世界仮説とサーカムスクリプションの例
P≡BLOCK:
(∀x)[BLOCK(x)→(x=a∨x=b∨x=c)]:閉世界仮説
A(φ）∧(∀x)[φ(x) → BLOCK(x)] →
(∀x) [BLOCK(x) →φ(x)]
ここでφ(x) ≡ (x=a ∨x=b ∨ x=c)とすれば、
(∀x)[(x=a ∨x=b ∨ x=c) → BLOCK(x)] →
(∀x) [BLOCK(x) →(x=a ∨x=b ∨ x=c)]
φ(x)≡RED (x)とすれば、
[RED(a)∧RED(b)∧RED(c)] ∧(∀x)[RED(x) → BLOCK(x)]
→(∀x) [BLOCK(x) →RED(x)]
9
デフォルト推論
Ｐが成立ち、～Ｑが証明されていなければ、
Ｒが成立つ； Ｐ：ＭＱ
Ｒ
Ｐ：前提 Ｑ：仮定 Ｒ：帰結 Ｍ：様相記号
正規デフォルト規則（Ｑ＝Ｒ）： Ｐ：ＭＱ
Ｑ
拡張： 公理系に推論規則を適用することにより
論理式の集合（定理群）を得ること
- 多重拡張： 拡張結果が複数通り出現
- 演繹結果が規則の適用順序に依存
10
デフォルト推論の例（１）
閉世界仮説：
：Ｍ～Ｐ
～Ｐ
～（～Ｐ）＝Ｐ
11
デフォルト推論の例（２）
鯨(x) → 脊椎動物(x)
鯨(x) → ～翼がある(x)
哺乳類(x) → ゆったり(x)
鯨(x) → 水棲(x)
鯨(x) → 恒温動物(x)
～翼がある(x) → ～飛ぶ(x)
哺乳類(x) → ～魚類(x)
鯨(x) → ゆったり(x)
恒温動物(x) ∧～飛ぶ(x)：Ｍ哺乳類(x)
哺乳類(x)
12
不確実な事実・知識による推論


例外（非単調性）に起因する不確実性：
- サーカムスクリプション
- デフォルト推論
曖昧さに起因する不確実性：
- ベイジアンネットワーク
- 信頼性係数（ＣＦ：Certainty Factor)
- ファジィ理論
- Dempster-Shafer(DS)理論
13
確率推論とベイズネットワーク
ベイズの定理に基づく不確実な情報の表現
と確率推論の枠組み
（信念ネットワークと同義）：
確率変数間の依存関係に関する知識を
グラフとして保持・更新
・ノード： 確率変数
・アーク： ノード間の因果関係の存在
14
確率集合関数
コルモゴロフの公理系
 P(E)≧０
 P(Ω) =１
Ω：基礎空間（事象の全体集合）
 Fi が互いに独立（素）の時
P(F1∪Ｆ２ ∪・・ ∪Ｆｋ) = P(F1) ＋ P(Ｆ２ ) ＋・・ ＋P(Ｆｋ)
15
基本的な性質
1.
2.
3.
4.
P(φ）= 0
φ:空集合
E⊇Fの時 P(E)≧P（F)
P(Ec)=1 - P(E)
Ec :Eの補集合≡Ω- E
P(E∪F)=P(E)+P(F)- P(E∩F):
確率の加法公式
16
条件付確率と乗法定理
事象E,Fに関して，
条件付確率：
P(E/F) = P(E∩F)/P(F)
確率の乗法公式：
P(E∩F)= P(F) P(E/F) = P(E) P(F/E)
●E,Fが独立の時，
P(E∩F)= P(E) P(F)
17
ベイズの定理
Fi が互いに独立（素），かつ
F1∪Ｆ２ ∪・・ ∪Ｆｋ= Ω
P(E) = P(E/F1)P(F1)+ P(E/F２)P(F２) +・・・
+ P(E/Fｋ)P(Fｋ)
ベイズの定理：
P(Fi/E) = P(E/Fi)・P(Fi) / P(E)
= P(E/Fi)・P(Fi) / ｛P(E/F1)P(F1)+
P(E/F２)P(F２) +・・・+ P(E/Fｋ)P(Fｋ) ｝
18
ベイジアンネットの性質



ネットワークにおける全ての変数に対し，その親
に条件付けされた各ノードの結合確率を規定す
るだけでOK
以上で規定された条件付き確率は大域的に無
矛盾であることが保証
各ノードにおける条件付き確率の集合は
ネットワークにおける全てのノードの唯一の結合
確率分布を規定
確率変数：｛真，偽｝
19
ベイズネットワークの例
「ボーナス」－「収入」：
ボーナスが真のとき，
収入が真の確率0.8
偽の確率0.2
ボーナスが偽のとき，
収入が真の確率0.3
偽の確率0.7
20
ベイズネットワークのアルゴリズム
1.
2.
3.
観測された変数の値をノードにセット
親ノードも観測値も持たないノードには
事前確率分布を付与
確率を伝播し，知りたい対象の変数Xの
事後確率を計算
21
ベイズネットワークの例：確率計算
P(収入）＝P(収入/ボーナス）・P(ボーナス）＋ P(収入/￢ボーナス）・P(￢ボーナス）
＝0.8・0.6 + 0.3・(1.0-0.6) = 0.6
P(旅行）＝P(旅行/収入）・P(収入）＋ P(旅行/￢収入）・P(￢収入）
＝0.2・0.6 + 0.5・(1.0-0.6) = 0.32
22
確率計算： 「飛行機＝真」の場合
P(旅行/飛行機）＝P(飛行機/旅行）・P(旅行）/ P(飛行機）
＝0.95・0.32 / 0.712 ≒ 0.427 > P(旅行）=0.32
23
信頼性係数による推論
血液感染症診断支援・MYCINで最初に導入
 後向き推論の効率化に有効
 理論的裏付けに乏しい
 更新規則：前件（左辺）C1＊C２ ・・、 後件(右辺)Ａ
CF(右辺)= CF(左辺) CF(規則)
CF(C1∧C２ ・・ ∧Cｋ)=min(CF(Ci ) )
CF(C1∨C２ ・・ ∨Cｋ)=max(CF(Ci ) ) ～当初
その後は、 =CF(C1)+CF(C２)(1-CF(C1))・・

24
ＭＹＣＩＮにおける知識の例


事実型：
・培養基の場所は血液である(1.0)
・培養基の菌は好気性である(0.25)
・培養基の菌は大腸菌である(0.75)
(): 確信度
プロダクションルール型：
もし
感染症の種類が一次敗血症であり、
培養基の場所が無菌の場所であり、
培養された菌の入口が胃腸管と推定される
ならば、
その菌はバクテロイドである兆候がある(0.7)
25
ＭＹＣＩＮにおける推論の例
後向き推論：
結論を仮定して、
ルールの前件部を
チェックすることにより、
結論の確からしさを
チェック
26
ファジイ理論による推論

米・L.A.Zadehが提案 (1965)
確からしさを0～１の実数値で表現：主観

membership(所属度)関数による連続表現

μ(f(x)∧g(y))=min{μ(f(x)), μ(g(y)) }
μ(f(x)∨g(y))=max{μ(f(x)), μ(g(y)) }
27
推論の例(エアコンの制御）



温度３０度？ メンバーシップ関数と
（0.4,0.6)の最小値
快適 → 切る
やや暑い → 弱にする
暑い → 強にする
0.4
0.6
(1x0.4+2x0.4+
3x0.2+4x0.6+
5x0.6)/(0.4+0.4+
0.2+0.6+0.6)
=3.3
28
Dempster-Shafer理論による推論

ベイズの枠組みでは以下の事象の区別が不能
（１）X=aと予想できる強い根拠があるが，
X=bと予想できる同様の強い根拠がある
（２） X≠aと予想できる強い根拠があるが，
X ≠ bと予想できる同様の強い根拠がある
（３）X=aまたはbであるか皆目わからない
⇒ 事前確率：P(a) = P(b) = 0.5

無知量を表現できるよう，ベイズの枠組みを拡張
29
Dempster-Shafer理論の定式化
各事象Aiに，基本確率m(Ai)を割り当て:
m(φ）=0，∑m(Ai) = 1
例）
X=a，X=b，どちらも根拠があり決めがたい場
合： m( X=a ) ，m( X=b ) を大きく設定
ｖｓ．どちらも根拠が乏しい場合：
m(X=a， X=b ) を大きく設定
 確率値に幅を持たせる
下界確率P*(Ai)＝∑Aj⊂Ai m(Aj)
上界確率P*(Ai)＝１－ P(～Ai)
＝１－ ∑Aj ⊂ ≠Ai m(Aj)

30
Dempster-Shafer理論適用例
31
Dempster-Shafer理論適用例
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